例 用反证法证明。
已知：如图，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角，EF分别交AB，CD于点M，N，AB//CD。
求证：∠1=∠2。
证明：假设，过点M作直线GH，使得∠EMH=∠2，
根据，可得，
又因为AB//CD，与
相矛盾，故假设不成立，
所以∠1=∠2。

即时测评
对于同一平面上的直线a，b，c，如果a与b平行，c与a相交，那么c与b的位置关系是相交还是平行？请给出证明（用反证法）。
解：c与b的位置关系是。用反证法证明如下：
假设，因为a与b平行，所以（）。
这与矛盾。
故假设不成立，所以原来的结论是正确的。

1. ∠1≠∠2
2. 同位角相等，两直线平行
3. GH//CD
4. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
5. 相交
6. c与b平行
7. c与a平行
8. 平行于同一条直线的两条直线平行
9. c与a相交

【分析】
这道题包含反证法证明平行线同位角相等、用反证法判断平面内直线位置关系两类问题，解题遵循反证法的通用逻辑：
1. 反设：假设待证结论不成立；
2. 推导：结合平行线判定、平行公理等知识推理，得出与已知条件或定理矛盾的结果；
3. 定结论：矛盾说明假设错误，原结论成立。
第一部分证明同位角相等时，先反设角不相等，构造相等同位角得到新的平行线，再用平行公理找矛盾；第二部分判断直线位置关系时，先反设两直线平行，结合平行公理推论推导，得出和已知相交的矛盾即可。
【解析】
第一部分 证明∠1=∠2
1. 反证法第一步需假设结论不成立，要证∠1=∠2，因此首先假设$\boldsymbol{∠1≠∠2}$；
2. 过点M作GH使得∠EMH=∠2，∠EMH和∠2是直线GH、CD被EF截得的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，可得$\boldsymbol{GH// CD}$；
3. 已知$AB// CD$，此时过直线CD外一点M，出现AB、GH两条直线都与CD平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”的基本事实矛盾，假设不成立，因此∠1=∠2。
第二部分 判断c与b的位置关系
首先可判断c与b的位置关系是$\boldsymbol{相交}$，反证法证明如下：
1. 反设结论不成立，即假设$\boldsymbol{c与b平行}$；
2. 已知$a// b$，根据“平行于同一条直线的两条直线平行”的推论，可得$\boldsymbol{c与a平行}$；
3. 该结论和已知条件“c与a相交”矛盾，因此假设不成立，故c与b相交。
【答案】
1. ∠1≠∠2
2. 同位角相等，两直线平行
3. GH//CD
4. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
5. 相交
6. c与b平行
7. c与a平行
8. 平行于同一条直线的两条直线平行
9. c与a相交
【知识点】
反证法；平行线的判定与性质；平行公理及推论
【点评】
本题围绕反证法的应用设计，结合平行线相关定理考查“正难则反”的解题策略，核心是让学生掌握反证法“反设-推矛盾-得结论”的基本步骤，侧重对基础方法的理解和应用。
【难度系数】
0.7

阅读材料，完成下列探究。
我们知道，有理数都可以写成$\frac{p}{q}$（$p$，$q$为互质整数，$q≠0$）的形式。不能写成这种形式的实数称为无理数。
若以反证法证明“某数是无理数”，则可先假设它是有理数，再推出与“$p$，$q$互质”矛盾，从而假设不成立。
以证明“$\sqrt{2}$为无理数”为例，过程如下：
假设$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$（$m$，$n$为互质正整数），
两边平方，得$2=\frac{m^2}{n^2}$。整理，得$m^2=\underline{\quad ① \quad}$。
因为$n$是正整数，
所以$m^2$是偶数，可得$m$必为偶数。
设$m=2k$（$k$为正整数），代入①所在的等式，整理，得$n^2=\underline{\quad ② \quad}$，
所以$n^2$也是偶数，可得$n$也是偶数，
这与“$m$，$n$互质”矛盾，故$\sqrt{2}$是无理数。
探究1：写出①②对应的式子。
①______，②______；
探究2：请运用上述思想方法，证明$\sqrt{7}$是无理数。

探究1 ① $2n^2$
探究1 ② $2k^2$
探究2 证明略

【分析】
探究1可直接根据给出的等式变形推导：①是将$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$平方后的等式两边同乘$n^2$得到的结果；②是将$m=2k$代入①的等式后化简得到的$n^2$的表达式。
探究2可模仿题干中证明$\sqrt{2}$是无理数的反证法步骤：先假设$\sqrt{7}$是有理数，可表示为两个互质正整数的商，再通过平方变形推导得出两个正整数有公共因数，与互质的前提矛盾，即可证明假设不成立，$\sqrt{7}$为无理数。
【解析】
探究1
① 对$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$两边平方得$2=\frac{m^2}{n^2}$，等式两边同时乘$n^2$，可得$m^2=2n^2$，因此①填$2n^2$。
② 将$m=2k$代入$m^2=2n^2$，得$(2k)^2=2n^2$，即$4k^2=2n^2$，等式两边同时除以2，得$n^2=2k^2$，因此②填$2k^2$。
探究2
证明：假设$\sqrt{7}$是有理数，则存在互质的正整数$m$、$n$，使得$\sqrt{7}=\frac{m}{n}$。
两边平方，得$7=\frac{m^2}{n^2}$，整理得$m^2=7n^2$。
因为$n$是正整数，所以$m^2$是7的倍数，因此$m$一定是7的倍数。
设$m=7k$（$k$为正整数），代入$m^2=7n^2$，得$(7k)^2=7n^2$，即$49k^2=7n^2$，整理得$n^2=7k^2$。
因此$n^2$是7的倍数，可得$n$也一定是7的倍数。
此时$m$、$n$都为7的倍数，存在公因数7，与“$m$、$n$互质”矛盾，故假设不成立，$\sqrt{7}$是无理数。
【答案】
探究1：①$\boldsymbol{2n^2}$；②$\boldsymbol{2k^2}$
探究2：假设$\sqrt{7}$是有理数，则存在互质的正整数$m$、$n$，使得$\sqrt{7}=\frac{m}{n}$，平方后整理得$m^2=7n^2$，可推出$m$是7的倍数，设$m=7k$代入得$n^2=7k^2$，可推出$n$是7的倍数，与$m$、$n$互质矛盾，故$\sqrt{7}$是无理数。
【知识点】
反证法；无理数的定义；整数整除性质
【点评】
本题重点考查反证法的实际应用，解题核心是熟练掌握反证法的证明逻辑：先假设结论不成立，再通过合理推导得出与已知条件或公理矛盾的结果，进而证明原结论正确。题目通过模仿证明的形式降低了难度，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7