1. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD⊥ BC$，则下列结论不正确的是 （）

A.$∠ B=∠ C$
B.$∠ BAD=∠ CAD$
C.$BD=CD$
D.$AB=2BC$

1.D

【分析】
首先由已知AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，结合AD⊥BC的条件，我们可以利用等腰三角形的性质逐一判断选项：首先利用“等边对等角”判断底角的关系，再利用等腰三角形“三线合一”（底边上的高同时是顶角平分线、底边上的中线）判断角平分线和底边线段相等的结论，最后验证无相关边长条件的选项是否成立，选出错误结论即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，根据“等边对等角”可得∠B=∠C，故A选项结论正确，不符合题意；
又
∵AD⊥BC，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD是∠BAC的角平分线，也是BC边上的中线，因此可得∠BAD=∠CAD，BD=CD，故B、C选项结论均正确，不符合题意；
D选项中，题目仅给出△ABC是等腰三角形，未给出边长的数量关系，无法得出AB=2BC的结论，该结论不成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边对等角；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题时需牢记等腰三角形的相关性质，同时注意审题，明确题目要求选出“不正确”的结论，避免因粗心选错答案。
【难度系数】
0.9

2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD=DB=BC$，$DE ⊥ AB$于点$E$。若$CD=4$，且$△ BCD$的周长为24，则$AE$的长为（）

A.5
B.6
C.7
D.8

2.C

【分析】
解题时先从已知的△BCD周长和CD长度入手，结合DB=BC的条件，先求出BD、BC的长度；再根据AD=DB求出AD的长，结合AB=AC的条件，利用线段和差求出AB的长度；最后根据等腰三角形三线合一的性质，因为AD=DB且DE⊥AB，可知E是AB中点，进而求出AE的长度。
【解析】
已知△BCD的周长为24，CD=4，因此$BC+BD+CD=24$，代入$CD=4$得：$BC+BD=24-4=20$。
又因为$DB=BC$，所以$BD=BC=20÷2=10$。
由$AD=DB$可知$AD=10$，因此$AC=AD+CD=10+4=14$。
因为$AB=AC$，所以$AB=14$。
又因为$AD=DB$，$DE⊥ AB$于E，根据等腰三角形三线合一的性质，E为AB的中点，因此$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×14=7$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，线段和差计算，三线合一
【点评】
本题侧重考查等腰三角形相关性质的实际应用，解题的核心是理清题目中各条线段的等量关系，先通过周长条件求出基础线段长度，再结合三线合一的性质推导所求线段，解题时要注意不要混淆各等腰三角形的腰和底。
【难度系数】
0.7

3. [教材P153习题15.4第11题改编] 如图，$AB=AE$，$BC=ED$，$∠ B=∠ E$，$AF$平分$∠ BAE$.若$CF=a$，则$CD=$.(用含$a$的式子表示)

3.2a

【分析】
解题时首先从已知的边、角相等条件出发，利用SAS判定定理证明△ABC≌△AED，得到AC=AD，推出△ACD为等腰三角形；再结合AF平分∠BAE以及全等三角形的对应角相等，推导得出AF平分等腰△ACD的顶角∠CAD，最后根据等腰三角形“三线合一”的性质，得到F是CD的中点，即可求出CD的长度。
【解析】
1. 证明△ABC≌△AED：
在△ABC和△AED中，
$\{\begin{array}{l}AB=AE\\∠ B=∠ E\\BC=ED\end{array} $
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC=AD，∠BAC=∠EAD。
2. 推导AF平分∠CAD：
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF=∠EAF，
∴∠BAF - ∠BAC = ∠EAF - ∠EAD，即∠CAF=∠DAF。
3. 利用等腰三角形性质求CD：
∵AC=AD，AF平分∠CAD，根据等腰三角形三线合一的性质，AF是等腰△ACD底边CD上的中线，
∴CF=FD，
已知CF=a，
∴CD=CF+FD=2a。
【答案】
2a
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是先通过全等三角形得到等腰三角形，再结合等腰三角形三线合一的性质得到线段的倍分关系，熟练掌握全等判定和等腰三角形性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7

4.[一题多解题]如图,点D,E在△ABC的边BC上,AD=AE,BD=CE.求证:AB=AC.

证明：
方法一：
∵ AD=AE，
∴ ∠ADE=∠AED（等腰三角形的两个底角相等），
∴ ∠ADB=180°-∠ADE，∠AEC=180°-∠AED，
∴ ∠ADB=∠AEC。
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AD=AE \\∠ADB=∠AEC \\BD=CE\end{array} $
∴ △ABD≌△ACE（SAS），
∴ AB=AC。
方法二：
过点A作AF⊥BC，垂足为点F。
∵ AD=AE，AF⊥DE，
∴ DF=EF（等腰三角形底边上的高平分底边，即三线合一）。
∵ BD=CE，
∴ BD+DF=CE+EF，即BF=CF。
又∵ AF⊥BC，
∴ AF垂直平分线段BC，
∴ AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。

