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回顾与思考(六) 概率的进一步认识
大单元知识结构图
事件
可能发生，每种结果的可能性相等
①
涉及两步
结果多
②
结果少
画树状图法求概率
涉及两步以上计算
可能发生，每种结果的可能性不相等
转化
大量试验
频率
稳定在一个值附近
事件A发生的概率=③
大单元知识结构图
事件
可能发生，每种结果的可能性相等
①
概率
涉及两步
结果多
②
列表法
求概率结果少
画树状图法求概率
涉及两步以上计算
可能发生，每种结果的可能性不相等
转化
大量试验
频率
稳定在一个值附近
事件A发生的概率=③
$\frac{m}{n}$
（一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果）答案
①概率 ②列表法 ③$\frac{m}{n}$
解析
【分析】
本题考查概率单元的知识框架梳理，解题时需回忆本单元的知识逻辑：首先我们针对等可能事件研究其概率计算方法，对于涉及两步的等可能事件求概率，根据结果数量多少可选择不同方法：结果较多时用列表法更清晰，结果较少时用树状图法更简便，超过两步的概率计算则用树状图法；另外古典概型的概率计算公式为事件包含的符合条件的结果数除以所有等可能的总结果数，据此即可对应填出三个空。
【解析】
①根据知识框架的分类，前提是事件的每种结果可能性相等，我们研究的核心对象是该类事件的概率，故①填概率；
②涉及两步的等可能事件求概率时，结果较多的情况下适合用列表法列举所有结果，故②填列表法；
③根据古典概型的概率计算公式，一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果时，事件A发生的概率为$\frac{m}{n}$，故③填$\frac{m}{n}$。
【答案】
①概率 ②列表法 ③$\frac{m}{n}$
【知识点】
等可能事件概率，列表法求概率，概率计算公式
【点评】
本题属于基础概念类题目，旨在考查学生对概率单元知识体系的梳理能力，需熟练掌握概率的相关计算方法和基础公式，明确不同求概率方法的适用场景。
【难度系数】
0.9
本题考查概率单元的知识框架梳理，解题时需回忆本单元的知识逻辑：首先我们针对等可能事件研究其概率计算方法，对于涉及两步的等可能事件求概率，根据结果数量多少可选择不同方法：结果较多时用列表法更清晰，结果较少时用树状图法更简便，超过两步的概率计算则用树状图法；另外古典概型的概率计算公式为事件包含的符合条件的结果数除以所有等可能的总结果数，据此即可对应填出三个空。
【解析】
①根据知识框架的分类，前提是事件的每种结果可能性相等，我们研究的核心对象是该类事件的概率，故①填概率；
②涉及两步的等可能事件求概率时，结果较多的情况下适合用列表法列举所有结果，故②填列表法；
③根据古典概型的概率计算公式，一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果时，事件A发生的概率为$\frac{m}{n}$，故③填$\frac{m}{n}$。
【答案】
①概率 ②列表法 ③$\frac{m}{n}$
【知识点】
等可能事件概率，列表法求概率，概率计算公式
【点评】
本题属于基础概念类题目，旨在考查学生对概率单元知识体系的梳理能力，需熟练掌握概率的相关计算方法和基础公式，明确不同求概率方法的适用场景。
【难度系数】
0.9
1. 如图,将两根同样的绳子$AA_{1},BB_{1}$穿过一块木板,姐弟两人分别站在木板的左、右两侧,每次各自选取本侧的一根绳子,每根绳子被选中的机会相等,则姐姐和弟弟选中的两个绳头恰好属于同一根绳子的概率为 （
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
B
）A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
1.B
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算题，解题思路如下：首先明确姐弟两人各自的可选绳头：弟弟侧有A、B共2个绳头，姐姐侧有A₁、B₁共2个绳头，两人选择相互独立；接下来不重不漏地列举出所有绳头配对的等可能结果；再统计出“两个绳头属于同一根绳子”的符合条件的结果数；最后代入概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算即可得到结果。
【解析】
用列举法列出所有等可能的绳头配对结果：
1. 弟弟选A，姐姐选A₁：属于同一根绳子$AA_1$，符合要求；
2. 弟弟选A，姐姐选B₁：不属于同一根绳子，不符合要求；
3. 弟弟选B，姐姐选A₁：不属于同一根绳子，不符合要求；
4. 弟弟选B，姐姐选B₁：属于同一根绳子$BB_1$，符合要求。
总共有4种等可能的结果，其中符合要求的结果有2种，根据概率公式可得：
$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
【答案】
B
【知识点】
概率公式，列举法求概率，等可能事件
【点评】
本题是概率基础题型，解题核心是准确列举所有等可能事件，避免漏算、多算，熟练掌握概率的基本计算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
这是一道等可能事件的概率计算题，解题思路如下：首先明确姐弟两人各自的可选绳头：弟弟侧有A、B共2个绳头，姐姐侧有A₁、B₁共2个绳头，两人选择相互独立；接下来不重不漏地列举出所有绳头配对的等可能结果；再统计出“两个绳头属于同一根绳子”的符合条件的结果数；最后代入概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算即可得到结果。
【解析】
用列举法列出所有等可能的绳头配对结果：
1. 弟弟选A，姐姐选A₁：属于同一根绳子$AA_1$，符合要求；
2. 弟弟选A，姐姐选B₁：不属于同一根绳子，不符合要求；
3. 弟弟选B，姐姐选A₁：不属于同一根绳子，不符合要求；
