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8. 一只小狗从点O出发，沿北偏东$30°$的方向行进了3 m到达点A，然后又向北偏西$60°$的方向行进了4 m到达点B.
（1）请画出这只小狗的行进路线；
（2）求$∠ BAO$的度数.
（1）请画出这只小狗的行进路线；
（2）求$∠ BAO$的度数.
答案
(1) 略 (2) $90°$
解析
【分析】
（1）画行进路线需先确定基准点和方向标：首先以O为原点建立东南西北四个基本方向，再根据北偏东30°、长度3m确定A点位置，最后以A为基准点作正北方向平行线，根据北偏西60°、长度4m确定B点，连接OA、AB即可。
（2）求∠BAO的度数时，首先明确不同地点的正北方向是互相平行的，可利用平行线的内错角相等，得到OA与A点正北方向的夹角等于OA与O点正北方向的夹角30°，再结合AB与A点正北方向夹角60°，两个角相加即可得到∠BAO的度数。
【解析】
（1）画图步骤：
① 画出平面方向标，标注原点O及东、南、西、北四个方向，设定比例尺1cm对应实际距离1m；
② 以O为顶点，正北方向为始边，顺时针向东旋转30°作射线，在射线上截取OA=3cm，得到点A；
③ 过A作与O点正北方向平行的直线作为A点的正北方向线，以该直线为始边，逆时针向西旋转60°作射线，在射线上截取AB=4cm，得到点B；
④ 依次连接OA、AB，即为小狗的行进路线。
（2）求解角度：
∵ 平面内任意两点的正北方向线互相平行，
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”，OA与A点正北方向线的夹角等于OA与O点正北方向线的夹角，为30°，
又
∵ AB是沿A点北偏西60°方向行进的路线，
∴ AB与A点正北方向线的夹角为60°，
∴ ∠BAO = 30° + 60° = 90°。
【答案】
（1）略 （2）$90°$
【知识点】
方向角的认识，平行线的性质，角的和差计算
【点评】
本题结合实际行进场景，考察方向角的作图与角度计算，解题核心是理解不同位置正北方向互相平行的特点，能准确将方向角转化为几何图形中的夹角，同时也锻炼了动手作图的能力。
【难度系数】
0.7
（1）画行进路线需先确定基准点和方向标：首先以O为原点建立东南西北四个基本方向，再根据北偏东30°、长度3m确定A点位置，最后以A为基准点作正北方向平行线，根据北偏西60°、长度4m确定B点，连接OA、AB即可。
（2）求∠BAO的度数时，首先明确不同地点的正北方向是互相平行的，可利用平行线的内错角相等，得到OA与A点正北方向的夹角等于OA与O点正北方向的夹角30°，再结合AB与A点正北方向夹角60°，两个角相加即可得到∠BAO的度数。
【解析】
（1）画图步骤：
① 画出平面方向标，标注原点O及东、南、西、北四个方向，设定比例尺1cm对应实际距离1m；
② 以O为顶点，正北方向为始边，顺时针向东旋转30°作射线，在射线上截取OA=3cm，得到点A；
③ 过A作与O点正北方向平行的直线作为A点的正北方向线，以该直线为始边，逆时针向西旋转60°作射线，在射线上截取AB=4cm，得到点B；
④ 依次连接OA、AB，即为小狗的行进路线。
（2）求解角度：
∵ 平面内任意两点的正北方向线互相平行，
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”，OA与A点正北方向线的夹角等于OA与O点正北方向线的夹角，为30°，
又
∵ AB是沿A点北偏西60°方向行进的路线，
∴ AB与A点正北方向线的夹角为60°，
∴ ∠BAO = 30° + 60° = 90°。
【答案】
（1）略 （2）$90°$
【知识点】
方向角的认识，平行线的性质，角的和差计算
【点评】
本题结合实际行进场景，考察方向角的作图与角度计算，解题核心是理解不同位置正北方向互相平行的特点，能准确将方向角转化为几何图形中的夹角，同时也锻炼了动手作图的能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图，点A，B，C的坐标分别为$(-4,0),(2,0),(0,6)$.
（1）求三角形ABC的面积；
（2）过点C作直线l平行于x轴，M为直线l上任意一点，试猜想三角形ABC与三角形MAB面积的关系，试用特殊值验证你的猜想；
（3）试在坐标轴上找一点P，使三角形ACP的面积为三角形ABC的面积的$\frac{1}{2}$.请直接写出满足条件的点P的坐标.
（1）求三角形ABC的面积；
（2）过点C作直线l平行于x轴，M为直线l上任意一点，试猜想三角形ABC与三角形MAB面积的关系，试用特殊值验证你的猜想；
（3）试在坐标轴上找一点P，使三角形ACP的面积为三角形ABC的面积的$\frac{1}{2}$.请直接写出满足条件的点P的坐标.
