登录
一、选择题
1. 如图所示，将一副三角板按不同的方式摆放，能使∠α和∠β互余的是（
1. 如图所示，将一副三角板按不同的方式摆放，能使∠α和∠β互余的是（
A
）。答案
1. A
解析
【分析】
解题前首先明确互余的定义：若两个角的度数之和为90°，则这两个角互余。解题时结合平角、三角板的固定角度特征，逐个计算各选项中∠α与∠β的和，判断和是否为90°即可得到答案。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
选项A：∠α、∠β和三角板的直角共同组成1个平角（平角为180°），因此可得$∠α+∠β+90°=180°$，计算得$∠α+∠β=90°$，满足互余的条件。
选项B：∠α和∠β都等于90°减去两个三角板重叠的公共角，因此$∠α=∠β$，二者之和不一定为90°，不互余。
选项C：结合三角板角度，计算可得$∠α+∠β=135°≠90°$，不互余。
选项D：∠α和∠β相等，且$∠α+∠β=180°≠90°$，不互余。
综上只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义；平角的性质；三角板角度特征
【点评】
本题属于基础的角的关系判断题，解题核心是熟练掌握互余的定义，结合摆放位置利用角的和差关系计算即可。
【难度系数】
0.8
解题前首先明确互余的定义：若两个角的度数之和为90°，则这两个角互余。解题时结合平角、三角板的固定角度特征，逐个计算各选项中∠α与∠β的和，判断和是否为90°即可得到答案。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
选项A：∠α、∠β和三角板的直角共同组成1个平角（平角为180°），因此可得$∠α+∠β+90°=180°$，计算得$∠α+∠β=90°$，满足互余的条件。
选项B：∠α和∠β都等于90°减去两个三角板重叠的公共角，因此$∠α=∠β$，二者之和不一定为90°，不互余。
选项C：结合三角板角度，计算可得$∠α+∠β=135°≠90°$，不互余。
选项D：∠α和∠β相等，且$∠α+∠β=180°≠90°$，不互余。
综上只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义；平角的性质；三角板角度特征
【点评】
本题属于基础的角的关系判断题，解题核心是熟练掌握互余的定义，结合摆放位置利用角的和差关系计算即可。
【难度系数】
0.8
2. ∠α，∠β互为余角，∠α，∠γ互为补角，∠β+∠γ等于周角的$\frac{1}{3}$，三个角分别为（
A.$75°$，$15°$，$105°$
B.$60°$，$30°$，$120°$
C.$50°$，$30°$，$130°$
D.$70°$，$20°$，$110°$
A
）。A.$75°$，$15°$，$105°$
B.$60°$，$30°$，$120°$
C.$50°$，$30°$，$130°$
D.$70°$，$20°$，$110°$
答案
2. A
解析
【分析】
解题可以从两种思路入手：一是根据已知角的关系列等式求解，二是用代入排除法验证选项。首先要明确核心概念：互余的两个角和为90°，互补的两个角和为180°，周角为360°。先把题目中的文字条件转化为数学等式，再联立计算出三个角的度数，也可以依次验证每个选项是否同时满足所有条件，快速得出答案。
【解析】
方法一：列式计算
1. 根据余角定义，∠α与∠β互余，可得：$∠α + ∠β = 90°$ ①
2. 根据补角定义，∠α与∠γ互补，可得：$∠α + ∠\gamma = 180°$ ②
3. 周角为$360°$，周角的$\frac{1}{3}$为$360° × \frac{1}{3}=120°$，因此：$∠β + ∠\gamma = 120°$ ③
4. 将①+②+③，得：$2(∠α + ∠β + ∠\gamma) = 90° + 180° + 120° = 390°$，因此$∠α + ∠β + ∠\gamma = 195°$
5. 分别求各角：
$∠α = 195° - (∠β + ∠\gamma) = 195° - 120° = 75°$
$∠β = 90° - ∠α = 90° -75° =15°$
$∠\gamma = 180° - ∠α = 180° -75° =105°$
三个角为$75°,15°,105°$，对应选项A。
方法二：代入排除法
1. 先验证互余条件：选项C中$50°+30°=80°≠90°$，排除C；
2. 再验证$∠β + ∠\gamma = 120°$：
选项B：$30°+120°=150°≠120°$，排除B；
选项D：$20°+110°=130°≠120°$，排除D；
选项A：$15°+105°=120°$，同时满足$75°+15°=90°$、$75°+105°=180°$，全部条件符合。
【答案】
A
【知识点】
1. 余角的定义
2. 补角的定义
3. 角的和差计算
【点评】
本题核心考查余角、补角的基础概念，解题时只要准确把文字描述转化为角的数量关系，无论是直接计算还是代入排除都能快速得出答案，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
解题可以从两种思路入手：一是根据已知角的关系列等式求解，二是用代入排除法验证选项。首先要明确核心概念：互余的两个角和为90°，互补的两个角和为180°，周角为360°。先把题目中的文字条件转化为数学等式，再联立计算出三个角的度数，也可以依次验证每个选项是否同时满足所有条件，快速得出答案。
【解析】
方法一：列式计算
1. 根据余角定义，∠α与∠β互余，可得：$∠α + ∠β = 90°$ ①
