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4. 反比例函数 $y=\frac{3m-4}{x}$ 的图象上有两点 $P(3, y_1)$，$Q(2, y_2)$，且 $y_1 ＜ y_2$，则 $m$ 的取值范围是
$m＞\frac{4}{3}$
。答案
4. $m＞\frac{4}{3}$
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。本题中已知点$P$的横坐标3大于点$Q$的横坐标2，且对应的$y_1＜y_2$，说明$x$越大$y$越小，符合$k＞0$时的增减性特征，因此只需列出比例系数大于0的不等式，求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
由题意可知，反比例函数$y=\frac{3m-4}{x}$的比例系数为$k=3m-4$。
已知点$P(3,y_1)$、$Q(2,y_2)$的横坐标满足$3＞2$，且对应的函数值$y_1＜y_2$，说明在该函数图象所在象限内，$y$随$x$的增大而减小。
根据反比例函数的性质，可得比例系数$k＞0$，即：
$3m-4＞0$
解这个不等式：
$3m＞4$
$m＞\frac{4}{3}$
【答案】
$m＞\frac{4}{3}$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数增减性的典型应用题目，解题核心是根据两点的横、纵坐标的大小关系判断出比例系数的符号，再通过解不等式得到参数的取值范围。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。本题中已知点$P$的横坐标3大于点$Q$的横坐标2，且对应的$y_1＜y_2$，说明$x$越大$y$越小，符合$k＞0$时的增减性特征，因此只需列出比例系数大于0的不等式，求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
由题意可知，反比例函数$y=\frac{3m-4}{x}$的比例系数为$k=3m-4$。
已知点$P(3,y_1)$、$Q(2,y_2)$的横坐标满足$3＞2$，且对应的函数值$y_1＜y_2$，说明在该函数图象所在象限内，$y$随$x$的增大而减小。
根据反比例函数的性质，可得比例系数$k＞0$，即：
$3m-4＞0$
解这个不等式：
$3m＞4$
$m＞\frac{4}{3}$
【答案】
$m＞\frac{4}{3}$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数增减性的典型应用题目，解题核心是根据两点的横、纵坐标的大小关系判断出比例系数的符号，再通过解不等式得到参数的取值范围。
【难度系数】
0.8
专题三 反比例函数与其他函数的关系
典型例题
抛物线 $ y_1 = ax^2 + bx + c $ 与双曲线 $ y_2 = \frac{k}{x} $ 的图象如图所示，当 $ y_1 ＞ y_2 $ 时，$ x $ 的取值范围是。
解析 根据函数图象可得当 $ y_1 ＞ y_2 $ 时，$ x $ 的取值范围是 $ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ 1 ＜ x ＜ 4 $。
答案 $ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ 1 ＜ x ＜ 4 $
典型例题
抛物线 $ y_1 = ax^2 + bx + c $ 与双曲线 $ y_2 = \frac{k}{x} $ 的图象如图所示，当 $ y_1 ＞ y_2 $ 时，$ x $ 的取值范围是。
解析 根据函数图象可得当 $ y_1 ＞ y_2 $ 时，$ x $ 的取值范围是 $ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ 1 ＜ x ＜ 4 $。
答案 $ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ 1 ＜ x ＜ 4 $
答案
解：观察图象可知，抛物线与双曲线的三个交点的横坐标分别为-1、1、4。
当抛物线的图象位于双曲线图象的上方时，满足$y_1＞y_2$，对应的$x$的取值范围是$-1＜x＜0$或$1＜x＜4$。
当抛物线的图象位于双曲线图象的上方时，满足$y_1＞y_2$，对应的$x$的取值范围是$-1＜x＜0$或$1＜x＜4$。
解析
【分析】
要确定$y_1 ＞ y_2$时$x$的取值范围，需结合数形结合思想分析：函数图象位置更高的对应函数值更大。首先找到两个函数的交点，交点处两函数值相等，是函数值大小变化的分界点；其次注意反比例函数自变量$x ≠ 0$，因此分界点为交点横坐标$-1$、$1$、$4$以及$x=0$，将$x$的取值分为5个区间，逐段判断抛物线是否在双曲线上方，即可得到符合要求的$x$范围。
【解析】
观察图象可知，抛物线与双曲线的三个交点横坐标分别为$x=-1$、$x=1$、$x=4$，且反比例函数自变量$x ≠ 0$，分区间判断图象位置：
1. 当$x ＜ -1$时，抛物线在双曲线下方，$y_1 ＜ y_2$，不符合要求；
2. 当$-1 ＜ x ＜ 0$时，抛物线在双曲线上方，$y_1 ＞ y_2$，符合要求；
3. 当$0 ＜ x ＜ 1$时，抛物线在双曲线下方，$y_1 ＜ y_2$，不符合要求；
4. 当$1 ＜ x ＜ 4$时，抛物线在双曲线上方，$y_1 ＞ y_2$，符合要求；
