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8. 定义：$[a,b]$为反比例函数$y=\frac{a}{bx}(ab≠0,a,b为实数)$的“关联数”. 反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$的“关联数”为$[m,m+2]$，反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的“关联数”为$[m+1,m+3]$，若$m＞0$，则（
A.$k_1=k_2$
B.$k_1＞k_2$
C.$k_1＜k_2$
D.无法比较
C
）.A.$k_1=k_2$
B.$k_1＞k_2$
C.$k_1＜k_2$
D.无法比较
答案
8. C
解析
【分析】
解题首先要准确理解题目给出的“关联数”新定义，将两个反比例函数对应的“关联数”代入定义式，分别求出$k_1$、$k_2$关于$m$的表达式；再利用作差法比较$k_1$和$k_2$的大小，结合$m＞0$的条件判断差值的正负，即可得出结论。
【解析】
根据“关联数”的定义：
1. 对于反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$，其“关联数”为$[m,m+2]$，对应$a=m$，$b=m+2$，因此函数可写为$y=\frac{m}{(m+2)x}$，对比$y=\frac{k_1}{x}$可得：
$k_1=\frac{m}{m+2}$
2. 对于反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$，其“关联数”为$[m+1,m+3]$，对应$a=m+1$，$b=m+3$，因此函数可写为$y=\frac{m+1}{(m+3)x}$，对比$y=\frac{k_2}{x}$可得：
$k_2=\frac{m+1}{m+3}$
3. 用作差法比较$k_1$和$k_2$的大小：
$k_1 - k_2 = \frac{m}{m+2} - \frac{m+1}{m+3}$
通分计算得：
$k_1 - k_2 = \frac{m(m+3) - (m+1)(m+2)}{(m+2)(m+3)}$
展开分子：
$m(m+3) - (m+1)(m+2) = m^2 + 3m - (m^2 + 3m + 2) = -2$
因为$m＞0$，所以分母$(m+2)(m+3)＞0$，分子为$-2＜0$，因此$k_1 - k_2 ＜ 0$，即$k_1 ＜ k_2$。
【答案】
C
【知识点】
新定义问题；反比例函数的概念；作差法比较大小
【点评】
本题结合新定义考查基础运算能力，解题核心是正确解读“关联数”的含义，准确推导$k_1$、$k_2$的表达式，再通过分式运算比较大小，是典型的新定义结合基础知识点的题型。
【难度系数】
0.7
解题首先要准确理解题目给出的“关联数”新定义，将两个反比例函数对应的“关联数”代入定义式，分别求出$k_1$、$k_2$关于$m$的表达式；再利用作差法比较$k_1$和$k_2$的大小，结合$m＞0$的条件判断差值的正负，即可得出结论。
【解析】
根据“关联数”的定义：
1. 对于反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$，其“关联数”为$[m,m+2]$，对应$a=m$，$b=m+2$，因此函数可写为$y=\frac{m}{(m+2)x}$，对比$y=\frac{k_1}{x}$可得：
$k_1=\frac{m}{m+2}$
2. 对于反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$，其“关联数”为$[m+1,m+3]$，对应$a=m+1$，$b=m+3$，因此函数可写为$y=\frac{m+1}{(m+3)x}$，对比$y=\frac{k_2}{x}$可得：
$k_2=\frac{m+1}{m+3}$
3. 用作差法比较$k_1$和$k_2$的大小：
$k_1 - k_2 = \frac{m}{m+2} - \frac{m+1}{m+3}$
通分计算得：
$k_1 - k_2 = \frac{m(m+3) - (m+1)(m+2)}{(m+2)(m+3)}$
展开分子：
$m(m+3) - (m+1)(m+2) = m^2 + 3m - (m^2 + 3m + 2) = -2$
因为$m＞0$，所以分母$(m+2)(m+3)＞0$，分子为$-2＜0$，因此$k_1 - k_2 ＜ 0$，即$k_1 ＜ k_2$。
【答案】
C
【知识点】
新定义问题；反比例函数的概念；作差法比较大小
【点评】
本题结合新定义考查基础运算能力，解题核心是正确解读“关联数”的含义，准确推导$k_1$、$k_2$的表达式，再通过分式运算比较大小，是典型的新定义结合基础知识点的题型。
【难度系数】
0.7
9. 如图27.1-1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P为边AD上一动点，CE⊥BP，垂足为E.设BP＝x，CE＝y，则y关于x的函数解析式为
