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1. [2024·合肥庐阳区期末]如图，AD，BE分别是$△ ABC$的高线、中线.若$S_{△ ABE}=8$，$BC=8$，则AD的长为（
A.2
B.4
C.6
D.8
B
）A.2
B.4
C.6
D.8
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先从已知条件“BE是△ABC的中线”入手，根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，先求出△ABC的总面积；再结合AD是△ABC的高、BC是底边，利用三角形面积公式即可求出AD的长度。
【解析】
∵BE是△ABC的中线，
∴点E是AC的中点，△ABE和△CBE等底（$AE=CE$）同高（点B到AC的距离），
∴$S_{△ ABE}=S_{△ CBE}=8$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABE}+S_{△ CBE}=8+8=16$。
又
∵AD是△ABC的高线，$BC=8$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD$，
代入数值：$16=\frac{1}{2}×8× AD$，
解得：$AD=4$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形中线的面积性质和三角形面积公式的应用，熟练掌握相关性质和公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件“BE是△ABC的中线”入手，根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，先求出△ABC的总面积；再结合AD是△ABC的高、BC是底边，利用三角形面积公式即可求出AD的长度。
【解析】
∵BE是△ABC的中线，
∴点E是AC的中点，△ABE和△CBE等底（$AE=CE$）同高（点B到AC的距离），
∴$S_{△ ABE}=S_{△ CBE}=8$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABE}+S_{△ CBE}=8+8=16$。
又
∵AD是△ABC的高线，$BC=8$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD$，
代入数值：$16=\frac{1}{2}×8× AD$，
解得：$AD=4$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形中线的面积性质和三角形面积公式的应用，熟练掌握相关性质和公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 已知$a$，$b$是$△ ABC$的两条边，对应高分别为$h_a$，$h_b$，且$a:b=4:5$，则$h_a:h_b=$
5:4
。答案
2.5:4
解析
【分析】
要解决本题，首先抓住“同一个三角形面积固定不变”这一核心特点，可分别用边a及对应高$h_a$、边b及对应高$h_b$表示出△ABC的面积，两个面积表达式相等即可建立边与高的等量关系，再结合已知的边的比例，通过比例性质变形就能推导出$h_a$与$h_b$的比值。
【解析】
设△ABC的面积为S，根据三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}a· h_a=\frac{1}{2}b· h_b$
等式两边同时乘2，消去系数$\frac{1}{2}$，得：$a· h_a = b· h_b$
根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积），将等式变形为比例形式：$h_a:h_b = b:a$
已知$a:b=4:5$，即$b:a=5:4$，因此$h_a:h_b=5:4$。
【答案】
$5:4$
【知识点】
三角形面积公式，比例的基本性质，面积法
【点评】
本题是面积法的典型基础应用题，解题关键是利用同一个三角形面积相等的特点建立边和对应高的等量关系，求解时需注意边的比与对应高的比成反比，避免比例写反。
【难度系数】
0.75
要解决本题，首先抓住“同一个三角形面积固定不变”这一核心特点，可分别用边a及对应高$h_a$、边b及对应高$h_b$表示出△ABC的面积，两个面积表达式相等即可建立边与高的等量关系，再结合已知的边的比例，通过比例性质变形就能推导出$h_a$与$h_b$的比值。
【解析】
设△ABC的面积为S，根据三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}a· h_a=\frac{1}{2}b· h_b$
等式两边同时乘2，消去系数$\frac{1}{2}$，得：$a· h_a = b· h_b$
根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积），将等式变形为比例形式：$h_a:h_b = b:a$
已知$a:b=4:5$，即$b:a=5:4$，因此$h_a:h_b=5:4$。
【答案】
$5:4$
【知识点】
三角形面积公式，比例的基本性质，面积法
【点评】
本题是面积法的典型基础应用题，解题关键是利用同一个三角形面积相等的特点建立边和对应高的等量关系，求解时需注意边的比与对应高的比成反比，避免比例写反。
【难度系数】
0.75
3. 如图, 在$△ ABC$ 中, $AD ⊥ BC$, $BE ⊥ AC$, $CF ⊥ AB$.若 $BC=20$, $AD=19.2$, $BE=19.2$, $CF=16$, 试求出$△ ABC$ 的周长.
