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10.下列说法中,正确的是（
A.任何数都有倒数
B.同号两数相乘,符号不变
C.互为相反数的两数相乘,积一定为负
D.两个有理数的积的绝对值,等于这两个有理数的绝对值的积
D
）A.任何数都有倒数
B.同号两数相乘,符号不变
C.互为相反数的两数相乘,积一定为负
D.两个有理数的积的绝对值,等于这两个有理数的绝对值的积
答案
D
解析
【分析】
这是一道有理数乘法相关的概念辨析题，解题时需要结合倒数、相反数、有理数乘法法则、绝对值的性质，逐个分析每个选项的正误，判断时要注意考虑0这类特殊值，避免遗漏特殊情况。首先回忆每个考点的定义和法则，逐一验证选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 0没有倒数，因此“任何数都有倒数”的说法错误；
B. 根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正，例如：$(-2)×(-3)=6$，两个负数相乘结果为正数，符号发生了改变，因此该说法错误；
C. 0的相反数是0，$0×0=0$，积不是负数，因此“互为相反数的两数相乘，积一定为负”的说法错误；
D. 根据绝对值的性质和有理数乘法法则，对任意有理数$a、b$，都满足$\vert a× b\vert=\vert a\vert×\vert b\vert$，因此该说法正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法法则，倒数的定义，绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，需要准确掌握各类基础概念的细节，注意特殊值0的相关性质，避免因概念记忆模糊出现判断失误。
【难度系数】
0.8
这是一道有理数乘法相关的概念辨析题，解题时需要结合倒数、相反数、有理数乘法法则、绝对值的性质，逐个分析每个选项的正误，判断时要注意考虑0这类特殊值，避免遗漏特殊情况。首先回忆每个考点的定义和法则，逐一验证选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 0没有倒数，因此“任何数都有倒数”的说法错误；
B. 根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正，例如：$(-2)×(-3)=6$，两个负数相乘结果为正数，符号发生了改变，因此该说法错误；
C. 0的相反数是0，$0×0=0$，积不是负数，因此“互为相反数的两数相乘，积一定为负”的说法错误；
D. 根据绝对值的性质和有理数乘法法则，对任意有理数$a、b$，都满足$\vert a× b\vert=\vert a\vert×\vert b\vert$，因此该说法正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法法则，倒数的定义，绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，需要准确掌握各类基础概念的细节，注意特殊值0的相关性质，避免因概念记忆模糊出现判断失误。
【难度系数】
0.8
11. 如果$a+b＞0$，且$a×b＞0$，那么（
A.$a＞0,b＞0$
B.$a,b$异号，且正数的绝对值较小
C.$a＜0,b＜0$
D.$a,b$异号，且负数的绝对值较小
A
）A.$a＞0,b＞0$
B.$a,b$异号，且正数的绝对值较小
C.$a＜0,b＜0$
D.$a,b$异号，且负数的绝对值较小
答案
A
解析
【分析】
解题时先从两个已知条件入手，第一步先根据有理数乘法的符号规律分析$a× b＞0$的含义：两数相乘同号得正、异号得负，因此可先确定$a、b$符号相同，直接排除描述异号的B、D选项。第二步再结合$a+b＞0$的条件分析：若两个数都为负数，和一定是负数，不符合和大于0的要求，因此排除同为负的C选项，即可得到正确答案。
【解析】
第一步：分析$a× b＞0$的意义
根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负。可知$a$和$b$符号相同，即要么$a＞0,b＞0$，要么$a＜0,b＜0$，因此排除B、D选项。
第二步：结合$a+b＞0$进一步判断
若$a＜0,b＜0$，根据有理数加法法则，两个负数相加的和仍为负数，即$a+b＜0$，与已知$a+b＞0$矛盾，因此排除C选项。
综上，只有$a＞0,b＞0$符合所有条件。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘法法则；有理数加法法则
【点评】
本题是有理数运算法则的基础应用类题目，解题关键是先通过乘法运算判断两数符号的异同，再结合加法运算确定最终符号，熟练掌握运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先从两个已知条件入手，第一步先根据有理数乘法的符号规律分析$a× b＞0$的含义：两数相乘同号得正、异号得负，因此可先确定$a、b$符号相同，直接排除描述异号的B、D选项。第二步再结合$a+b＞0$的条件分析：若两个数都为负数，和一定是负数，不符合和大于0的要求，因此排除同为负的C选项，即可得到正确答案。
