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14. 在2025年9月3日举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会上，中国人民解放军首次公开展示了陆、海、空基“三位一体”战略核力量，其中“东风－5C”液体洲际战略核导弹方队压轴出场，彰显了我国强大的国防实力.某校数学兴趣小组观看阅兵式后深受震撼，在校园科技节上制作了一个“东风－5C”导弹模型的侧面宣传板.宣传板由一个三角形和一个长方形组成，其尺寸标注如图：
(1)用含a，b的代数式表示模型宣传板的总面积(结果需化简)；
(2)当a＝3，b＝4时，求模型宣传板的总面积.
(1)用含a，b的代数式表示模型宣传板的总面积(结果需化简)；
(2)当a＝3，b＝4时，求模型宣传板的总面积.
答案
(1)模型的总面积为$4ab+\frac{1}{2}ab=\frac{9}{2}ab$. (2)当$a=3$，$b=4$时，$\frac{9}{2}ab=\frac{9}{2}×3×4=54$。
解析
【分析】
要计算宣传板的总面积，首先观察图形可知宣传板由下方的长方形和上方的三角形两部分组成，因此总面积等于长方形面积加三角形面积：
1. 先回忆基本图形面积公式：长方形面积=长×宽，三角形面积=$\frac{1}{2}$×底×高，找到对应图形的边长数据，分别代入公式计算两个图形的面积，再相加化简即可得到含a、b的总面积代数式；
2. 第二问求具体数值，只需将$a=3$、$b=4$代入第一问得到的化简后的代数式，按有理数运算规则计算即可得到结果。
【解析】
(1) 先分别计算两部分的面积：
长方形的宽为$a$，长为$4b$，因此长方形面积：$S_{\mathrm{长方形}}=a × 4b=4ab$；
三角形的底为$a$，高为$b$，因此三角形面积：$S_{\mathrm{三角形}}=\frac{1}{2} × a × b=\frac{1}{2}ab$；
宣传板总面积$S=S_{\mathrm{长方形}}+S_{\mathrm{三角形}}=4ab+\frac{1}{2}ab=\frac{9}{2}ab$。
(2) 把$a=3$，$b=4$代入$S=\frac{9}{2}ab$得：
$S=\frac{9}{2} × 3 × 4=54$。
【答案】
(1) $\frac{9}{2}ab$；(2) $54$
【知识点】
组合图形面积计算、列代数式、代数式求值
【点评】
本题结合时事热点设置问题情境，考查基础的组合图形面积计算和代数式相关知识，解题的核心是正确拆分图形，熟练掌握基本图形的面积公式和代数式运算规则。
【难度系数】
0.8
要计算宣传板的总面积，首先观察图形可知宣传板由下方的长方形和上方的三角形两部分组成，因此总面积等于长方形面积加三角形面积：
1. 先回忆基本图形面积公式：长方形面积=长×宽，三角形面积=$\frac{1}{2}$×底×高，找到对应图形的边长数据，分别代入公式计算两个图形的面积，再相加化简即可得到含a、b的总面积代数式；
2. 第二问求具体数值，只需将$a=3$、$b=4$代入第一问得到的化简后的代数式，按有理数运算规则计算即可得到结果。
【解析】
(1) 先分别计算两部分的面积：
长方形的宽为$a$，长为$4b$，因此长方形面积：$S_{\mathrm{长方形}}=a × 4b=4ab$；
三角形的底为$a$，高为$b$，因此三角形面积：$S_{\mathrm{三角形}}=\frac{1}{2} × a × b=\frac{1}{2}ab$；
宣传板总面积$S=S_{\mathrm{长方形}}+S_{\mathrm{三角形}}=4ab+\frac{1}{2}ab=\frac{9}{2}ab$。
(2) 把$a=3$，$b=4$代入$S=\frac{9}{2}ab$得：
$S=\frac{9}{2} × 3 × 4=54$。
【答案】
(1) $\frac{9}{2}ab$；(2) $54$
【知识点】
组合图形面积计算、列代数式、代数式求值
【点评】
本题结合时事热点设置问题情境，考查基础的组合图形面积计算和代数式相关知识，解题的核心是正确拆分图形，熟练掌握基本图形的面积公式和代数式运算规则。
【难度系数】
0.8
15.【问题背景】已知$M=(m-3)x+1$，若$M$的值与$x$的取值无关，则$m-3=0$，$m=3$. 所以当$m=3$时，$M$的值与$x$的取值无关.
【类比探究】(1)已知$M=x-ax$，$N=4x-ax+6a$.
①$5M-3N$可以用含$a$，$x$的式子表示为________；
②若$5M-3N$的值与$a$的取值无关，求$x$的值.
【拓展应用】(2)某家居生活馆购进茶几和沙发共40件进行销售，沙发和茶几的进价和售价如下表所示. 为回馈新老顾客，该家居生活馆决定每售出1件茶几，返顾客现金$b$元，沙发打九折出售. 设购进茶几$x$件，若销售完全部的茶几和沙发的利润与$x$的取值无关时，求$b$的值.
【类比探究】(1)已知$M=x-ax$，$N=4x-ax+6a$.
①$5M-3N$可以用含$a$，$x$的式子表示为________；
②若$5M-3N$的值与$a$的取值无关，求$x$的值.
