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17. (2024秋湖里区期末)如图,已知∠AOC=50°,∠BOC=2∠AOC,OD平分∠AOB.求∠COD的度数.
答案
17.解:因为∠AOC=50°,∠BOC=2∠AOC,
所以∠BOC=2×50°=100°.
所以∠AOB=∠BOC+∠AOC=100°+50°=150°.
又因为 OD 平分∠AOB,
所以∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×150°=75°.
所以∠COD=∠AOD-∠AOC=75°-50°=25°.
所以∠BOC=2×50°=100°.
所以∠AOB=∠BOC+∠AOC=100°+50°=150°.
又因为 OD 平分∠AOB,
所以∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×150°=75°.
所以∠COD=∠AOD-∠AOC=75°-50°=25°.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据给出的∠AOC度数，以及∠BOC和∠AOC的倍数关系，先算出∠BOC的度数；再通过角的和的关系求出整个∠AOB的度数；接着利用角平分线的定义，算出OD平分∠AOB后得到的∠AOD的度数；最后根据∠COD是∠AOD和∠AOC的差，即可求出∠COD的度数。
【解析】
解：因为∠AOC=50°，∠BOC=2∠AOC，
所以∠BOC=2×50°=100°，
所以∠AOB=∠BOC+∠AOC=100°+50°=150°，
又因为OD平分∠AOB，
所以∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×150°=75°，
所以∠COD=∠AOD-∠AOC=75°-50°=25°。
【答案】
25°
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义
【点评】
本题是角度计算的常规基础题，解题的关键是理清图中各个角的数量关系，熟练运用角平分线的性质和角的和差运算规则，按步骤计算即可得出结果，不易出错。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先根据给出的∠AOC度数，以及∠BOC和∠AOC的倍数关系，先算出∠BOC的度数；再通过角的和的关系求出整个∠AOB的度数；接着利用角平分线的定义，算出OD平分∠AOB后得到的∠AOD的度数；最后根据∠COD是∠AOD和∠AOC的差，即可求出∠COD的度数。
【解析】
解：因为∠AOC=50°，∠BOC=2∠AOC，
所以∠BOC=2×50°=100°，
所以∠AOB=∠BOC+∠AOC=100°+50°=150°，
又因为OD平分∠AOB，
所以∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×150°=75°，
所以∠COD=∠AOD-∠AOC=75°-50°=25°。
【答案】
25°
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义
【点评】
本题是角度计算的常规基础题，解题的关键是理清图中各个角的数量关系，熟练运用角平分线的性质和角的和差运算规则，按步骤计算即可得出结果，不易出错。
【难度系数】
0.8
18.一个角与它的余角以及它的一个补角的和是直角的$\frac{7}{3}$倍，求这个角的补角.
答案
18.解:设这个角为 $x°$,则它的余角为 $(90°-x°)$,它的补角为$(180°-x°)$,
由题意,得 $x+(90-x)+(180-x)=\frac{7}{3}×90$,
解得 $x=60$.
所以 $180°-x°=120°$.
答:这个角的补角是 $120°$.
由题意,得 $x+(90-x)+(180-x)=\frac{7}{3}×90$,
解得 $x=60$.
所以 $180°-x°=120°$.
答:这个角的补角是 $120°$.