4. 弟弟选B，姐姐选B₁：属于同一根绳子$BB_1$，符合要求。
总共有4种等可能的结果，其中符合要求的结果有2种，根据概率公式可得：
$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
【答案】
B
【知识点】
概率公式，列举法求概率，等可能事件
【点评】
本题是概率基础题型，解题核心是准确列举所有等可能事件，避免漏算、多算，熟练掌握概率的基本计算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2.(2026·广东)某地开展广东非遗走进校园体验活动，有“广东醒狮”“广绣”“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{2}{9}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
C
）A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{2}{9}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
2.C
解析
【分析】
这是一道两步试验的等可能事件概率求解问题，解题时可先通过列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，再从中找出“两人恰好抽到同一个项目”的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数）计算即可。
【解析】
将“广东醒狮”“广绣”“英歌舞”三个项目分别记为A、B、C，列举两人抽取项目的所有等可能结果如下：
| 小晨\小明 | A | B | C |
| --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由上表可知，总共有9种等可能的结果，其中两人恰好抽到同一个项目的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)共3种。
根据概率公式可得，所求概率$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
列表法求概率，概率计算公式，等可能事件
【点评】
本题考查两步试验的概率计算，核心是正确列举所有等可能的结果，再代入概率公式求解，属于基础题型，重点考查对概率求解方法的掌握。
【难度系数】
0.7
这是一道两步试验的等可能事件概率求解问题，解题时可先通过列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，再从中找出“两人恰好抽到同一个项目”的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数）计算即可。
【解析】
将“广东醒狮”“广绣”“英歌舞”三个项目分别记为A、B、C，列举两人抽取项目的所有等可能结果如下：
| 小晨\小明 | A | B | C |
| --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由上表可知，总共有9种等可能的结果，其中两人恰好抽到同一个项目的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)共3种。
根据概率公式可得，所求概率$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
列表法求概率，概率计算公式，等可能事件
【点评】
本题考查两步试验的概率计算，核心是正确列举所有等可能的结果，再代入概率公式求解，属于基础题型，重点考查对概率求解方法的掌握。
【难度系数】
0.7
3.学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图所示的是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是$120°$，游戏参与者同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏.若小李同学同时转动A盘和B盘，则她赢得游戏的概率是（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{1}{9}$
A
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{1}{9}$
答案
3.A
解析
【分析】
要计算赢得游戏的概率，首先明确赢的条件是一个转盘转出红色、另一个转出蓝色，共两种互斥的情况：①A盘转红，B盘转蓝；②A盘转蓝，B盘转红。先分别求出两个转盘各颜色对应的概率，再根据独立事件同时发生的概率公式计算两种情况的概率，最后将两个概率相加即可得到总概率。
【解析】
1. 计算A盘各颜色的概率：
A盘被分成3个面积相等的扇形，因此转出黄、蓝、红的概率相等，即$P(A蓝)=P(A红)=\frac{1}{3}$。
2. 计算B盘各颜色的概率：
B盘蓝色扇形圆心角为$120°$，因此$P(B蓝)=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$，红色区域圆心角为$360°-120°=240°$，故$P(B红)=\frac{240°}{360°}=\frac{2}{3}$。
3. 计算赢得游戏的总概率：
两种获胜情况互斥，分别计算概率再相加：
A红B蓝的概率：$P_1=P(A红) × P(B蓝)=\frac{1}{3} × \frac{1}{3}=\frac{1}{9}$
A蓝B红的概率：$P_2=P(A蓝) × P(B红)=\frac{1}{3} × \frac{2}{3}=\frac{2}{9}$
总概率$P=P_1+P_2=\frac{1}{9}+\frac{2}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