【解析】
第一步：分析$a× b＞0$的意义
根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负。可知$a$和$b$符号相同，即要么$a＞0,b＞0$，要么$a＜0,b＜0$，因此排除B、D选项。
第二步：结合$a+b＞0$进一步判断
若$a＜0,b＜0$，根据有理数加法法则，两个负数相加的和仍为负数，即$a+b＜0$，与已知$a+b＞0$矛盾，因此排除C选项。
综上，只有$a＞0,b＞0$符合所有条件。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘法法则；有理数加法法则
【点评】
本题是有理数运算法则的基础应用类题目，解题关键是先通过乘法运算判断两数符号的异同，再结合加法运算确定最终符号，熟练掌握运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
12.若$a,b$互为相反数，$c,d$互为倒数，则$\frac{a+b}{2}-c× d$的值是
$-1$
。答案
$-1$
解析
【分析】
解题时先回忆相反数和倒数的基本性质：互为相反数的两个数相加和为0，互为倒数的两个数相乘乘积为1。我们先根据这两个性质分别求出$a+b$和$c× d$的值，再把所得的值代入到待求的代数式中，按照有理数的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$a,b$互为相反数，根据相反数的性质可得：$a+b=0$；
∵$c,d$互为倒数，根据倒数的性质可得：$c× d=1$；
将$a+b=0$、$c× d=1$代入$\frac{a+b}{2}-c× d$中计算：
$\frac{a+b}{2}-c× d=\frac{0}{2}-1=0-1=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对相反数、倒数基本概念的理解和运用，牢记相关定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆相反数和倒数的基本性质：互为相反数的两个数相加和为0，互为倒数的两个数相乘乘积为1。我们先根据这两个性质分别求出$a+b$和$c× d$的值，再把所得的值代入到待求的代数式中，按照有理数的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$a,b$互为相反数，根据相反数的性质可得：$a+b=0$；
∵$c,d$互为倒数，根据倒数的性质可得：$c× d=1$；
将$a+b=0$、$c× d=1$代入$\frac{a+b}{2}-c× d$中计算：
$\frac{a+b}{2}-c× d=\frac{0}{2}-1=0-1=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对相反数、倒数基本概念的理解和运用，牢记相关定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
13.如图，现有5张写着不同数的卡片.若从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数相乘所得的积最小，则这个最小值为
-7 -3
2 5
$-35$
.-7 -3
2 5答案
$-35$
解析
【分析】
要得到两个数乘积的最小值，首先结合有理数大小比较的规则：负数＜0＜正数，可知最小的乘积一定是负数，即所选两个数符号相反。再根据负数的大小规律：绝对值越大的负数越小，因此需要让异号两数的绝对值乘积最大，只需选取绝对值最大的负数和最大的正数相乘即可。
【解析】
解：根据有理数乘法法则及大小比较规律：
1. 乘积最小的结果为负数，因此需选择1个正数和1个负数相乘；
2. 要使所得负数最小，需让两个数的绝对值乘积最大。观察卡片上的数：负数中绝对值最大的是$-7$，正数中最大的是$5$；
3. 计算乘积：$(-7) × 5 = -35$。
【答案】
$-35$
【知识点】
有理数乘法法则，有理数大小比较
【点评】
本题是有理数乘法的应用类题目，解题核心是先判断乘积最小时的符号特征，再结合绝对值的大小筛选符合要求的数字计算，做题时要注意和“求乘积最大值”的题型做好区分。
【难度系数】
0.7
要得到两个数乘积的最小值，首先结合有理数大小比较的规则：负数＜0＜正数，可知最小的乘积一定是负数，即所选两个数符号相反。再根据负数的大小规律：绝对值越大的负数越小，因此需要让异号两数的绝对值乘积最大，只需选取绝对值最大的负数和最大的正数相乘即可。
【解析】
解：根据有理数乘法法则及大小比较规律：
1. 乘积最小的结果为负数，因此需选择1个正数和1个负数相乘；
2. 要使所得负数最小，需让两个数的绝对值乘积最大。观察卡片上的数：负数中绝对值最大的是$-7$，正数中最大的是$5$；
3. 计算乘积：$(-7) × 5 = -35$。
【答案】
$-35$
【知识点】
有理数乘法法则，有理数大小比较
【点评】
本题是有理数乘法的应用类题目，解题核心是先判断乘积最小时的符号特征，再结合绝对值的大小筛选符合要求的数字计算，做题时要注意和“求乘积最大值”的题型做好区分。
【难度系数】
0.7
14. 计算:
(1)$(-0.8)×(-\dfrac{7}{4})$.