$y=\frac{48}{x}(6≤ x≤ 10)$
.答案
9. $y=\frac{48}{x}(6≤ x≤ 10)$
解析
【分析】
要得到y关于x的函数解析式，可通过面积法建立两者的等量关系：首先矩形中△BPC的面积为定值，等于矩形面积的一半；同时△BPC的面积也可由底BP、高CE表示，联立两个面积表达式即可得到x与y的关系。再结合点P在AD上运动的边界情况，确定x的取值范围即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8
∴矩形ABCD的面积$S_{矩形ABCD}=AB· BC=6×8=48$
△BPC的面积为矩形面积的一半，即$S_{△ BPC}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2}×48=24$
又
∵CE⊥BP，BP=x，CE=y
∴$S_{△ BPC}=\frac{1}{2}· BP· CE=\frac{1}{2}xy$
联立面积等式得：$\frac{1}{2}xy=24$，整理得$y=\frac{48}{x}$
接下来确定x的取值范围：
当点P与点A重合时，BP最短，此时BP=AB=6；
当点P与点D重合时，BP最长，由勾股定理得$BP=BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
∴x的取值范围是$6≤ x≤10$
综上，y关于x的函数解析式为$y=\frac{48}{x}(6≤ x≤10)$
【答案】
$y=\frac{48}{x}(6≤ x≤ 10)$
【知识点】
矩形的性质，三角形面积计算，反比例函数解析式
【点评】
本题解题的核心是利用同一三角形面积的不同表示方法建立变量关系，易错点是容易忽略动点对应的自变量的取值范围，求解时要结合动点的运动边界确定取值。
【难度系数】
0.7
要得到y关于x的函数解析式，可通过面积法建立两者的等量关系：首先矩形中△BPC的面积为定值，等于矩形面积的一半；同时△BPC的面积也可由底BP、高CE表示，联立两个面积表达式即可得到x与y的关系。再结合点P在AD上运动的边界情况，确定x的取值范围即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8
∴矩形ABCD的面积$S_{矩形ABCD}=AB· BC=6×8=48$
△BPC的面积为矩形面积的一半，即$S_{△ BPC}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2}×48=24$
又
∵CE⊥BP，BP=x，CE=y
∴$S_{△ BPC}=\frac{1}{2}· BP· CE=\frac{1}{2}xy$
联立面积等式得：$\frac{1}{2}xy=24$，整理得$y=\frac{48}{x}$
接下来确定x的取值范围：
当点P与点A重合时，BP最短，此时BP=AB=6；
当点P与点D重合时，BP最长，由勾股定理得$BP=BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
∴x的取值范围是$6≤ x≤10$
综上，y关于x的函数解析式为$y=\frac{48}{x}(6≤ x≤10)$
【答案】
$y=\frac{48}{x}(6≤ x≤ 10)$
【知识点】
矩形的性质，三角形面积计算，反比例函数解析式
【点评】
本题解题的核心是利用同一三角形面积的不同表示方法建立变量关系，易错点是容易忽略动点对应的自变量的取值范围，求解时要结合动点的运动边界确定取值。
【难度系数】
0.7
10. 已知函数$y=y_1+y_2$，$y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x$成反比例，且当$x=1$时，$y=4$；当$x=2$时，$y=5$。
（1）求$y$与$x$之间的函数解析式；
（2）当$x=-2$时，求$y$的值。
图27.1-1
（1）求$y$与$x$之间的函数解析式；
（2）当$x=-2$时，求$y$的值。
图27.1-1
答案
10. 解：(1) 设$y_1=k_1x(k_1≠0)$，$y_2=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$，
则$y=k_1x+\frac{k_2}{x}$.
把$x=1$，$y=4$；$x=2$，$y=5$分别代入$y=k_1x+\frac{k_2}{x}$，得$\begin{cases}k_1+k_2=4,\\2k_1+\frac{k_2}{2}=5.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=2,\\k_2=2.\end{cases}$
所以$y$与$x$之间的函数解析式为$y=2x+\frac{2}{x}$.
(2) 把$x=-2$代入$y=2x+\frac{2}{x}$，得$y=2×(-2)+\frac{2}{-2}=-5$.
则$y=k_1x+\frac{k_2}{x}$.
