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1. 三角形内切圆的圆心是(
A.三条高的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
C
).A.三条高的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先要明确三角形内切圆圆心的核心性质：到三角形三条边的距离相等，该距离就是内切圆的半径。再结合学过的线段性质推理：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此到三边距离都相等的点，必然是三条角平分线的交点。同时可通过区分各选项对应的三角形特殊交点，排除错误选项。
【解析】
对各选项逐一分析：
A. 三条高的交点是三角形的垂心，不符合内切圆圆心的性质，排除；
B. 三条中线的交点是三角形的重心，重心性质为分每条中线为2:1的两段，与内切圆圆心无关，排除；
C. 角平分线上的点到角两边距离相等，因此三条角平分线的交点到三角形三边距离均相等，正好是内切圆的圆心（内心），符合要求；
D. 三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，是外接圆的圆心，性质为到三个顶点距离相等，排除。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心定义；角平分线的性质；三角形特殊交点辨析
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对三角形各类特殊交点的定义和性质的区分，熟记相关概念即可快速得出正确答案，是三角形模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确三角形内切圆圆心的核心性质：到三角形三条边的距离相等，该距离就是内切圆的半径。再结合学过的线段性质推理：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此到三边距离都相等的点，必然是三条角平分线的交点。同时可通过区分各选项对应的三角形特殊交点，排除错误选项。
【解析】
对各选项逐一分析：
A. 三条高的交点是三角形的垂心，不符合内切圆圆心的性质，排除；
B. 三条中线的交点是三角形的重心，重心性质为分每条中线为2:1的两段，与内切圆圆心无关，排除；
C. 角平分线上的点到角两边距离相等，因此三条角平分线的交点到三角形三边距离均相等，正好是内切圆的圆心（内心），符合要求；
D. 三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，是外接圆的圆心，性质为到三个顶点距离相等，排除。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心定义；角平分线的性质；三角形特殊交点辨析
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对三角形各类特殊交点的定义和性质的区分，熟记相关概念即可快速得出正确答案，是三角形模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 如图，四边形ABCD外切于$\odot O$，且$AB=10$，$CD=15$，则四边形ABCD的周长为(
A.60
B.55
C.45
D.50
D
).A.60
B.55
C.45
D.50
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先抓住“四边形ABCD外切于⊙O”这一关键条件，回忆圆外切四边形的核心性质：圆外切四边形的两组对边之和相等，这是本题的解题突破口。接下来我们可以先算出已知的一组对边AB和CD的和，再根据性质得到另一组对边AD和BC的和，最后把两组对边的和相加就能得到四边形的周长。
【解析】
∵ 四边形ABCD外切于$\odot O$，根据圆外切四边形的性质可知：圆外切四边形的对边和相等，
$\therefore AB + CD = AD + BC$，
已知$AB=10$，$CD=15$，
$\therefore AB + CD = 10 + 15 = 25$，即$AD + BC = 25$，
$\therefore$ 四边形ABCD的周长$= AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (AD + BC) = 25 + 25 = 50$。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆外切四边形的性质
2. 四边形周长计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆外切四边形性质的直接应用，只要牢记圆外切四边形对边和相等的性质，就能快速计算出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住“四边形ABCD外切于⊙O”这一关键条件，回忆圆外切四边形的核心性质：圆外切四边形的两组对边之和相等，这是本题的解题突破口。接下来我们可以先算出已知的一组对边AB和CD的和，再根据性质得到另一组对边AD和BC的和，最后把两组对边的和相加就能得到四边形的周长。
【解析】
∵ 四边形ABCD外切于$\odot O$，根据圆外切四边形的性质可知：圆外切四边形的对边和相等，
$\therefore AB + CD = AD + BC$，
已知$AB=10$，$CD=15$，
$\therefore AB + CD = 10 + 15 = 25$，即$AD + BC = 25$，
$\therefore$ 四边形ABCD的周长$= AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (AD + BC) = 25 + 25 = 50$。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆外切四边形的性质
2. 四边形周长计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆外切四边形性质的直接应用，只要牢记圆外切四边形对边和相等的性质，就能快速计算出结果。
【难度系数】
0.8
3. 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何.”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步.”该问题的答案是
6
步.答案
3. 6
解析
【分析】