解析
【分析】
解决这道题首先要明确余角和补角的基本定义，解题思路可分为三步：第一步，设这个角的度数为未知数，用含未知数的式子分别表示出它的余角和补角；第二步，根据题目给出的“一个角+它的余角+它的一个补角=直角的$\frac{7}{3}$倍”这一等量关系，列出一元一次方程；第三步，解方程求出这个角的度数，再计算它的补角即可。
【解析】
解：设这个角为$x°$，则它的余角为$(90°-x°)$，它的补角为$(180°-x°)$。
由题意得：
$x+(90-x)+(180-x)=\frac{7}{3}×90$
化简等号左边得：$270 - x$
计算等号右边得：$210$
方程可改写为：$270 - x = 210$
解得：$x = 60$
因此这个角的补角为：$180° - 60° = 120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
余角的定义、补角的定义、一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础的角度计算类应用题，解题核心是熟练掌握余角、补角的概念，准确找到题目中的等量关系列方程求解，整体计算难度较低，掌握相关概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确余角和补角的基本定义，解题思路可分为三步：第一步，设这个角的度数为未知数，用含未知数的式子分别表示出它的余角和补角；第二步，根据题目给出的“一个角+它的余角+它的一个补角=直角的$\frac{7}{3}$倍”这一等量关系，列出一元一次方程；第三步，解方程求出这个角的度数，再计算它的补角即可。
【解析】
解：设这个角为$x°$，则它的余角为$(90°-x°)$，它的补角为$(180°-x°)$。
由题意得：
$x+(90-x)+(180-x)=\frac{7}{3}×90$
化简等号左边得：$270 - x$
计算等号右边得：$210$
方程可改写为：$270 - x = 210$
解得：$x = 60$
因此这个角的补角为：$180° - 60° = 120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
余角的定义、补角的定义、一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础的角度计算类应用题，解题核心是熟练掌握余角、补角的概念，准确找到题目中的等量关系列方程求解，整体计算难度较低，掌握相关概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
19.（几何直观）刚上初中的琪琪为了更加高效地完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块手表，爱钻研的琪琪发现了手表上的数学问题，如图①是一块手表，我们可以理解成如图②的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上）。
(1)已知表盘直径BC为3 cm，CD：AB=2：1，若点B是AC的中点，则手表全长AD=
(2)在某个时刻，分针ON指向表盘上的数字“6”（此时ON与OC重合）。时针为OE，琪琪一看现在正好是8:30，如图③所示。
①8:30 时分针和时针的夹角的度数为
②做射线OF，使∠EOF=20°，求此时∠BOF的度数.
(3)如图④，自8:30之后，OM始终是∠EON的平分线（分针还是ON），在一小时以内，经过
(1)已知表盘直径BC为3 cm，CD：AB=2：1，若点B是AC的中点，则手表全长AD=
12
cm.(2)在某个时刻，分针ON指向表盘上的数字“6”（此时ON与OC重合）。时针为OE，琪琪一看现在正好是8:30，如图③所示。
①8:30 时分针和时针的夹角的度数为
75
°.②做射线OF，使∠EOF=20°，求此时∠BOF的度数.
(3)如图④，自8:30之后，OM始终是∠EON的平分线（分针还是ON），在一小时以内，经过
$\frac{50}{11}$
或$\frac{250}{11}$
分钟后，∠EOM的度数是25°（直接写出结果）。答案
19.(1)12
(2)①75 ②解:当 OF 在∠EON 内部时,∠NOF=∠EON-∠EOF=75°-20°=55°.
所以∠BOF=180°-∠NOF=125°.
当 OF 在∠EON 外部时,∠BOF = 180°-(∠EON +∠EOF)=180°-(75°+20°)=85°.
所以∠BOF 的度数为 125°或 85°.
(3)$\frac{50}{11}$ $\frac{250}{11}$
(2)①75 ②解:当 OF 在∠EON 内部时,∠NOF=∠EON-∠EOF=75°-20°=55°.
所以∠BOF=180°-∠NOF=125°.
当 OF 在∠EON 外部时,∠BOF = 180°-(∠EON +∠EOF)=180°-(75°+20°)=85°.
所以∠BOF 的度数为 125°或 85°.