把$x=1$，$y=4$；$x=2$，$y=5$分别代入$y=k_1x+\frac{k_2}{x}$，得$\begin{cases}k_1+k_2=4,\\2k_1+\frac{k_2}{2}=5.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=2,\\k_2=2.\end{cases}$
所以$y$与$x$之间的函数解析式为$y=2x+\frac{2}{x}$.
(2) 把$x=-2$代入$y=2x+\frac{2}{x}$，得$y=2×(-2)+\frac{2}{-2}=-5$.
解析
【分析】
解题时首先根据正比例函数、反比例函数的定义分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，进而得到$y$关于$x$的含待定系数的解析式；再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入解析式，得到关于待定系数的二元一次方程组，解方程组求出系数后即可确定$y$与$x$的函数解析式；第二问只需将$x=-2$代入已求出的解析式中计算即可得到$y$的值。
【解析】
(1) 设$y_1=k_1x$（$k_1≠0$），$y_2=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$），
根据$y=y_1+y_2$可得：$y=k_1x+\frac{k_2}{x}$。
将$x=1$，$y=4$；$x=2$，$y=5$分别代入上式，得到方程组：
$\begin{cases}k_1 + k_2 = 4\\2k_1 + \frac{k_2}{2} = 5\end{cases}$
给第二个方程两边同乘2得$4k_1 + k_2 = 10$，用该式减去第一个方程得$3k_1=6$，解得$k_1=2$，
把$k_1=2$代入$k_1 + k_2=4$，解得$k_2=2$。
因此$y$与$x$之间的函数解析式为$y=2x+\frac{2}{x}$。
(2) 将$x=-2$代入$y=2x+\frac{2}{x}$中，得：
$y=2×(-2) + \frac{2}{-2} = -4 -1 = -5$。
【答案】
(1) $y=2x+\frac{2}{x}$；(2) $-5$
【知识点】
正比例函数定义，反比例函数定义，待定系数法求解析式
【点评】
本题属于函数基础题型，解题核心是准确掌握正比例、反比例函数的表达形式，通过待定系数法建立方程组求解系数，代入求值时要注意符号运算，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据正比例函数、反比例函数的定义分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，进而得到$y$关于$x$的含待定系数的解析式；再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入解析式，得到关于待定系数的二元一次方程组，解方程组求出系数后即可确定$y$与$x$的函数解析式；第二问只需将$x=-2$代入已求出的解析式中计算即可得到$y$的值。
【解析】
(1) 设$y_1=k_1x$（$k_1≠0$），$y_2=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$），
根据$y=y_1+y_2$可得：$y=k_1x+\frac{k_2}{x}$。
将$x=1$，$y=4$；$x=2$，$y=5$分别代入上式，得到方程组：
$\begin{cases}k_1 + k_2 = 4\\2k_1 + \frac{k_2}{2} = 5\end{cases}$
给第二个方程两边同乘2得$4k_1 + k_2 = 10$，用该式减去第一个方程得$3k_1=6$，解得$k_1=2$，
把$k_1=2$代入$k_1 + k_2=4$，解得$k_2=2$。
因此$y$与$x$之间的函数解析式为$y=2x+\frac{2}{x}$。
(2) 将$x=-2$代入$y=2x+\frac{2}{x}$中，得：
$y=2×(-2) + \frac{2}{-2} = -4 -1 = -5$。
【答案】
(1) $y=2x+\frac{2}{x}$；(2) $-5$
【知识点】
正比例函数定义，反比例函数定义，待定系数法求解析式
【点评】
本题属于函数基础题型，解题核心是准确掌握正比例、反比例函数的表达形式，通过待定系数法建立方程组求解系数，代入求值时要注意符号运算，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
11. 在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为4 cm时，它的另一条对角线长为12 cm.
（1）设菱形的两条对角线的长分别为x cm，y cm，求y关于x的函数解析式. 这个函数是反比例函数吗？
（2）若其中一个菱形的一条对角线长为6 cm，求这个菱形的边长.
（1）设菱形的两条对角线的长分别为x cm，y cm，求y关于x的函数解析式. 这个函数是反比例函数吗？
（2）若其中一个菱形的一条对角线长为6 cm，求这个菱形的边长.