概率计算，独立事件概率，互斥事件概率
【点评】
本题结合游戏场景考查概率的应用，解题的核心是梳理清楚所有符合要求的事件类型，正确运用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式计算概率，易错点是容易遗漏其中一种获胜情况导致计算错误。
【难度系数】
0.7
要计算赢得游戏的概率，首先明确赢的条件是一个转盘转出红色、另一个转出蓝色，共两种互斥的情况：①A盘转红，B盘转蓝；②A盘转蓝，B盘转红。先分别求出两个转盘各颜色对应的概率，再根据独立事件同时发生的概率公式计算两种情况的概率，最后将两个概率相加即可得到总概率。
【解析】
1. 计算A盘各颜色的概率：
A盘被分成3个面积相等的扇形，因此转出黄、蓝、红的概率相等，即$P(A蓝)=P(A红)=\frac{1}{3}$。
2. 计算B盘各颜色的概率：
B盘蓝色扇形圆心角为$120°$，因此$P(B蓝)=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$，红色区域圆心角为$360°-120°=240°$，故$P(B红)=\frac{240°}{360°}=\frac{2}{3}$。
3. 计算赢得游戏的总概率：
两种获胜情况互斥，分别计算概率再相加：
A红B蓝的概率：$P_1=P(A红) × P(B蓝)=\frac{1}{3} × \frac{1}{3}=\frac{1}{9}$
A蓝B红的概率：$P_2=P(A蓝) × P(B红)=\frac{1}{3} × \frac{2}{3}=\frac{2}{9}$
总概率$P=P_1+P_2=\frac{1}{9}+\frac{2}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
概率计算，独立事件概率，互斥事件概率
【点评】
本题结合游戏场景考查概率的应用，解题的核心是梳理清楚所有符合要求的事件类型，正确运用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式计算概率，易错点是容易遗漏其中一种获胜情况导致计算错误。
【难度系数】
0.7
4. 如图，甲、乙、丙、丁四名同学围坐在一起商讨问题，其中丙的座位已确定，另外三人随机坐到①②③中的任意一个座位上，则甲和丁相邻的概率是（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{5}{9}$
D.$\frac{2}{3}$
D
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{5}{9}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
4.D
解析
【分析】
要计算甲和丁相邻的概率，属于古典概型问题，解题思路如下：第一步先确定所有等可能的坐法总数，因为3个人坐3个不同位置，可通过列举法得到总情况数；第二步明确环形座位的相邻关系，优先找甲和丁不相邻的情况数，用总情况数减去不相邻的情况数，即可快速得到相邻的情况数；最后根据概率公式，用相邻情况数除以总情况数得到结果。
【解析】
已知丙的座位固定，甲、乙、丁三人随机坐在①②③三个座位，列举所有等可能的坐法，共6种：
1. ①甲、②乙、③丁
2. ①甲、②丁、③乙
3. ①乙、②甲、③丁
4. ①乙、②丁、③甲
5. ①丁、②甲、③乙
6. ①丁、②乙、③甲
根据四人围坐的位置关系，仅当甲、丁分别坐在①和③位置时两人不相邻，因此甲丁不相邻的坐法共2种，甲丁相邻的坐法有$6-2=4$种。
根据概率公式可得：
$P(甲和丁相邻)=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
【答案】
D
【知识点】
列举法求概率、古典概型计算、对立事件简化运算
【点评】
本题考查概率的基础计算，难度适中，解题的关键是准确列举所有等可能的情况，同时正确判断环形座位的相邻关系，通过计算对立事件的概率可以简化求解过程，避免漏算、错算情况。
【难度系数】
0.7
要计算甲和丁相邻的概率，属于古典概型问题，解题思路如下：第一步先确定所有等可能的坐法总数，因为3个人坐3个不同位置，可通过列举法得到总情况数；第二步明确环形座位的相邻关系，优先找甲和丁不相邻的情况数，用总情况数减去不相邻的情况数，即可快速得到相邻的情况数；最后根据概率公式，用相邻情况数除以总情况数得到结果。
【解析】
已知丙的座位固定，甲、乙、丁三人随机坐在①②③三个座位，列举所有等可能的坐法，共6种：
1. ①甲、②乙、③丁
2. ①甲、②丁、③乙
3. ①乙、②甲、③丁
4. ①乙、②丁、③甲
5. ①丁、②甲、③乙
6. ①丁、②乙、③甲
根据四人围坐的位置关系，仅当甲、丁分别坐在①和③位置时两人不相邻，因此甲丁不相邻的坐法共2种，甲丁相邻的坐法有$6-2=4$种。
根据概率公式可得：
$P(甲和丁相邻)=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
【答案】
D
【知识点】
列举法求概率、古典概型计算、对立事件简化运算
【点评】
本题考查概率的基础计算，难度适中，解题的关键是准确列举所有等可能的情况，同时正确判断环形座位的相邻关系，通过计算对立事件的概率可以简化求解过程，避免漏算、错算情况。
【难度系数】
0.7
5.(2025·青岛)京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等.现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”“旦”“净”“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外都相同.将这4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张.利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率.