2. 根据补角定义，∠α与∠γ互补，可得：$∠α + ∠\gamma = 180°$ ②
3. 周角为$360°$，周角的$\frac{1}{3}$为$360° × \frac{1}{3}=120°$，因此：$∠β + ∠\gamma = 120°$ ③
4. 将①+②+③，得：$2(∠α + ∠β + ∠\gamma) = 90° + 180° + 120° = 390°$，因此$∠α + ∠β + ∠\gamma = 195°$
5. 分别求各角：
$∠α = 195° - (∠β + ∠\gamma) = 195° - 120° = 75°$
$∠β = 90° - ∠α = 90° -75° =15°$
$∠\gamma = 180° - ∠α = 180° -75° =105°$
三个角为$75°,15°,105°$，对应选项A。
方法二：代入排除法
1. 先验证互余条件：选项C中$50°+30°=80°≠90°$，排除C；
2. 再验证$∠β + ∠\gamma = 120°$：
选项B：$30°+120°=150°≠120°$，排除B；
选项D：$20°+110°=130°≠120°$，排除D；
选项A：$15°+105°=120°$，同时满足$75°+15°=90°$、$75°+105°=180°$，全部条件符合。
【答案】
A
【知识点】
1. 余角的定义
2. 补角的定义
3. 角的和差计算
【点评】
本题核心考查余角、补角的基础概念，解题时只要准确把文字描述转化为角的数量关系，无论是直接计算还是代入排除都能快速得出答案，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
3. 如果$∠α$既有余角，也有补角，那么$∠α$的取值范围是(
A.$0° ＜ ∠α ＜ 90°$
B.$∠α = 90°$
C.$90° ＜ ∠α ＜ 180°$
D.$∠α = 180°$
A
)。A.$0° ＜ ∠α ＜ 90°$
B.$∠α = 90°$
C.$90° ＜ ∠α ＜ 180°$
D.$∠α = 180°$
答案
3. A
解析
【分析】
要确定∠α的取值范围，需先分别明确角有余角、有补角各自对应的条件，再取两个条件的公共部分即可得到结果。首先回忆余角定义：两个角和为90°则互为余角，因此∠α有余角的前提是它本身大于0°，且它的余角也大于0°，即∠α小于90°；再回忆补角定义：两个角和为180°则互为补角，因此∠α有补角的前提是它本身大于0°，且补角也大于0°，即∠α小于180°。最后同时满足两个条件取范围的交集即可。
【解析】
1. 根据余角的定义，若∠α有余角，则需满足：
$\begin{cases}∠α＞0° \\90°-∠α＞0°\end{cases}$
解得：$0°＜∠α＜90°$
2. 根据补角的定义，若∠α有补角，则需满足：
$\begin{cases}∠α＞0° \\180°-∠α＞0°\end{cases}$
解得：$0°＜∠α＜180°$
3. 因为∠α既有余角也有补角，需同时满足上述两个范围，取交集可得$0°＜∠α＜90°$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义，补角的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是明确不同类型角的余角、补角存在性：只有锐角才同时有余角和补角，直角、钝角都没有余角，平角没有补角，要注意不要混淆余角和补角的角度限制条件。
【难度系数】
0.9
要确定∠α的取值范围，需先分别明确角有余角、有补角各自对应的条件，再取两个条件的公共部分即可得到结果。首先回忆余角定义：两个角和为90°则互为余角，因此∠α有余角的前提是它本身大于0°，且它的余角也大于0°，即∠α小于90°；再回忆补角定义：两个角和为180°则互为补角，因此∠α有补角的前提是它本身大于0°，且补角也大于0°，即∠α小于180°。最后同时满足两个条件取范围的交集即可。
【解析】
1. 根据余角的定义，若∠α有余角，则需满足：
$\begin{cases}∠α＞0° \\90°-∠α＞0°\end{cases}$
解得：$0°＜∠α＜90°$
2. 根据补角的定义，若∠α有补角，则需满足：
$\begin{cases}∠α＞0° \\180°-∠α＞0°\end{cases}$
解得：$0°＜∠α＜180°$
3. 因为∠α既有余角也有补角，需同时满足上述两个范围，取交集可得$0°＜∠α＜90°$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义，补角的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是明确不同类型角的余角、补角存在性：只有锐角才同时有余角和补角，直角、钝角都没有余角，平角没有补角，要注意不要混淆余角和补角的角度限制条件。
【难度系数】
0.9
二、填空题
4. 如果$∠α=47°28'$，$∠α$的余角$∠β=$
4. 如果$∠α=47°28'$，$∠α$的余角$∠β=$
$42° 32'$
，$∠α$的补角$∠γ=$$132° 32'$
。答案
4. $42° 32'$，$132° 32'$
解析
【分析】
解题首先要明确余角和补角的基本定义：若两个角的和为90°，则两角互为余角；若两个角的和为180°，则两角互为补角，因此求∠α的余角和补角分别用90°、180°减去∠α的度数即可。另外角度采用60进制，即1°=60'，做减法时如果分位不够减，需要从度位借1°当作60'再计算。
【解析】
1. 计算余角$∠ β$：