本题是求直角三角形内切圆直径的问题，解题思路如下：第一步先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长；第二步可通过面积法或切线长定理推导得出内切圆半径的表达式，计算出半径后乘2即可得到直径。
【解析】
解：首先根据勾股定理计算该直角三角形的斜边长：
斜边长 $ c = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 $（步）
设该直角三角形内切圆的半径为$ r $，利用面积法计算半径：
直角三角形的面积 $ S = \frac{1}{2} × 8 × 15 = 60 $
同时，三角形面积可表示为以内切圆圆心为顶点，分别以三边为底的三个小三角形的面积和，即：
$ S = \frac{1}{2} × 8 × r + \frac{1}{2} × 15 × r + \frac{1}{2} × 17 × r = \frac{1}{2}r(8+15+17) = 20r $
联立得 $ 20r = 60 $，解得 $ r = 3 $
因此内切圆的直径为 $ 2r = 2 × 3 = 6 $（步）
【答案】
6
【知识点】
勾股定理；三角形内切圆性质；切线长定理
【点评】
本题结合中国古代数学典籍内容考查基础几何计算，既考查了常规几何定理的应用，也能让学生体会传统数学的文化价值，解题核心是熟练掌握直角三角形内切圆半径的常用计算方法。
【难度系数】
0.8
本题是求直角三角形内切圆直径的问题，解题思路如下：第一步先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长；第二步可通过面积法或切线长定理推导得出内切圆半径的表达式，计算出半径后乘2即可得到直径。
【解析】
解：首先根据勾股定理计算该直角三角形的斜边长：
斜边长 $ c = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 $（步）
设该直角三角形内切圆的半径为$ r $，利用面积法计算半径：
直角三角形的面积 $ S = \frac{1}{2} × 8 × 15 = 60 $
同时，三角形面积可表示为以内切圆圆心为顶点，分别以三边为底的三个小三角形的面积和，即：
$ S = \frac{1}{2} × 8 × r + \frac{1}{2} × 15 × r + \frac{1}{2} × 17 × r = \frac{1}{2}r(8+15+17) = 20r $
联立得 $ 20r = 60 $，解得 $ r = 3 $
因此内切圆的直径为 $ 2r = 2 × 3 = 6 $（步）
【答案】
6
【知识点】
勾股定理；三角形内切圆性质；切线长定理
【点评】
本题结合中国古代数学典籍内容考查基础几何计算，既考查了常规几何定理的应用，也能让学生体会传统数学的文化价值，解题核心是熟练掌握直角三角形内切圆半径的常用计算方法。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$△ ABC$中，点$P$是$△ ABC$的内心，则$∠ PBC+∠ PCA+∠ PAB=$
90
$°$。第4题答案
4. 90
解析
【分析】
解题思路：首先回忆三角形内心的定义，三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此内心与顶点的连线会平分对应内角。由此可得待求的三个角分别是△ABC三个内角的一半，再结合三角形内角和为180°，将三个角相加求和即可得到结果。
【解析】
解：
∵点P是△ABC的内心，
∴PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，PA平分∠BAC，
∴$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCA=\frac{1}{2}∠ ACB$，$∠ PAB=\frac{1}{2}∠ BAC$，
∴$∠ PBC+∠ PCA+∠ PAB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB+∠ BAC)$，
又
∵在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB+∠ BAC=180°$，
∴原式$=\frac{1}{2}×180°=90°$。
【答案】
90
【知识点】
三角形内心的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，核心是对三角形内心性质的掌握，只要明确内心是三角形内角平分线的交点，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题思路：首先回忆三角形内心的定义，三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此内心与顶点的连线会平分对应内角。由此可得待求的三个角分别是△ABC三个内角的一半，再结合三角形内角和为180°，将三个角相加求和即可得到结果。
【解析】
解：
∵点P是△ABC的内心，
∴PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，PA平分∠BAC，
∴$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCA=\frac{1}{2}∠ ACB$，$∠ PAB=\frac{1}{2}∠ BAC$，
∴$∠ PBC+∠ PCA+∠ PAB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB+∠ BAC)$，
又
∵在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB+∠ BAC=180°$，
∴原式$=\frac{1}{2}×180°=90°$。
【答案】
90
【知识点】
三角形内心的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，核心是对三角形内心性质的掌握，只要明确内心是三角形内角平分线的交点，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
5. 已知$△ ABC$的面积为16，周长为24.
(1)求作$△ ABC$的内切圆$\odot O$(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)求$\odot O$的半径.
(1)求作$△ ABC$的内切圆$\odot O$(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)求$\odot O$的半径.