(3)$\frac{50}{11}$ $\frac{250}{11}$
解析
【分析】
(1) 本题属于线段和差计算问题，先根据中点性质求出AB的长度，再结合CD与AB的比例关系求出CD的长度，最后将三段线段相加即可得到AD的全长。
(2) ①钟面角计算问题，先明确钟面每个大格对应30°，8:30时分针指向6，时针在8和9正中间，数出两者相差的大格数乘30°即可得到夹角。②已知∠EOF=20°，需分两种情况讨论：OF在∠EON内部、OF在∠EON外部，结合平角为180°分别计算∠BOF，注意不要漏解。
(3) 本题为钟面追及结合角平分线的问题，先明确分针每分钟走6°、时针每分钟走0.5°，由角平分线性质可得∠EON=50°，再分两种情况列方程：分针未追上时针时、分针超过时针后，求解即可得到符合要求的时间。
【解析】
(1)
∵点B是AC的中点，BC=3cm，
∴AB=BC=3cm。
∵CD:AB=2:1，
∴CD=2AB=2×3=6cm，
∴AD=AB+BC+CD=3+3+6=12cm。
(2) ①钟面一周为360°，共12个大格，每个大格度数为360°÷12=30°。
8:30时，分针指向6，时针在8和9中间，两者相差2.5个大格，
∴夹角度数为2.5×30°=75°。
②分两种情况讨论：
当OF在∠EON内部时，∠NOF=∠EON-∠EOF=75°-20°=55°，
∴∠BOF=180°-∠NOF=180°-55°=125°；
当OF在∠EON外部时，∠NOF=∠EON+∠EOF=75°+20°=95°，
∴∠BOF=180°-∠NOF=180°-95°=85°。
综上，∠BOF的度数为125°或85°。
(3) 设经过x分钟后∠EOM=25°，
∵OM是∠EON的平分线，
∴∠EON=2∠EOM=50°。
分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，8:30时两针夹角为75°：
情况1：分针未追上时针，列方程得：75+0.5x-6x=50，解得x=$\frac{50}{11}$；
情况2：分针超过时针，列方程得：6x-(75+0.5x)=50，解得x=$\frac{250}{11}$。
两个解均小于60，符合一小时以内的要求。
【答案】
(1)12
(2)①75；②∠BOF的度数为125°或85°
(3)$\frac{50}{11}$；$\frac{250}{11}$
【知识点】
线段的和差计算、钟面角计算、角平分线的定义
【点评】
本题结合生活中的手表场景命题，综合性较强，既考查了线段、角的基础计算能力，也渗透了分类讨论思想和方程思想，解题时要注意多解情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 本题属于线段和差计算问题，先根据中点性质求出AB的长度，再结合CD与AB的比例关系求出CD的长度，最后将三段线段相加即可得到AD的全长。
(2) ①钟面角计算问题，先明确钟面每个大格对应30°，8:30时分针指向6，时针在8和9正中间，数出两者相差的大格数乘30°即可得到夹角。②已知∠EOF=20°，需分两种情况讨论：OF在∠EON内部、OF在∠EON外部，结合平角为180°分别计算∠BOF，注意不要漏解。
(3) 本题为钟面追及结合角平分线的问题，先明确分针每分钟走6°、时针每分钟走0.5°，由角平分线性质可得∠EON=50°，再分两种情况列方程：分针未追上时针时、分针超过时针后，求解即可得到符合要求的时间。
【解析】
(1)
∵点B是AC的中点，BC=3cm，
∴AB=BC=3cm。
∵CD:AB=2:1，
∴CD=2AB=2×3=6cm，
∴AD=AB+BC+CD=3+3+6=12cm。
(2) ①钟面一周为360°，共12个大格，每个大格度数为360°÷12=30°。
8:30时，分针指向6，时针在8和9中间，两者相差2.5个大格，
∴夹角度数为2.5×30°=75°。
②分两种情况讨论：
当OF在∠EON内部时，∠NOF=∠EON-∠EOF=75°-20°=55°，
∴∠BOF=180°-∠NOF=180°-55°=125°；
当OF在∠EON外部时，∠NOF=∠EON+∠EOF=75°+20°=95°，
∴∠BOF=180°-∠NOF=180°-95°=85°。
综上，∠BOF的度数为125°或85°。
(3) 设经过x分钟后∠EOM=25°，
∵OM是∠EON的平分线，
∴∠EON=2∠EOM=50°。
分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，8:30时两针夹角为75°：
情况1：分针未追上时针，列方程得：75+0.5x-6x=50，解得x=$\frac{50}{11}$；
情况2：分针超过时针，列方程得：6x-(75+0.5x)=50，解得x=$\frac{250}{11}$。
两个解均小于60，符合一小时以内的要求。
【答案】
(1)12
(2)①75；②∠BOF的度数为125°或85°
(3)$\frac{50}{11}$；$\frac{250}{11}$
【知识点】
线段的和差计算、钟面角计算、角平分线的定义
【点评】
本题结合生活中的手表场景命题，综合性较强，既考查了线段、角的基础计算能力，也渗透了分类讨论思想和方程思想，解题时要注意多解情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