答案
9. (1) 18 (2) 相等,验证略 (3) (0, 1.5)或(0, 10.5)或(-1, 0)或(-7, 0)
解析
【分析】
（1）求△ABC的面积：A、B都在x轴上，先算AB的长度（两点横坐标差的绝对值），△ABC以AB为底时，高是点C到x轴的距离，即C点的纵坐标，代入三角形面积公式即可求解。
（2）猜想面积关系：直线l平行x轴，M在l上，因此M到AB所在x轴的距离和C到x轴的距离相等，△MAB和△ABC同底AB、高相等，因此面积相等；验证时取一个特殊的M点坐标，代入面积公式计算对比即可。
（3）求点P坐标：先算出△ACP的面积为9，分P在x轴、y轴两种情况讨论，分别设出P的坐标，根据面积公式列含绝对值的方程求解，注意不要漏解。
【解析】
（1）已知A(-4,0)，B(2,0)，则$AB=|2-(-4)|=6$。
点C(0,6)到x轴的距离为6，即△ABC中AB边上的高为6。
由三角形面积公式得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6×6=18$。
（2）猜想：$S_{△ ABC}=S_{△ MAB}$。
验证示例：取M(0,6)（即M和C重合），此时$S_{△ MAB}=S_{△ ABC}=18$；或取M(3,6)，M到x轴距离为6，$S_{△ MAB}=\frac{1}{2}×6×6=18$，均可得两个三角形面积相等（验证取值不唯一）。
（3）由题意得$S_{△ ACP}=\frac{1}{2}×18=9$，分两类讨论：
① 若P在y轴上，设P(0,y)，则$CP=|y-6|$，△ACP中CP边上的高为A到y轴的距离4。
列方程：$\frac{1}{2}×|y-6|×4=9$，化简得$|y-6|=4.5$，解得$y=10.5$或$y=1.5$，即P(0,1.5)或(0,10.5)。
② 若P在x轴上，设P(x,0)，则$AP=|x+4|$，△ACP中AP边上的高为C到x轴的距离6。
列方程：$\frac{1}{2}×|x+4|×6=9$，化简得$|x+4|=3$，解得$x=-1$或$x=-7$，即P(-1,0)或(-7,0)。
【答案】
(1) 18
(2) 相等，验证略
(3) (0, 1.5)或(0, 10.5)或(-1, 0)或(-7, 0)
【知识点】
坐标系面积计算，平行线性质，分类讨论
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，考查了同底等高三角形面积相等的性质，第三问需要分情况讨论点P的位置，解题时注意结合绝对值的性质求解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）求△ABC的面积：A、B都在x轴上，先算AB的长度（两点横坐标差的绝对值），△ABC以AB为底时，高是点C到x轴的距离，即C点的纵坐标，代入三角形面积公式即可求解。
（2）猜想面积关系：直线l平行x轴，M在l上，因此M到AB所在x轴的距离和C到x轴的距离相等，△MAB和△ABC同底AB、高相等，因此面积相等；验证时取一个特殊的M点坐标，代入面积公式计算对比即可。
（3）求点P坐标：先算出△ACP的面积为9，分P在x轴、y轴两种情况讨论，分别设出P的坐标，根据面积公式列含绝对值的方程求解，注意不要漏解。
【解析】
（1）已知A(-4,0)，B(2,0)，则$AB=|2-(-4)|=6$。
点C(0,6)到x轴的距离为6，即△ABC中AB边上的高为6。
由三角形面积公式得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6×6=18$。
（2）猜想：$S_{△ ABC}=S_{△ MAB}$。
验证示例：取M(0,6)（即M和C重合），此时$S_{△ MAB}=S_{△ ABC}=18$；或取M(3,6)，M到x轴距离为6，$S_{△ MAB}=\frac{1}{2}×6×6=18$，均可得两个三角形面积相等（验证取值不唯一）。
（3）由题意得$S_{△ ACP}=\frac{1}{2}×18=9$，分两类讨论：
① 若P在y轴上，设P(0,y)，则$CP=|y-6|$，△ACP中CP边上的高为A到y轴的距离4。
列方程：$\frac{1}{2}×|y-6|×4=9$，化简得$|y-6|=4.5$，解得$y=10.5$或$y=1.5$，即P(0,1.5)或(0,10.5)。
② 若P在x轴上，设P(x,0)，则$AP=|x+4|$，△ACP中AP边上的高为C到x轴的距离6。
列方程：$\frac{1}{2}×|x+4|×6=9$，化简得$|x+4|=3$，解得$x=-1$或$x=-7$，即P(-1,0)或(-7,0)。
【答案】
(1) 18
(2) 相等，验证略
(3) (0, 1.5)或(0, 10.5)或(-1, 0)或(-7, 0)
【知识点】
坐标系面积计算，平行线性质，分类讨论
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，考查了同底等高三角形面积相等的性质，第三问需要分情况讨论点P的位置，解题时注意结合绝对值的性质求解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