【拓展应用】(2)某家居生活馆购进茶几和沙发共40件进行销售，沙发和茶几的进价和售价如下表所示. 为回馈新老顾客，该家居生活馆决定每售出1件茶几，返顾客现金$b$元，沙发打九折出售. 设购进茶几$x$件，若销售完全部的茶几和沙发的利润与$x$的取值无关时，求$b$的值.
答案
15. (1)①$-2ax-7x-18a$ ②由①得，$5M-3N=-2ax-7x-18a=(-2x-18)a-7x$，因为$5M-3N$的值与$a$的取值无关，所以$-2x-18=0$，所以$x=-9$. (2)根据题意可知，销售完全部的茶几和沙发的利润为$(1\ 350-850)x-bx+(2\ 000×0.9-1\ 400)(40-x)=(100-b)x+16\ 000$，因为销售完全部的茶几和沙发的利润与$x$的取值无关，所以$100-b=0$，所以$b=100$。
解析
【分析】
本题分为两部分考察：(1)①属于整式的加减运算，解题时先将M、N代入5M-3N，再通过去括号、合并同类项即可得到结果；②是代数式值与字母无关类问题，参考问题背景的思路，将①的结果整理为含a的同类项合并的形式，令a的系数为0，即可列方程求出x的值；(2)是实际利润问题，首先根据“总利润=茶几总利润+沙发总利润”列出利润关于x的代数式，再合并含x的同类项，根据利润与x取值无关的条件，令x的系数为0，列方程求出b的值。
【解析】
(1)① 把$M=x-ax$，$N=4x-ax+6a$代入$5M-3N$，得：
$\begin{aligned}5M-3N&=5(x-ax)-3(4x-ax+6a)\\&=5x-5ax-12x+3ax-18a\\&=-2ax-7x-18a\end{aligned}$
② 由①可得$5M-3N=-2ax-7x-18a=(-2x-18)a-7x$，
∵$5M-3N$的值与$a$的取值无关，
∴$a$的系数为0，即$-2x-18=0$，
解得$x=-9$。
(2) 已知购进茶几$x$件，则购进沙发$(40-x)$件，
销售总利润=茶几总利润+沙发总利润，其中：
每件茶几利润为$(1350-850-b)$元，总利润为$(1350-850-b)x$元；
沙发打九折后每件售价为$2000×0.9=1800$元，每件沙发利润为$1800-1400=400$元，沙发总利润为$400(40-x)$元。
因此总利润为：
$\begin{aligned}&(1350-850-b)x + (2000×0.9 -1400)(40-x)\\=&(500-b)x + 400(40-x)\\=&500x -bx + 16000 - 400x\\=&(100-b)x + 16000\end{aligned}$
∵销售完所有家具的利润与$x$的取值无关，
∴$x$的系数为0，即$100-b=0$，
解得$b=100$。
【答案】
(1)① $\boldsymbol{-2ax-7x-18a}$；② $\boldsymbol{x=-9}$；(2) $\boldsymbol{b=100}$
【知识点】
整式的加减，代数式无关类问题，利润问题计算
【点评】
本题以整式运算为基础，结合实际销售场景出题，核心是掌握“若代数式的值与某一字母无关，则该字母合并后的系数为0”的规律，既考查基本运算能力，也考查利用代数知识解决实际问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
本题分为两部分考察：(1)①属于整式的加减运算，解题时先将M、N代入5M-3N，再通过去括号、合并同类项即可得到结果；②是代数式值与字母无关类问题，参考问题背景的思路，将①的结果整理为含a的同类项合并的形式，令a的系数为0，即可列方程求出x的值；(2)是实际利润问题，首先根据“总利润=茶几总利润+沙发总利润”列出利润关于x的代数式，再合并含x的同类项，根据利润与x取值无关的条件，令x的系数为0，列方程求出b的值。
【解析】
(1)① 把$M=x-ax$，$N=4x-ax+6a$代入$5M-3N$，得：
$\begin{aligned}5M-3N&=5(x-ax)-3(4x-ax+6a)\\&=5x-5ax-12x+3ax-18a\\&=-2ax-7x-18a\end{aligned}$
② 由①可得$5M-3N=-2ax-7x-18a=(-2x-18)a-7x$，
∵$5M-3N$的值与$a$的取值无关，
∴$a$的系数为0，即$-2x-18=0$，
解得$x=-9$。
(2) 已知购进茶几$x$件，则购进沙发$(40-x)$件，
销售总利润=茶几总利润+沙发总利润，其中：
每件茶几利润为$(1350-850-b)$元，总利润为$(1350-850-b)x$元；
沙发打九折后每件售价为$2000×0.9=1800$元，每件沙发利润为$1800-1400=400$元，沙发总利润为$400(40-x)$元。
因此总利润为：
$\begin{aligned}&(1350-850-b)x + (2000×0.9 -1400)(40-x)\\=&(500-b)x + 400(40-x)\\=&500x -bx + 16000 - 400x\\=&(100-b)x + 16000\end{aligned}$
∵销售完所有家具的利润与$x$的取值无关，
∴$x$的系数为0，即$100-b=0$，
解得$b=100$。
【答案】
(1)① $\boldsymbol{-2ax-7x-18a}$；② $\boldsymbol{x=-9}$；(2) $\boldsymbol{b=100}$
【知识点】
整式的加减，代数式无关类问题，利润问题计算
【点评】
本题以整式运算为基础，结合实际销售场景出题，核心是掌握“若代数式的值与某一字母无关，则该字母合并后的系数为0”的规律，既考查基本运算能力，也考查利用代数知识解决实际问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