答案
3.64
解析
【分析】
要求△ABC的周长，需要先求出AB、AC、BC三边的长度，已知BC的长度，只需求出AB和AC的长度即可。我们可以利用三角形面积的不同计算方法：同一个三角形的面积可以用任意一组底和对应高的乘积的一半来计算，先通过已知的BC和对应高AD算出三角形面积，再以AC为底、BE为高，AB为底、CF为高，分别反推出AC和AB的长度，最后相加得到周长。
【解析】
首先计算△ABC的面积：
∵ AD⊥BC，BC=20，AD=19.2
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 20 × 19.2 = 192$
接下来求AC的长度：
∵ BE⊥AC，BE=19.2
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BE$
代入面积和BE的数值：
$192 = \frac{1}{2} × AC × 19.2$
解得：$AC = \frac{192 × 2}{19.2} = 20$
再求AB的长度：
∵ CF⊥AB，CF=16
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × CF$
代入面积和CF的数值：
$192 = \frac{1}{2} × AB × 16$
解得：$AB = \frac{192 × 2}{16} = 24$
最后计算周长：
△ABC的周长 = AB + BC + AC = 24 + 20 + 20 = 64
【答案】
64
【知识点】
三角形面积计算，面积法应用，周长计算
【点评】
本题是面积法的典型应用，核心是理解同一个三角形用不同底和对应高计算得到的面积相等，通过面积作为中间量，即可快速求出未知边的长度，解题思路清晰，计算难度不大。
【难度系数】
0.8
要求△ABC的周长，需要先求出AB、AC、BC三边的长度，已知BC的长度，只需求出AB和AC的长度即可。我们可以利用三角形面积的不同计算方法：同一个三角形的面积可以用任意一组底和对应高的乘积的一半来计算，先通过已知的BC和对应高AD算出三角形面积，再以AC为底、BE为高，AB为底、CF为高，分别反推出AC和AB的长度，最后相加得到周长。
【解析】
首先计算△ABC的面积：
∵ AD⊥BC，BC=20，AD=19.2
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 20 × 19.2 = 192$
接下来求AC的长度：
∵ BE⊥AC，BE=19.2
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BE$
代入面积和BE的数值：
$192 = \frac{1}{2} × AC × 19.2$
解得：$AC = \frac{192 × 2}{19.2} = 20$
再求AB的长度：
∵ CF⊥AB，CF=16
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × CF$
代入面积和CF的数值：
$192 = \frac{1}{2} × AB × 16$
解得：$AB = \frac{192 × 2}{16} = 24$
最后计算周长：
△ABC的周长 = AB + BC + AC = 24 + 20 + 20 = 64
【答案】
64
【知识点】
三角形面积计算，面积法应用，周长计算
【点评】
本题是面积法的典型应用，核心是理解同一个三角形用不同底和对应高计算得到的面积相等，通过面积作为中间量，即可快速求出未知边的长度，解题思路清晰，计算难度不大。
【难度系数】
0.8
4.已知在正方形网格中,每个小方格都是边长为1的正方形,A,B两点在小方格的顶点上(如图),点C也在小方格的顶点上,且以A,B,C为顶点的三角形的面积为1,则点C的个数为多少?并在图中标出点C的位置.
答案
4.点C的个数为6,图略.