根据余角定义可知$∠ β = 90° - ∠ α$
已知$∠ α=47°28'$，将$90°$换算为$89°60'$（分位不够减，借$1°$换算为$60'$）
则$∠ β = 89°60' - 47°28' = (89°-47°)+(60'-28') = 42°32'$
2. 计算补角$∠ \gamma$：
根据补角定义可知$∠ \gamma = 180° - ∠ α$
将$180°$换算为$179°60'$
则$∠ \gamma = 179°60' - 47°28' = (179°-47°)+(60'-28') = 132°32'$
【答案】
$42° 32'$，$132° 32'$
【知识点】
余角的定义，补角的定义，角度运算
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是熟记余角、补角的定义，计算时需注意角度为60进制，借位换算时不要误按10进制计算。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确余角和补角的基本定义：若两个角的和为90°，则两角互为余角；若两个角的和为180°，则两角互为补角，因此求∠α的余角和补角分别用90°、180°减去∠α的度数即可。另外角度采用60进制，即1°=60'，做减法时如果分位不够减，需要从度位借1°当作60'再计算。
【解析】
1. 计算余角$∠ β$：
根据余角定义可知$∠ β = 90° - ∠ α$
已知$∠ α=47°28'$，将$90°$换算为$89°60'$（分位不够减，借$1°$换算为$60'$）
则$∠ β = 89°60' - 47°28' = (89°-47°)+(60'-28') = 42°32'$
2. 计算补角$∠ \gamma$：
根据补角定义可知$∠ \gamma = 180° - ∠ α$
将$180°$换算为$179°60'$
则$∠ \gamma = 179°60' - 47°28' = (179°-47°)+(60'-28') = 132°32'$
【答案】
$42° 32'$，$132° 32'$
【知识点】
余角的定义，补角的定义，角度运算
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是熟记余角、补角的定义，计算时需注意角度为60进制，借位换算时不要误按10进制计算。
【难度系数】
0.8
5.一个角的补角加上$14°$,等于这个角的余角的5倍,则这个角的度数是
$64°$
.答案
5. $64°$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确余角和补角的定义：两个角的和为90°则互为余角，两个角的和为180°则互为补角。我们可以先设这个角的度数为未知数，用含未知数的式子分别表示出它的补角和余角，再根据题目给出的“补角+14°=余角×5”的等量关系列出一元一次方程，解方程即可求出这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为$ x° $，则它的补角为$ (180 - x)° $，余角为$ (90 - x)° $。
根据题意列方程：
$(180 - x) + 14 = 5(90 - x)$
化简方程：
左边整理得$194 - x$，右边整理得$450 - 5x$，即：
$194 - x = 450 - 5x$
移项得：$5x - x = 450 - 194$
合并同类项得：$4x = 256$
系数化为1得：$x = 64$
【答案】
$64°$
【知识点】
余角与补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题核心是熟练掌握余角、补角的定义，准确提取题目中的等量关系列方程求解，计算难度低，逻辑清晰，掌握相关基础概念即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确余角和补角的定义：两个角的和为90°则互为余角，两个角的和为180°则互为补角。我们可以先设这个角的度数为未知数，用含未知数的式子分别表示出它的补角和余角，再根据题目给出的“补角+14°=余角×5”的等量关系列出一元一次方程，解方程即可求出这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为$ x° $，则它的补角为$ (180 - x)° $，余角为$ (90 - x)° $。
根据题意列方程：
$(180 - x) + 14 = 5(90 - x)$
化简方程：
左边整理得$194 - x$，右边整理得$450 - 5x$，即：
$194 - x = 450 - 5x$
移项得：$5x - x = 450 - 194$
合并同类项得：$4x = 256$
系数化为1得：$x = 64$
【答案】
$64°$
【知识点】
余角与补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题核心是熟练掌握余角、补角的定义，准确提取题目中的等量关系列方程求解，计算难度低，逻辑清晰，掌握相关基础概念即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
6. 如果$∠ A + ∠ B = 90°$，$∠ B + ∠ C = 90°$，那么$∠ A$
$=$
$∠ C$，理由是同角的余角相等
。答案
6. $=$，同角的余角相等
解析
【分析】