答案
(1) 作图说明：
分别作$∠ A$和$∠ B$的角平分线，两条角平分线的交点即为内切圆圆心$O$，过点$O$作$AB$（或$BC$、$AC$）的垂线，以$O$为圆心、垂线段的长度为半径画圆，$\odot O$即为所求的$△ ABC$的内切圆，保留角平分线、垂线的作图痕迹即可。
---
(2) 解：
设$△ ABC$内切圆$\odot O$的半径为$r$，连接$OA$、$OB$、$OC$，可得$△ ABC$的面积可表示为$△ OAB$、$△ OBC$、$△ OAC$的面积之和：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}\\&=\frac{1}{2}· AB· r + \frac{1}{2}· BC· r + \frac{1}{2}· AC· r\\&=\frac{1}{2}r·(AB+BC+AC)\end{aligned}$
已知$S_{△ ABC}=16$，$△ ABC$的周长$AB+BC+AC=24$，代入得：
$16=\frac{1}{2}× r×24$
解得$r=\frac{4}{3}$。
即$\odot O$的半径为$\boldsymbol{\frac{4}{3}}$。
分别作$∠ A$和$∠ B$的角平分线，两条角平分线的交点即为内切圆圆心$O$，过点$O$作$AB$（或$BC$、$AC$）的垂线，以$O$为圆心、垂线段的长度为半径画圆，$\odot O$即为所求的$△ ABC$的内切圆，保留角平分线、垂线的作图痕迹即可。
---
(2) 解：
设$△ ABC$内切圆$\odot O$的半径为$r$，连接$OA$、$OB$、$OC$，可得$△ ABC$的面积可表示为$△ OAB$、$△ OBC$、$△ OAC$的面积之和：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}\\&=\frac{1}{2}· AB· r + \frac{1}{2}· BC· r + \frac{1}{2}· AC· r\\&=\frac{1}{2}r·(AB+BC+AC)\end{aligned}$
已知$S_{△ ABC}=16$，$△ ABC$的周长$AB+BC+AC=24$，代入得：
$16=\frac{1}{2}× r×24$
解得$r=\frac{4}{3}$。
即$\odot O$的半径为$\boldsymbol{\frac{4}{3}}$。
解析
【分析】
(1) 作三角形内切圆需先确定圆心和半径：三角形内切圆的圆心是三角形内角角平分线的交点，半径是圆心到三角形任意一边的垂线段长度。因此只需作出两个内角的角平分线得到圆心，再作圆心到边的垂线得到半径，即可画出内切圆。
(2) 求内切圆半径可采用分割法：连接圆心与三角形三个顶点，将原三角形拆分为3个高均为内切圆半径的小三角形，原三角形面积等于3个小三角形的面积之和，结合已知的面积和周长，代入等量关系即可求解半径。
【解析】
(1) 作图：分别作∠A和∠B的角平分线，两条角平分线的交点即为内切圆圆心$O$；过点$O$作$AB$（或$BC$、$AC$）的垂线，以$O$为圆心、垂线段的长度为半径画圆，$\odot O$即为所求，保留角平分线、垂线的作图痕迹即可。
(2) 设$\odot O$的半径为$r$，连接$OA$、$OB$、$OC$。
$\because$ 点$O$是$△ ABC$的内切圆圆心，$\therefore$ 点$O$到$AB$、$BC$、$AC$三边的距离均为$r$。
$△ ABC$的面积等于三个小三角形面积之和：
$\begin{aligned}S_{△ABC}&=S_{△OAB}+S_{△OBC}+S_{△OAC}\\&=\frac{1}{2}· AB· r + \frac{1}{2}· BC· r + \frac{1}{2}· AC· r\\&=\frac{1}{2}r·(AB+BC+AC)\end{aligned}$
将$S_{△ABC}=16$，$AB+BC+AC=24$代入上式：
$16=\frac{1}{2}× r×24$
解得$r=\frac{4}{3}$。
【答案】
(1) 作图见解析；
(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{\frac{4}{3}}$。
【知识点】
1. 三角形内切圆的作法
2. 三角形内切圆的性质
3. 等积法计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形内切圆的作图和半径计算，解题的关键是掌握内切圆圆心的位置特征，以及利用分割法建立面积、周长、内切圆半径的等量关系，熟练掌握相关性质后很容易求解。
【难度系数】
0.7
(1) 作三角形内切圆需先确定圆心和半径：三角形内切圆的圆心是三角形内角角平分线的交点，半径是圆心到三角形任意一边的垂线段长度。因此只需作出两个内角的角平分线得到圆心，再作圆心到边的垂线得到半径，即可画出内切圆。
(2) 求内切圆半径可采用分割法：连接圆心与三角形三个顶点，将原三角形拆分为3个高均为内切圆半径的小三角形，原三角形面积等于3个小三角形的面积之和，结合已知的面积和周长，代入等量关系即可求解半径。
【解析】
(1) 作图：分别作∠A和∠B的角平分线，两条角平分线的交点即为内切圆圆心$O$；过点$O$作$AB$（或$BC$、$AC$）的垂线，以$O$为圆心、垂线段的长度为半径画圆，$\odot O$即为所求，保留角平分线、垂线的作图痕迹即可。