解析
【分析】要解决这个问题，首先回忆三角形面积公式：三角形面积=$\frac{1}{2}×底×高$，已知面积为1，可推出底和高的乘积为2。接下来结合A、B两点在网格中的位置，分AB的两侧寻找满足“底×高=2”的格点C，按区域有序查找即可避免漏数。
【解析】设每个小方格的边长为1，由$S_{△ ABC}=1$，可得$\frac{1}{2}×底×高=1$，即底和高的乘积为2。
观察A、B的位置：A、B两点水平距离为2，竖直距离为1，我们分区域寻找格点C：
1. 在AB连线的上方区域查找：可以找到3个符合条件的格点，分别对应底为2高为1、底为1高为2的情况，连接后形成的三角形面积均为1；
2. 在AB连线的下方区域查找：同理可以找到3个符合条件的格点，面积均满足要求。
经检验，所有找到的点均为网格顶点，无重复、无遗漏，总共有6个符合条件的点C。
【答案】点C的个数为6，位置如图（图略）。
【知识点】三角形面积计算，网格作图，分类讨论
【点评】本题是网格面积的典型应用题，解题时需要结合面积公式确定底和高的可能组合，再按区域有序找点，能够锻炼学生的有序思考能力，避免出现漏解的问题。
【难度系数】0.7
【解析】设每个小方格的边长为1，由$S_{△ ABC}=1$，可得$\frac{1}{2}×底×高=1$，即底和高的乘积为2。
观察A、B的位置：A、B两点水平距离为2，竖直距离为1，我们分区域寻找格点C：
1. 在AB连线的上方区域查找：可以找到3个符合条件的格点，分别对应底为2高为1、底为1高为2的情况，连接后形成的三角形面积均为1；
2. 在AB连线的下方区域查找：同理可以找到3个符合条件的格点，面积均满足要求。
经检验，所有找到的点均为网格顶点，无重复、无遗漏，总共有6个符合条件的点C。
【答案】点C的个数为6，位置如图（图略）。
【知识点】三角形面积计算，网格作图，分类讨论
【点评】本题是网格面积的典型应用题，解题时需要结合面积公式确定底和高的可能组合，再按区域有序找点，能够锻炼学生的有序思考能力，避免出现漏解的问题。
【难度系数】0.7
5. 如图,在$△ ABC$中,D,E,F分别是AC,BD,AE的中点.若$△ DEF$的面积为1,则$△ ABC$的面积是 （
A.3
B.4
C.8
D.12
C
）A.3
B.4
C.8
D.12
答案
5.C
解析
【分析】
本题利用三角形中线的性质求解面积，解题思路如下：三角形的中线会将三角形分成两个等底同高的小三角形，二者面积相等。我们可以从已知面积的$△ DEF$出发，依次根据F、E、D是对应边中点的条件，由小到大逐层推导更大三角形的面积，最终得到$△ ABC$的面积。
【解析】
1. 已知F是AE的中点，即$EF=AF$，$△ DEF$和$△ DAF$等底同高，面积相等，因此$S_{△ ADE}=2S_{△ DEF}=2×1=2$。
2. 已知E是BD的中点，即$BE=ED$，$△ ABE$和$△ ADE$等底同高，面积相等，因此$S_{△ ABE}=S_{△ ADE}=2$，可得$S_{△ ABD}=S_{△ ABE}+S_{△ ADE}=2+2=4$。
3. 已知D是AC的中点，即$AD=DC$，$△ ABD$和$△ CBD$等底同高，面积相等，因此$S_{△ CBD}=S_{△ ABD}=4$。
4. 最终可得$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ CBD}=4+4=8$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是面积法的典型应用，解题核心是熟练掌握“三角形中线平分三角形面积”的性质，按照从局部到整体的顺序逐层推导即可得到结果。
【难度系数】
0.7
本题利用三角形中线的性质求解面积，解题思路如下：三角形的中线会将三角形分成两个等底同高的小三角形，二者面积相等。我们可以从已知面积的$△ DEF$出发，依次根据F、E、D是对应边中点的条件，由小到大逐层推导更大三角形的面积，最终得到$△ ABC$的面积。
【解析】
1. 已知F是AE的中点，即$EF=AF$，$△ DEF$和$△ DAF$等底同高，面积相等，因此$S_{△ ADE}=2S_{△ DEF}=2×1=2$。
2. 已知E是BD的中点，即$BE=ED$，$△ ABE$和$△ ADE$等底同高，面积相等，因此$S_{△ ABE}=S_{△ ADE}=2$，可得$S_{△ ABD}=S_{△ ABE}+S_{△ ADE}=2+2=4$。
3. 已知D是AC的中点，即$AD=DC$，$△ ABD$和$△ CBD$等底同高，面积相等，因此$S_{△ CBD}=S_{△ ABD}=4$。
4. 最终可得$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ CBD}=4+4=8$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是面积法的典型应用，解题核心是熟练掌握“三角形中线平分三角形面积”的性质，按照从局部到整体的顺序逐层推导即可得到结果。
【难度系数】
0.7
6. [2024·亳州期中]如图，$△ DEF$的面积为1，且$AD = DC$，$BE = 2CE$，$DF = 3BF$，则$△ ABC$的面积为（
A.3
B.$\dfrac{11}{3}$
C.4
D.$\dfrac{13}{3}$
C
）A.3
B.$\dfrac{11}{3}$