(2)$1\dfrac{3}{5}×(-3\dfrac{3}{4})$.
(1)$(-0.8)×(-\dfrac{7}{4})$.
(2)$1\dfrac{3}{5}×(-3\dfrac{3}{4})$.
答案
解:(1)原式$=\frac{4}{5}×\frac{7}{4}=\frac{7}{5}.$
(2)原式$=\frac{8}{5}×(-\frac{15}{4})=-(\frac{8}{5}×\frac{15}{4})=-6.$
(2)原式$=\frac{8}{5}×(-\frac{15}{4})=-(\frac{8}{5}×\frac{15}{4})=-6.$
解析
【分析】
解决有理数乘法运算题的思路分三步：第一步先根据两个乘数的符号判断乘积的符号，遵循“同号得正，异号得负”的规则；第二步将小数、带分数统一转化为分数形式，方便后续计算；第三步计算两个数绝对值的乘积，通过约分简化计算后，结合之前确定的符号得到最终结果。
【解析】
(1) 两个乘数均为负数，同号得正，先确定结果符号为正，再将小数化分数计算：
原式$=0.8×\dfrac{7}{4}=\dfrac{4}{5}×\dfrac{7}{4}=\dfrac{7}{5}$
(2) 两个乘数一正一负，异号得负，先确定结果符号为负，再将带分数化为假分数计算：
原式$=\dfrac{8}{5}×(-\dfrac{15}{4})=-(\dfrac{8}{5}×\dfrac{15}{4})=-6$
【答案】
(1)$\dfrac{7}{5}$；(2)$-6$
【知识点】
有理数乘法法则、带分数与假分数互化、分数约分
【点评】
本题属于有理数乘法的基础运算题，解题的关键是先判断乘积符号，再统一乘数的形式后约分计算，运算时要注意不要遗漏符号，约分要彻底，避免不必要的计算错误。
【难度系数】
0.9
解决有理数乘法运算题的思路分三步：第一步先根据两个乘数的符号判断乘积的符号，遵循“同号得正，异号得负”的规则；第二步将小数、带分数统一转化为分数形式，方便后续计算；第三步计算两个数绝对值的乘积，通过约分简化计算后，结合之前确定的符号得到最终结果。
【解析】
(1) 两个乘数均为负数，同号得正，先确定结果符号为正，再将小数化分数计算：
原式$=0.8×\dfrac{7}{4}=\dfrac{4}{5}×\dfrac{7}{4}=\dfrac{7}{5}$
(2) 两个乘数一正一负，异号得负，先确定结果符号为负，再将带分数化为假分数计算：
原式$=\dfrac{8}{5}×(-\dfrac{15}{4})=-(\dfrac{8}{5}×\dfrac{15}{4})=-6$
【答案】
(1)$\dfrac{7}{5}$；(2)$-6$
【知识点】
有理数乘法法则、带分数与假分数互化、分数约分
【点评】
本题属于有理数乘法的基础运算题，解题的关键是先判断乘积符号，再统一乘数的形式后约分计算，运算时要注意不要遗漏符号，约分要彻底，避免不必要的计算错误。
【难度系数】
0.9
15. 下列说法是否正确. 如果认为正确,请说明理由;如果认为错误,请举例说明.
(1)两个正数中,较大数的倒数反而小.
(2)两个有理数中,较大数的倒数反而小.
(1)两个正数中,较大数的倒数反而小.
(2)两个有理数中,较大数的倒数反而小.
答案
解:(1)正确,理由如下:对于一个正数$a$,其倒数可写作$\frac{1}{a}$,那么两个正数中,较大数的倒数的分母比较小数的倒数的分母大,所以较大数的倒数反而小.
(2)不正确.例如:两个有理数$-1$和$1$,其中$-1$为较小数,$1$为较大数,它们的倒数分别为$-1,1.$因为$-1＜1$,所以此时较大数的倒数比较小数的倒数大.故该说法不正确.