答案
5.解:画树状图略.由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中抽取到的两张卡片中有“生”的有6种,
∴抽取到的两张卡片中有“生”的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
∴抽取到的两张卡片中有“生”的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
这是一道不放回抽样的古典概型概率计算问题，解题思路如下：首先明确该试验是两步不放回抽取卡片，所有结果出现的可能性相等，适合用树状图或列表法枚举所有结果；其次通过树状图/列表不重不漏地列出所有等可能的抽取结果，统计总结果数；接着筛选出两张卡片中含有“生”的结果，统计符合条件的结果数；最后根据古典概型概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算所求概率。
【解析】
将印有“生”“旦”“净”“丑”的卡片分别记为A、B、C、D，画树状图枚举所有结果：
第一层（第一次抽取）：共有4种等可能结果：A、B、C、D；
第二层（第二次抽取，不放回）：
若第一次抽A，第二次可抽B、C、D，共3种结果；
若第一次抽B，第二次可抽A、C、D，共3种结果；
若第一次抽C，第二次可抽A、B、D，共3种结果；
若第一次抽D，第二次可抽A、B、C，共3种结果。
由树状图可知，共有$4×3=12$种等可能的抽取结果。
其中抽取到的两张卡片中有“生”（即包含A）的结果有：$(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,A)、(C,A)、(D,A)$，共6种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
抽取到的两张卡片中有“生”的概率为$\frac{1}{2}$。
【知识点】
1. 树状图/列表法求概率 2. 不放回抽样 3. 古典概型计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查等可能事件概率的计算方法，解题的关键是正确理解不放回抽取的规则，准确枚举所有等可能结果，避免计数时出现重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.7
这是一道不放回抽样的古典概型概率计算问题，解题思路如下：首先明确该试验是两步不放回抽取卡片，所有结果出现的可能性相等，适合用树状图或列表法枚举所有结果；其次通过树状图/列表不重不漏地列出所有等可能的抽取结果，统计总结果数；接着筛选出两张卡片中含有“生”的结果，统计符合条件的结果数；最后根据古典概型概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算所求概率。
【解析】
将印有“生”“旦”“净”“丑”的卡片分别记为A、B、C、D，画树状图枚举所有结果：
第一层（第一次抽取）：共有4种等可能结果：A、B、C、D；
第二层（第二次抽取，不放回）：
若第一次抽A，第二次可抽B、C、D，共3种结果；
若第一次抽B，第二次可抽A、C、D，共3种结果；
若第一次抽C，第二次可抽A、B、D，共3种结果；
若第一次抽D，第二次可抽A、B、C，共3种结果。
由树状图可知，共有$4×3=12$种等可能的抽取结果。
其中抽取到的两张卡片中有“生”（即包含A）的结果有：$(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,A)、(C,A)、(D,A)$，共6种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
抽取到的两张卡片中有“生”的概率为$\frac{1}{2}$。
【知识点】
1. 树状图/列表法求概率 2. 不放回抽样 3. 古典概型计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查等可能事件概率的计算方法，解题的关键是正确理解不放回抽取的规则，准确枚举所有等可能结果，避免计数时出现重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.7