5. 当$x ＞ 4$时，抛物线在双曲线下方，$y_1 ＜ y_2$，不符合要求。
综上，$y_1 ＞ y_2$时$x$的取值范围是$-1 ＜ x ＜ 0$或$1 ＜ x ＜ 4$。
【答案】
$-1 ＜ x ＜ 0$或$1 ＜ x ＜ 4$
【知识点】
函数交点意义，函数值大小判断，反比例函数性质
【点评】
本题是数形结合思想在函数问题中的典型应用，解题关键是将交点作为分界点分段判断图象的上下位置，解题时需注意反比例函数自变量不为0的隐含限制，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
要确定$y_1 ＞ y_2$时$x$的取值范围，需结合数形结合思想分析：函数图象位置更高的对应函数值更大。首先找到两个函数的交点，交点处两函数值相等，是函数值大小变化的分界点；其次注意反比例函数自变量$x ≠ 0$，因此分界点为交点横坐标$-1$、$1$、$4$以及$x=0$，将$x$的取值分为5个区间，逐段判断抛物线是否在双曲线上方，即可得到符合要求的$x$范围。
【解析】
观察图象可知，抛物线与双曲线的三个交点横坐标分别为$x=-1$、$x=1$、$x=4$，且反比例函数自变量$x ≠ 0$，分区间判断图象位置：
1. 当$x ＜ -1$时，抛物线在双曲线下方，$y_1 ＜ y_2$，不符合要求；
2. 当$-1 ＜ x ＜ 0$时，抛物线在双曲线上方，$y_1 ＞ y_2$，符合要求；
3. 当$0 ＜ x ＜ 1$时，抛物线在双曲线下方，$y_1 ＜ y_2$，不符合要求；
4. 当$1 ＜ x ＜ 4$时，抛物线在双曲线上方，$y_1 ＞ y_2$，符合要求；
5. 当$x ＞ 4$时，抛物线在双曲线下方，$y_1 ＜ y_2$，不符合要求。
综上，$y_1 ＞ y_2$时$x$的取值范围是$-1 ＜ x ＜ 0$或$1 ＜ x ＜ 4$。
【答案】
$-1 ＜ x ＜ 0$或$1 ＜ x ＜ 4$
【知识点】
函数交点意义，函数值大小判断，反比例函数性质
【点评】
本题是数形结合思想在函数问题中的典型应用，解题关键是将交点作为分界点分段判断图象的上下位置，解题时需注意反比例函数自变量不为0的隐含限制，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
5. 在同一平面直角坐标系中，函数$y=mx - m$与$y=\frac{m}{x}(m≠0)$的图象可能是（
B
）答案
5. B
解析
【分析】
解题采用分类讨论法，根据参数m的正负分别判断两个函数的图象特征，再对比选项找出两者特征一致的选项即可。第一步先明确两个函数的性质：一次函数$y=mx-m$的图象由斜率$m$和$y$轴截距$-m$决定，反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象所在象限由$m$的符号决定。第二步分$m＞0$和$m＜0$两种情况分别推导两个函数的图象特点，第三步逐一核对选项，排除矛盾的选项，得出正确答案。
【解析】
我们分两种情况讨论$m$的取值：
1. 当$m＞0$时：
一次函数$y=mx - m$：斜率$m＞0$，图象从左下向右上倾斜；截距为$-m＜0$，与$y$轴交于负半轴，因此一次函数图象过一、三、四象限。
反比例函数$y=\frac{m}{x}$：$m＞0$，图象位于第一、三象限。
对比选项，没有符合该特征的选项，排除$m＞0$的情况。
2. 当$m＜0$时：
一次函数$y=mx - m$：斜率$m＜0$，图象从左上向右下倾斜；截距为$-m＞0$，与$y$轴交于正半轴，因此一次函数图象过一、二、四象限。
反比例函数$y=\frac{m}{x}$：$m＜0$，图象位于第二、四象限。
对比选项，只有选项B同时符合上述两个函数的图象特征。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象类选择题的典型考法，解题关键是掌握函数图象特征与参数符号的对应关系，通过分类讨论逐一排除错误选项即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题采用分类讨论法，根据参数m的正负分别判断两个函数的图象特征，再对比选项找出两者特征一致的选项即可。第一步先明确两个函数的性质：一次函数$y=mx-m$的图象由斜率$m$和$y$轴截距$-m$决定，反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象所在象限由$m$的符号决定。第二步分$m＞0$和$m＜0$两种情况分别推导两个函数的图象特点，第三步逐一核对选项，排除矛盾的选项，得出正确答案。
【解析】
我们分两种情况讨论$m$的取值：
1. 当$m＞0$时：
一次函数$y=mx - m$：斜率$m＞0$，图象从左下向右上倾斜；截距为$-m＜0$，与$y$轴交于负半轴，因此一次函数图象过一、三、四象限。
反比例函数$y=\frac{m}{x}$：$m＞0$，图象位于第一、三象限。
对比选项，没有符合该特征的选项，排除$m＞0$的情况。
2. 当$m＜0$时：
一次函数$y=mx - m$：斜率$m＜0$，图象从左上向右下倾斜；截距为$-m＞0$，与$y$轴交于正半轴，因此一次函数图象过一、二、四象限。
反比例函数$y=\frac{m}{x}$：$m＜0$，图象位于第二、四象限。
对比选项，只有选项B同时符合上述两个函数的图象特征。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象类选择题的典型考法，解题关键是掌握函数图象特征与参数符号的对应关系，通过分类讨论逐一排除错误选项即可快速求解。
【难度系数】
0.7