我们先从题目给出的已知条件入手，首先回忆余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角。首先根据第一个等式∠A+∠B=90°，可判断∠A是∠B的余角；再根据第二个等式∠B+∠C=90°，可判断∠C也是∠B的余角。即∠A和∠C都是同一个角∠B的余角，结合余角的相关性质即可得出两个角的大小关系。
【解析】
解：
∵ $∠ A + ∠ B = 90°$（已知）
∴ $∠ A$是$∠ B$的余角（余角的定义）
又
∵ $∠ B + ∠ C = 90°$（已知）
∴ $∠ C$是$∠ B$的余角（余角的定义）
∴ $∠ A = ∠ C$，依据为同角的余角相等。
【答案】
$=$，同角的余角相等
【知识点】
1.余角的定义
2.余角的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，围绕余角的定义和性质设置，熟练掌握相关基础概念就能快速解答。
【难度系数】
0.9
我们先从题目给出的已知条件入手，首先回忆余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角。首先根据第一个等式∠A+∠B=90°，可判断∠A是∠B的余角；再根据第二个等式∠B+∠C=90°，可判断∠C也是∠B的余角。即∠A和∠C都是同一个角∠B的余角，结合余角的相关性质即可得出两个角的大小关系。
【解析】
解：
∵ $∠ A + ∠ B = 90°$（已知）
∴ $∠ A$是$∠ B$的余角（余角的定义）
又
∵ $∠ B + ∠ C = 90°$（已知）
∴ $∠ C$是$∠ B$的余角（余角的定义）
∴ $∠ A = ∠ C$，依据为同角的余角相等。
【答案】
$=$，同角的余角相等
【知识点】
1.余角的定义
2.余角的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，围绕余角的定义和性质设置，熟练掌握相关基础概念就能快速解答。
【难度系数】
0.9
三、解答题
7. 如图所示，已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，∠BOE=$\frac{1}{2}$∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数。
7. 如图所示，已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，∠BOE=$\frac{1}{2}$∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数。
答案
7. $72°$
解析
【分析】
首先梳理已知条件：∠AOB与∠BOC互补，说明二者和为180°；OD平分∠AOB，可得∠DOB是∠AOB的一半；已知∠BOE和∠EOC的倍分关系，以及∠DOE的度数。我们可以通过设未知数的方法，将未知角用含同一未知数的式子表示，再结合∠DOE=72°建立等量关系，解方程即可求出∠EOC的度数。
【解析】
解：设∠BOE=x，
∵∠BOE=$\frac{1}{2}$∠EOC，
∴∠EOC=2x，
∴∠BOC=∠BOE+∠EOC=3x。
∵∠AOB与∠BOC互为补角，
∴∠AOB+∠BOC=180°，即∠AOB=180°-3x。
∵OD是∠AOB的平分线，
∴∠DOB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$(180°-3x)=90°-$\frac{3}{2}x$。
又
∵∠DOE=∠DOB+∠BOE=72°，
代入得：$90°-\frac{3}{2}x + x =72°$，
化简得：$90°-\frac{1}{2}x=72°$，
解得$x=36°$，
∴∠EOC=2x=2×36°=72°。
【答案】
$72°$
【知识点】
补角的定义；角平分线的定义；角的运算
【点评】
本题是典型的角度计算问题，解题关键是理清图中角的和差、倍分关系，合理设未知数，利用已知角度建立方程求解，方程思想是解决此类角度计算问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：∠AOB与∠BOC互补，说明二者和为180°；OD平分∠AOB，可得∠DOB是∠AOB的一半；已知∠BOE和∠EOC的倍分关系，以及∠DOE的度数。我们可以通过设未知数的方法，将未知角用含同一未知数的式子表示，再结合∠DOE=72°建立等量关系，解方程即可求出∠EOC的度数。
【解析】
解：设∠BOE=x，
∵∠BOE=$\frac{1}{2}$∠EOC，
∴∠EOC=2x，
∴∠BOC=∠BOE+∠EOC=3x。
∵∠AOB与∠BOC互为补角，
∴∠AOB+∠BOC=180°，即∠AOB=180°-3x。
∵OD是∠AOB的平分线，
∴∠DOB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$(180°-3x)=90°-$\frac{3}{2}x$。
又
∵∠DOE=∠DOB+∠BOE=72°，
代入得：$90°-\frac{3}{2}x + x =72°$，
化简得：$90°-\frac{1}{2}x=72°$，
解得$x=36°$，
∴∠EOC=2x=2×36°=72°。
【答案】
$72°$
【知识点】
补角的定义；角平分线的定义；角的运算
【点评】
本题是典型的角度计算问题，解题关键是理清图中角的和差、倍分关系，合理设未知数，利用已知角度建立方程求解，方程思想是解决此类角度计算问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
8. 如图所示，∠AOE是平角，OD是∠COE的平分线，OB是∠AOC的平分线.