答案
（1） 在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为4 cm时，它的另一条对角线长为12 cm，
∴$S_{菱形}=\frac{1}{2}×4×12=24(cm^2)$。
∵菱形的两条对角线的长分别为x cm，y cm，
∴$S_{菱形}=\frac{1}{2}xy=24$。
∴y关于x的函数解析式为$y=\frac{48}{x}(x＞0)$，这个函数是反比例函数。
（2）
∵其中一个菱形的一条对角线长为6 cm，
∴另一条对角线长为$\frac{48}{6}=8(cm)$。
∴这个菱形的边长为$\sqrt{(\frac{6}{2})^2+(\frac{8}{2})^2}=5(cm)$。
∴$S_{菱形}=\frac{1}{2}×4×12=24(cm^2)$。
∵菱形的两条对角线的长分别为x cm，y cm，
∴$S_{菱形}=\frac{1}{2}xy=24$。
∴y关于x的函数解析式为$y=\frac{48}{x}(x＞0)$，这个函数是反比例函数。
（2）
∵其中一个菱形的一条对角线长为6 cm，
∴另一条对角线长为$\frac{48}{6}=8(cm)$。
∴这个菱形的边长为$\sqrt{(\frac{6}{2})^2+(\frac{8}{2})^2}=5(cm)$。
解析
【分析】
（1）首先先利用已知的两条对角线长度求出菱形的固定面积，再根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半的公式，建立x和y的等量关系，变形得到y关于x的函数解析式，再对照反比例函数的定义判断函数类型，注意对角线长度为正数，要标注自变量x的取值范围。
（2）先将已知的对角线长度代入第一问求出的函数解析式，算出另一条对角线的长度，再根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理计算菱形的边长即可。
【解析】
（1）已知当菱形的一条对角线长为4cm，另一条对角线长为12cm时，菱形面积为定值：
$S_{菱形}=\frac{1}{2}×4×12=24(cm^2)$
∵菱形的两条对角线长分别为x cm、y cm，根据菱形面积公式可得：
$\frac{1}{2}xy=24$
整理得$y=\frac{48}{x}$，对角线长度为正，故$x＞0$。
根据反比例函数定义，形如$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$，$x≠0$）的函数为反比例函数，因此该函数是反比例函数。
（2）当菱形的一条对角线长为6cm时，将$x=6$代入$y=\frac{48}{x}$，得：
$y=\frac{48}{6}=8(cm)$
∵菱形的对角线互相垂直平分，因此菱形的边长为：
$\sqrt{(\frac{6}{2})^2+(\frac{8}{2})^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5(cm)$
【答案】
（1）$y=\frac{48}{x}(x＞0)$，这个函数是反比例函数；
（2）5cm
【知识点】
菱形的面积计算，反比例函数的定义，勾股定理
【点评】
本题是几何与函数的基础综合题，解题的核心是牢记菱形的面积公式和对角线性质，同时要注意实际几何问题中自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
（1）首先先利用已知的两条对角线长度求出菱形的固定面积，再根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半的公式，建立x和y的等量关系，变形得到y关于x的函数解析式，再对照反比例函数的定义判断函数类型，注意对角线长度为正数，要标注自变量x的取值范围。
（2）先将已知的对角线长度代入第一问求出的函数解析式，算出另一条对角线的长度，再根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理计算菱形的边长即可。
【解析】
（1）已知当菱形的一条对角线长为4cm，另一条对角线长为12cm时，菱形面积为定值：
$S_{菱形}=\frac{1}{2}×4×12=24(cm^2)$
∵菱形的两条对角线长分别为x cm、y cm，根据菱形面积公式可得：
$\frac{1}{2}xy=24$
整理得$y=\frac{48}{x}$，对角线长度为正，故$x＞0$。
根据反比例函数定义，形如$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$，$x≠0$）的函数为反比例函数，因此该函数是反比例函数。
（2）当菱形的一条对角线长为6cm时，将$x=6$代入$y=\frac{48}{x}$，得：
$y=\frac{48}{6}=8(cm)$
∵菱形的对角线互相垂直平分，因此菱形的边长为：
$\sqrt{(\frac{6}{2})^2+(\frac{8}{2})^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5(cm)$
【答案】
（1）$y=\frac{48}{x}(x＞0)$，这个函数是反比例函数；
（2）5cm
【知识点】
菱形的面积计算，反比例函数的定义，勾股定理
【点评】
本题是几何与函数的基础综合题，解题的核心是牢记菱形的面积公式和对角线性质，同时要注意实际几何问题中自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