C.4
D.$\dfrac{13}{3}$
答案
6.C
解析
【分析】
本题利用等高三角形的面积比例关系逆向推导大三角形面积，解题思路从已知面积的最小$△ DEF$出发：首先回忆等高的两个三角形面积比等于对应底边长的比，我们先根据$DF=3BF$的比例求出$△ BDE$的面积，再根据$BE=2CE$的比例求出$△ BCD$的面积，最后根据$AD=DC$的关系求出$△ ABC$的总面积。
【解析】
1. 求$△ BDE$的面积：
已知$DF=3BF$，即$BF:FD=1:3$，$△ BEF$和$△ DEF$以$E$为公共顶点，底边$BF$、$FD$在同一直线$BD$上，二者等高，面积比等于底的比：
$S_{△ BEF}:S_{△ DEF}=BF:FD=1:3$
$\because S_{△ DEF}=1$，$\therefore S_{△ BEF}=\frac{1}{3}S_{△ DEF}=\frac{1}{3}$
则$S_{△ BDE}=S_{△ BEF}+S_{△ DEF}=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$
2. 求$△ BCD$的面积：
已知$BE=2CE$，即$BE:CE=2:1$，$△ BDE$和$△ CDE$以$D$为公共顶点，底边$BE$、$CE$在同一直线$BC$上，二者等高，面积比等于底的比：
$S_{△ BDE}:S_{△ CDE}=BE:CE=2:1$
$\therefore S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$
则$S_{△ BCD}=S_{△ BDE}+S_{△ CDE}=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=2$
3. 求$△ ABC$的面积：
已知$AD=DC$，即$AD:DC=1:1$，$△ ABD$和$△ BCD$以$B$为公共顶点，底边$AD$、$DC$在同一直线$AC$上，二者等高，面积比等于底的比：
$S_{△ ABD}:S_{△ BCD}=AD:DC=1:1$
$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ BCD}=2$
则$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=2+2=4$
【答案】C
【知识点】
等高三角形面积性质、面积比例计算
【点评】
本题是面积法应用的典型题型，核心考查等高三角形面积与底边长的比例关系，解题关键是从已知面积的最小三角形出发，沿着线段比例关系逐层推导整体面积，熟练掌握相关规律即可快速求解。
【难度系数】
0.6
本题利用等高三角形的面积比例关系逆向推导大三角形面积，解题思路从已知面积的最小$△ DEF$出发：首先回忆等高的两个三角形面积比等于对应底边长的比，我们先根据$DF=3BF$的比例求出$△ BDE$的面积，再根据$BE=2CE$的比例求出$△ BCD$的面积，最后根据$AD=DC$的关系求出$△ ABC$的总面积。
【解析】
1. 求$△ BDE$的面积：
已知$DF=3BF$，即$BF:FD=1:3$，$△ BEF$和$△ DEF$以$E$为公共顶点，底边$BF$、$FD$在同一直线$BD$上，二者等高，面积比等于底的比：
$S_{△ BEF}:S_{△ DEF}=BF:FD=1:3$
$\because S_{△ DEF}=1$，$\therefore S_{△ BEF}=\frac{1}{3}S_{△ DEF}=\frac{1}{3}$
则$S_{△ BDE}=S_{△ BEF}+S_{△ DEF}=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$
2. 求$△ BCD$的面积：
已知$BE=2CE$，即$BE:CE=2:1$，$△ BDE$和$△ CDE$以$D$为公共顶点，底边$BE$、$CE$在同一直线$BC$上，二者等高，面积比等于底的比：
$S_{△ BDE}:S_{△ CDE}=BE:CE=2:1$
$\therefore S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$
则$S_{△ BCD}=S_{△ BDE}+S_{△ CDE}=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=2$
3. 求$△ ABC$的面积：
已知$AD=DC$，即$AD:DC=1:1$，$△ ABD$和$△ BCD$以$B$为公共顶点，底边$AD$、$DC$在同一直线$AC$上，二者等高，面积比等于底的比：
$S_{△ ABD}:S_{△ BCD}=AD:DC=1:1$
$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ BCD}=2$
则$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=2+2=4$
【答案】C
【知识点】
等高三角形面积性质、面积比例计算
【点评】
本题是面积法应用的典型题型，核心考查等高三角形面积与底边长的比例关系，解题关键是从已知面积的最小三角形出发，沿着线段比例关系逐层推导整体面积，熟练掌握相关规律即可快速求解。
【难度系数】
0.6