(2) 设$\odot O$的半径为$r$，连接$OA$、$OB$、$OC$。
$\because$ 点$O$是$△ ABC$的内切圆圆心，$\therefore$ 点$O$到$AB$、$BC$、$AC$三边的距离均为$r$。
$△ ABC$的面积等于三个小三角形面积之和：
$\begin{aligned}S_{△ABC}&=S_{△OAB}+S_{△OBC}+S_{△OAC}\\&=\frac{1}{2}· AB· r + \frac{1}{2}· BC· r + \frac{1}{2}· AC· r\\&=\frac{1}{2}r·(AB+BC+AC)\end{aligned}$
将$S_{△ABC}=16$，$AB+BC+AC=24$代入上式：
$16=\frac{1}{2}× r×24$
解得$r=\frac{4}{3}$。
【答案】
(1) 作图见解析；
(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{\frac{4}{3}}$。
【知识点】
1. 三角形内切圆的作法
2. 三角形内切圆的性质
3. 等积法计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形内切圆的作图和半径计算，解题的关键是掌握内切圆圆心的位置特征，以及利用分割法建立面积、周长、内切圆半径的等量关系，熟练掌握相关性质后很容易求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，且$AB=9\ \mathrm{cm}$，$BC=15\ \mathrm{cm}$，$CA=12\ \mathrm{cm}$，求$AF$，$BD$，$CE$的长。
答案
$AF=3\ \mathrm{cm}$，$BD=6\ \mathrm{cm}$，$CE=9\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
本题可利用三角形内切圆的切线长定理得到相等线段，再通过设未知数列方程组的方式求解。首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等，因此可得AF=AE、BF=BD、CD=CE，设这三组线段的长度分别为未知数，结合△ABC三边的长度列出三元一次方程组，解方程组即可得到各线段的长度。
【解析】
根据切线长定理可知：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，因此
$AF=AE$，$BF=BD$，$CD=CE$。
设$AF=x\ \mathrm{cm}$，$BD=y\ \mathrm{cm}$，$CE=z\ \mathrm{cm}$，结合题意可得：
$\begin{cases}x+y=AB=9 \\y+z=BC=15 \\z+x=AC=12\end{cases}$
将三个方程左右两边分别相加，得$2(x+y+z)=36$，即$x+y+z=18$。
用该式分别减去每个方程：
$z=18-9=9$，$x=18-15=3$，$y=18-12=6$。
【答案】
$AF=3\ \mathrm{cm}$，$BD=6\ \mathrm{cm}$，$CE=9\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1.切线长定理
2.三角形内切圆性质
3.三元一次方程组的应用
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础题型，核心考查切线长定理的应用，通过方程思想将几何线段关系转化为代数方程组求解，解题的关键是熟练掌握切线长定理，准确找到相等的切线段建立等量关系。
【难度系数】
0.7
本题可利用三角形内切圆的切线长定理得到相等线段，再通过设未知数列方程组的方式求解。首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等，因此可得AF=AE、BF=BD、CD=CE，设这三组线段的长度分别为未知数，结合△ABC三边的长度列出三元一次方程组，解方程组即可得到各线段的长度。
【解析】
根据切线长定理可知：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，因此
$AF=AE$，$BF=BD$，$CD=CE$。
设$AF=x\ \mathrm{cm}$，$BD=y\ \mathrm{cm}$，$CE=z\ \mathrm{cm}$，结合题意可得：
$\begin{cases}x+y=AB=9 \\y+z=BC=15 \\z+x=AC=12\end{cases}$
将三个方程左右两边分别相加，得$2(x+y+z)=36$，即$x+y+z=18$。
用该式分别减去每个方程：
$z=18-9=9$，$x=18-15=3$，$y=18-12=6$。
【答案】
$AF=3\ \mathrm{cm}$，$BD=6\ \mathrm{cm}$，$CE=9\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1.切线长定理
2.三角形内切圆性质
3.三元一次方程组的应用
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础题型，核心考查切线长定理的应用，通过方程思想将几何线段关系转化为代数方程组求解，解题的关键是熟练掌握切线长定理，准确找到相等的切线段建立等量关系。
【难度系数】
0.7