(2)不正确.例如:两个有理数$-1$和$1$,其中$-1$为较小数,$1$为较大数,它们的倒数分别为$-1,1.$因为$-1＜1$,所以此时较大数的倒数比较小数的倒数大.故该说法不正确.
解析
【分析】
对于第(1)问，首先明确研究对象是两个正数，正数的倒数仍为正数，比较两个正数的倒数可转化为比较同分子正分数的大小：分子相同的正分数，分母越大分数值越小，因此较大正数的倒数分母更大，数值更小，可判断说法正确。
对于第(2)问，研究对象是有理数，有理数包含正有理数、负有理数（0没有倒数，举例时需排除），不能默认均为正数，可考虑一正一负的组合构造反例：当较大数为正数、较小数为负数时，正数的倒数仍为正数，负数的倒数仍为负数，正数大于负数，此时较大数的倒数反而更大，即可证明说法错误。
【解析】
(1) 该说法正确，理由如下：
设两个正数为$a$、$b$，且$a＞b＞0$，根据倒数的定义，二者的倒数分别为$\frac{1}{a}$、$\frac{1}{b}$。分子相同的正分数，分母越大分数值越小，因为$a＞b$，所以$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，即两个正数中较大数的倒数反而小。
(2) 该说法错误，举例如下：
取两个有理数$-1$和$1$，其中$1＞-1$，二者的倒数分别为$-1$、$1$，可得$1＞-1$，即较大数$1$的倒数大于较小数$-1$的倒数，不符合“较大数的倒数反而小”的结论，因此该说法错误。
【答案】
(1) 正确，理由见解析；
(2) 错误，反例如有理数$-1$和$1$（反例不唯一，合理即可）。
【知识点】
1. 倒数的定义
2. 有理数大小比较
3. 分数大小比较
【点评】
本题考查倒数的相关性质，易错点是判断第二问时忽略有理数包含负数的情况，直接套用正数的倒数性质得出错误结论。解题时要注意明确研究对象的范围，对于错误说法可通过构造反例快速验证。
【难度系数】
0.7
对于第(1)问，首先明确研究对象是两个正数，正数的倒数仍为正数，比较两个正数的倒数可转化为比较同分子正分数的大小：分子相同的正分数，分母越大分数值越小，因此较大正数的倒数分母更大，数值更小，可判断说法正确。
对于第(2)问，研究对象是有理数，有理数包含正有理数、负有理数（0没有倒数，举例时需排除），不能默认均为正数，可考虑一正一负的组合构造反例：当较大数为正数、较小数为负数时，正数的倒数仍为正数，负数的倒数仍为负数，正数大于负数，此时较大数的倒数反而更大，即可证明说法错误。
【解析】
(1) 该说法正确，理由如下：
设两个正数为$a$、$b$，且$a＞b＞0$，根据倒数的定义，二者的倒数分别为$\frac{1}{a}$、$\frac{1}{b}$。分子相同的正分数，分母越大分数值越小，因为$a＞b$，所以$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，即两个正数中较大数的倒数反而小。
(2) 该说法错误，举例如下：
取两个有理数$-1$和$1$，其中$1＞-1$，二者的倒数分别为$-1$、$1$，可得$1＞-1$，即较大数$1$的倒数大于较小数$-1$的倒数，不符合“较大数的倒数反而小”的结论，因此该说法错误。
【答案】
(1) 正确，理由见解析；
(2) 错误，反例如有理数$-1$和$1$（反例不唯一，合理即可）。
【知识点】
1. 倒数的定义
2. 有理数大小比较
3. 分数大小比较
【点评】
本题考查倒数的相关性质，易错点是判断第二问时忽略有理数包含负数的情况，直接套用正数的倒数性质得出错误结论。解题时要注意明确研究对象的范围，对于错误说法可通过构造反例快速验证。
【难度系数】
0.7
16.已知$|x|=3$，$|y|=7$.
(1)若$x× y＜0$，求$x-y$的值.
(2)若$x-y＜0$，求$x× y$的值.
(3)若$x+y＜0$，求$x× y$的值.
(1)若$x× y＜0$，求$x-y$的值.
(2)若$x-y＜0$，求$x× y$的值.
(3)若$x+y＜0$，求$x× y$的值.