【分析】
要证明AB=AC，可从两种思路入手：思路一：证明AB、AC所在的△ABD与△ACE全等，已知AD=AE、BD=CE，只需推导两边的夹角∠ADB=∠AEC即可。先利用等腰三角形两底角相等得到∠ADE=∠AED，再通过邻补角的性质推出夹角相等，即可用SAS判定三角形全等，进而得到对应边相等。思路二：利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点A作BC的垂线，先推导该垂线平分BC，即AF是BC的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质直接得到AB=AC。
【解析】
方法一：
∵ AD=AE，
∴ ∠ADE=∠AED（等腰三角形的两个底角相等），
∴ ∠ADB=180°-∠ADE，∠AEC=180°-∠AED，
∴ ∠ADB=∠AEC。
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AD=AE \\∠ADB=∠AEC \\BD=CE\end{array} $
∴ △ABD≌△ACE（SAS），
∴ AB=AC。
方法二：
过点A作AF⊥BC，垂足为点F。
∵ AD=AE，AF⊥DE，
∴ DF=EF（等腰三角形底边上的高平分底边，即三线合一）。
∵ BD=CE，
∴ BD+DF=CE+EF，即BF=CF。
又
∵ AF⊥BC，
∴ AF垂直平分线段BC，
∴ AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
【答案】
AB=AC
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何证明的基础题型，两种解题方法分别对应了全等证明和特殊性质应用两类常见的几何证明思路，有助于培养学生发散思维，灵活运用所学性质解决问题。
【难度系数】
0.7

5. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E.下列结论不成立的是 ()

A.∠1=∠2
B.BF=CF
C.∠AFE=∠ACD
D.∠BAC=∠AFE

5.D

【分析】
首先结合已知条件△ABC中AB=AC，AD⊥BC，可根据等腰三角形“三线合一”的性质得到AD是∠BAC的角平分线，也是BC的垂直平分线，以此为基础逐一判断各选项：先判断A、B选项是否成立；再结合BE⊥AC的条件，利用直角三角形两锐角互余的性质，推导角的等量关系，判断C、D选项是否成立，最终选出不成立的结论。
【解析】
已知AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质：
1. 对选项A：AD平分∠BAC，因此∠1=∠2，A结论成立，不符合题意；
2. 对选项B：AD垂直平分BC，点F在AD上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得BF=CF，B结论成立，不符合题意；
3. 对选项C：
∵BE⊥AC，
∴在Rt△AEF中，∠AFE + ∠2 = 90°；又
∵AD⊥BC，
∴在Rt△ADC中，∠ACD + ∠2 = 90°；根据同角的余角相等，可得∠AFE=∠ACD，C结论成立，不符合题意；
4. 对选项D：∠AFE=∠ACD（已证），∠ACD是等腰△ABC的底角，∠BAC是等腰△ABC的顶角，仅当△ABC为等边三角形时二者才相等，一般情况下不相等，因此D结论不成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题以等腰三角形为载体，综合考察了三线合一、线段垂直平分线的性质以及余角的相关性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质推导角和线段的等量关系。
【难度系数】
0.7

6.如图,在等边三角形ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上一点,且CD=CE,过点D作DM⊥BE于点M.若CM=1,则BE=.

6.6

【分析】
解题时先从已知的等边三角形性质入手，明确其内角为60°、三边相等；再结合D是AC中点得到CD与AC（即BC）的数量关系；接着在Rt△DMC中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质，由CM的长度求出CD的长；最后根据CD=CE得到CE的长，结合BC与CD的关系求出BC，将BC和CE相加即可得到BE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB=60°，AB=BC=AC
∵D是AC的中点
∴$CD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BC$
∵DM⊥BE，
∴∠DMC=90°
在Rt△DMC中，∠DCM=∠ACB=60°，
∴∠CDM=90°-60°=30°
∴$CM = \frac{1}{2}CD$
已知CM=1，
∴CD=2CM=2
∵CD=CE，
∴CE=2
又
∵BC=2CD=2×2=4
∴BE=BC+CE=4+2=6
【答案】
6
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用题，解题的突破口是在直角三角形中利用30°角的性质求出CD的长度，再梳理各线段间的数量关系即可得出结果，熟练掌握特殊三角形的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7

7.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC边上任意一点,过点D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为点E,F.
(1)[一题多解题]当点D在BC的什么位置时,$DE=DF$?请给出证明.
(2)过点C作AB边上的高CG,请问:$DE$,$DF$,$CG$之间存在怎样的数量关系?并加以证明.

7.(1)当D为BC的中点时,DE=DF.证明略.
(2)$CG=DE+DF$.证明略.

【分析】
(1) 要使DE=DF，已知DE⊥AB、DF⊥AC，即点D到AB、AC的距离相等，根据角平分线的性质，点D应在∠BAC的平分线上；结合等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合，因此可推断D为BC中点时满足条件，再通过证明三角形全等或角平分线性质即可验证。
(2) 探究三条垂线段的数量关系，可采用面积法：连接AD，将△ABC拆分为△ABD和△ACD，利用三个三角形的面积关系，结合AB=AC的条件，即可推导得出三条线段的等量关系。
【解析】
(1) 当D为BC的中点时，DE=DF，证明如下：
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C，
∵ D是BC中点，
∴ BD=CD，
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB=∠DFC=90°，
在△BDE和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}∠DEB=∠DFC \\∠B=∠C \\BD=CD\end{array} $
∴ △BDE≌△CDF（AAS），
∴ DE=DF。
(也可通过证明AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线上的点到角两边距离相等得出DE=DF)
(2) $CG=DE+DF$，证明如下：
连接AD，
∵ $S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}$，
又
∵ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CG$，$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·DF$，
∴ $\frac{1}{2}AB·CG=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}AC·DF$，
∵ AB=AC，等式两边同时乘以2、除以AB，可得：
$CG=DE+DF$。
【答案】
(1) 当D为BC的中点时，$DE=DF$；
(2) $CG=DE+DF$。
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的典型应用题型，第一问可结合全等判定或角平分线性质、等腰三角形三线合一求解，第二问采用面积法可快速得到线段数量关系，解题时需灵活选择合适的几何方法简化证明过程。
【难度系数】
0.7