（1）求∠BOD的度数；
（2）当∠COD:∠BOC=2:3时，求∠COD，∠BOC的度数.
（1）求∠BOD的度数；
（2）当∠COD:∠BOC=2:3时，求∠COD，∠BOC的度数.
答案
(1) $∠ BOD=90°$
(2) $∠ COD=36°$, $∠ BOC=54°$
(2) $∠ COD=36°$, $∠ BOC=54°$
解析
【分析】
（1）首先明确平角的度数为180°，题中给出OB是∠AOC的角平分线、OD是∠COE的角平分线，根据角平分线的定义，可将∠BOC、∠COD分别转化为对应大角的一半，再通过角的和差关系将∠BOD转化为∠AOC与∠COE和的一半，代入平角的度数即可求解。
（2）已知∠COD和∠BOC的比例关系，且由（1）可知两个角的和为90°，采用设未知数的方法，根据比例设∠COD为2x、∠BOC为3x，结合两角和列方程求解即可。
【解析】
（1）
∵∠AOE是平角，
∴∠AOE = ∠AOC + ∠COE = 180°，
∵OB平分∠AOC，
∴∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOC，
∵OD平分∠COE，
∴∠COD = $\frac{1}{2}$∠COE，
∴∠BOD = ∠BOC + ∠COD = $\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠COE) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
（2）设∠COD = 2x，∠BOC = 3x，
由（1）可知∠BOD = ∠COD + ∠BOC = 90°，
代入得2x + 3x = 90°，
解得x = 18°，
∴∠COD = 2×18° = 36°，∠BOC = 3×18° = 54°。
【答案】
(1) $∠ BOD=90°$
(2) $∠ COD=36°$，$∠ BOC=54°$
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角的运算基础题，核心是利用角平分线的性质将待求角与已知平角建立关联，第二问利用比例设参数的方法是处理角度比例问题的常用技巧，熟练掌握后可快速求解此类问题。
【难度系数】
0.8
（1）首先明确平角的度数为180°，题中给出OB是∠AOC的角平分线、OD是∠COE的角平分线，根据角平分线的定义，可将∠BOC、∠COD分别转化为对应大角的一半，再通过角的和差关系将∠BOD转化为∠AOC与∠COE和的一半，代入平角的度数即可求解。
（2）已知∠COD和∠BOC的比例关系，且由（1）可知两个角的和为90°，采用设未知数的方法，根据比例设∠COD为2x、∠BOC为3x，结合两角和列方程求解即可。
【解析】
（1）
∵∠AOE是平角，
∴∠AOE = ∠AOC + ∠COE = 180°，
∵OB平分∠AOC，
∴∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOC，
∵OD平分∠COE，
∴∠COD = $\frac{1}{2}$∠COE，
∴∠BOD = ∠BOC + ∠COD = $\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠COE) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
（2）设∠COD = 2x，∠BOC = 3x，
由（1）可知∠BOD = ∠COD + ∠BOC = 90°，
代入得2x + 3x = 90°，
解得x = 18°，
∴∠COD = 2×18° = 36°，∠BOC = 3×18° = 54°。
【答案】
(1) $∠ BOD=90°$
(2) $∠ COD=36°$，$∠ BOC=54°$
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角的运算基础题，核心是利用角平分线的性质将待求角与已知平角建立关联，第二问利用比例设参数的方法是处理角度比例问题的常用技巧，熟练掌握后可快速求解此类问题。
【难度系数】
0.8