答案
解:(1)$\because |x|=3,\therefore x=\pm3. \because |y|=7,\therefore y=\pm7. \because x×y＜0,\therefore x,y$异号.$\therefore x=3,y=-7$ 或 $x=-3,y=7.$当$x=3,y=-7$时,$x-y=3-(-7)=10;$当 $x=-3,y=7$时,$x-y=-3-7=-10. \therefore x-y$ 的值是$\pm10.$
(2)$\because x=\pm3,y=\pm7,$且$x-y＜0,\therefore x=3,y=7$ 或 $x=-3,y=7.$$\therefore x×y$的值是$\pm21.$
(3)$\because x=\pm3,y=\pm7,$且$x+y＜0,$$\therefore x=3,y=-7$ 或 $x=-3,y=-7. \therefore x×y$ 的值是$\pm21.$
(2)$\because x=\pm3,y=\pm7,$且$x-y＜0,\therefore x=3,y=7$ 或 $x=-3,y=7.$$\therefore x×y$的值是$\pm21.$
(3)$\because x=\pm3,y=\pm7,$且$x+y＜0,$$\therefore x=3,y=-7$ 或 $x=-3,y=-7. \therefore x×y$ 的值是$\pm21.$
解析
【分析】
解决本题首先要根据绝对值的性质求出x、y的所有可能取值，再结合每个小问给出的不等式条件，筛选出符合条件的x、y的组合，最后分情况代入计算对应代数式的值即可，注意分类讨论时不要遗漏任何符合条件的情况。
【解析】
解：由$|x|=3$可得$x=\pm3$，由$|y|=7$可得$y=\pm7$。
(1) $\because x× y＜0$，$\therefore x、y$异号，分两种情况：
①当$x=3$，$y=-7$时，$x-y=3-(-7)=10$；
②当$x=-3$，$y=7$时，$x-y=-3-7=-10$；
$\therefore x-y$的值为$\pm10$。
(2) $\because x-y＜0$，即$x＜y$，分两种情况：
①当$x=3$，$y=7$时，$x× y=3×7=21$；
②当$x=-3$，$y=7$时，$x× y=-3×7=-21$；
$\therefore x× y$的值为$\pm21$。
(3) $\because x+y＜0$，分两种情况：
①当$x=3$，$y=-7$时，$x× y=3×(-7)=-21$；
②当$x=-3$，$y=-7$时，$x× y=(-3)×(-7)=21$；
$\therefore x× y$的值为$\pm21$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\pm10}$；
(2) $\boldsymbol{\pm21}$；
(3) $\boldsymbol{\pm21}$
【知识点】
绝对值的性质；有理数运算；分类讨论思想
【点评】
本题核心是结合绝对值的性质与有理数运算的符号规则解题，解题时需先明确未知数的所有可能取值，再根据限定条件筛选有效情况分类计算，避免因漏解出错。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要根据绝对值的性质求出x、y的所有可能取值，再结合每个小问给出的不等式条件，筛选出符合条件的x、y的组合，最后分情况代入计算对应代数式的值即可，注意分类讨论时不要遗漏任何符合条件的情况。
【解析】
解：由$|x|=3$可得$x=\pm3$，由$|y|=7$可得$y=\pm7$。
(1) $\because x× y＜0$，$\therefore x、y$异号，分两种情况：
①当$x=3$，$y=-7$时，$x-y=3-(-7)=10$；
②当$x=-3$，$y=7$时，$x-y=-3-7=-10$；
$\therefore x-y$的值为$\pm10$。
(2) $\because x-y＜0$，即$x＜y$，分两种情况：
①当$x=3$，$y=7$时，$x× y=3×7=21$；
②当$x=-3$，$y=7$时，$x× y=-3×7=-21$；
$\therefore x× y$的值为$\pm21$。
(3) $\because x+y＜0$，分两种情况：
①当$x=3$，$y=-7$时，$x× y=3×(-7)=-21$；
②当$x=-3$，$y=-7$时，$x× y=(-3)×(-7)=21$；
$\therefore x× y$的值为$\pm21$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\pm10}$；
(2) $\boldsymbol{\pm21}$；
(3) $\boldsymbol{\pm21}$
【知识点】
绝对值的性质；有理数运算；分类讨论思想
【点评】
本题核心是结合绝对值的性质与有理数运算的符号规则解题，解题时需先明确未知数的所有可能取值，再根据限定条件筛选有效情况分类计算，避免因漏解出错。
【难度系数】
0.7
