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已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$ 的图象为抛物线 C.
（1）写出抛物线 C 的对称轴和顶点坐标；
（2）当 $0 ≤ x ≤ 4$ 时，求该二次函数的函数值 y 的取值范围；
（3）将抛物线 C 先向右平移 2 个单位长度，得到抛物线 $C_1$，再将抛物线 $C_1$ 向下平移 1 个单位长度，得到抛物线 $C_2$，请直接写出抛物线 $C_1$，$C_2$ 对应的函数解析式.
解（1）因为 $y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$，
所以抛物线 C 的对称轴为 $x = 1$，顶点坐标为 $(1, -4)$.
（2）因为 $y = (x-1)^2 - 4$，
所以当 $x＞1$ 时，
y 随 x 的增大而增大；
当 $x＜1$ 时，
y 随 x 的增大而减小；
当 $x=1$ 时，
y 有最小值 $-4$.
当 $x=0$ 时，$y=-3$；
当 $x=4$ 时，$y=5$.
所以当 $0 ≤ x ≤ 4$ 时，
二次函数的函数值 y 的取值范围为 $-4 ≤ y ≤ 5$.
（1）写出抛物线 C 的对称轴和顶点坐标；
（2）当 $0 ≤ x ≤ 4$ 时，求该二次函数的函数值 y 的取值范围；
（3）将抛物线 C 先向右平移 2 个单位长度，得到抛物线 $C_1$，再将抛物线 $C_1$ 向下平移 1 个单位长度，得到抛物线 $C_2$，请直接写出抛物线 $C_1$，$C_2$ 对应的函数解析式.
解（1）因为 $y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$，
所以抛物线 C 的对称轴为 $x = 1$，顶点坐标为 $(1, -4)$.
（2）因为 $y = (x-1)^2 - 4$，
所以当 $x＞1$ 时，
y 随 x 的增大而增大；
当 $x＜1$ 时，
y 随 x 的增大而减小；
当 $x=1$ 时，
y 有最小值 $-4$.
当 $x=0$ 时，$y=-3$；
当 $x=4$ 时，$y=5$.
所以当 $0 ≤ x ≤ 4$ 时，
二次函数的函数值 y 的取值范围为 $-4 ≤ y ≤ 5$.
答案
解：(1) 对二次函数解析式配方得：
$y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$，
所以抛物线C的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1, -4)$。
(2) 由$y=(x-1)^2 - 4$可知抛物线开口向上，对称轴为$x=1$：
当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x=1$时，$y$取得最小值$-4$。
在$0≤x≤4$的范围内：
当$x=0$时，$y=-3$；
当$x=4$时，$y=4^2-2×4-3=5$。
比较可得函数最大值为5，最小值为-4，
所以当$0≤x≤4$时，函数值$y$的取值范围为$-4≤y≤5$。
(3) 抛物线$C_1$对应的函数解析式为$y=(x-3)^2-4$（或$y=x^2-6x+5$），
抛物线$C_2$对应的函数解析式为$y=(x-3)^2-5$（或$y=x^2-6x+4$）。
$y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$，
所以抛物线C的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1, -4)$。
(2) 由$y=(x-1)^2 - 4$可知抛物线开口向上，对称轴为$x=1$：
当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x=1$时，$y$取得最小值$-4$。
在$0≤x≤4$的范围内：
当$x=0$时，$y=-3$；
当$x=4$时，$y=4^2-2×4-3=5$。
比较可得函数最大值为5，最小值为-4，
所以当$0≤x≤4$时，函数值$y$的取值范围为$-4≤y≤5$。
(3) 抛物线$C_1$对应的函数解析式为$y=(x-3)^2-4$（或$y=x^2-6x+5$），
抛物线$C_2$对应的函数解析式为$y=(x-3)^2-5$（或$y=x^2-6x+4$）。
解析
【分析】
（1）求二次函数的对称轴和顶点坐标，可通过配方法将一般式转化为顶点式，顶点式中可直接读出对应结果；
（2）求给定区间内的函数值取值范围，需先根据抛物线开口方向和对称轴判断函数增减性，先确定区间内的最小值，再计算区间两个端点的函数值，比较得到最大值，即可确定取值范围；
（3）二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，对顶点式的自变量和常数项对应调整即可得到平移后的解析式。
【解析】
(1) 对二次函数解析式配方：
$y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$，
根据顶点式的性质，抛物线C的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1, -4)$。
(2) 由$y=(x-1)^2 - 4$可知，抛物线开口向上，对称轴为$x=1$：
当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，因此当$x=1$时，$y$取得最小值$-4$。
在$0≤x≤4$的范围内，分别计算两端点的函数值：
当$x=0$时，$y=0^2-2×0-3=-3$；
当$x=4$时，$y=4^2-2×4-3=5$。
比较得函数最大值为5，最小值为-4，因此当$0≤x≤4$时，函数值$y$的取值范围为$-4≤y≤5$。
(3) 根据平移规律“左加右减，上加下减”：
将抛物线C向右平移2个单位长度，即将自变量$x$替换为$x-2$，得抛物线$C_1$的解析式为$y=(x-1-2)^2 -4 = (x-3)^2 -4$，展开也可写为$y=x^2-6x+5$；
再将抛物线$C_1$向下平移1个单位长度，即整体减1，得抛物线$C_2$的解析式为$y=(x-3)^2 -4 -1 = (x-3)^2 -5$，展开也可写为$y=x^2-6x+4$。
【答案】
(1) 对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1, -4)$；
(2) $-4 ≤ y ≤ 5$；
(3) $C_1$：$y=(x-3)^2-4$（或$y=x^2-6x+5$），$C_2$：$y=(x-3)^2-5$（或$y=x^2-6x+4$）。
【知识点】
二次函数的顶点式；二次函数的最值；二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，涵盖了二次函数核心的性质与图象变换考点，解题的关键是熟练掌握配方法、二次函数增减性判断方法和平移口诀，求解区间最值时要注意结合对称轴与给定区间的位置关系判断最值点。
【难度系数】
0.8
（1）求二次函数的对称轴和顶点坐标，可通过配方法将一般式转化为顶点式，顶点式中可直接读出对应结果；
（2）求给定区间内的函数值取值范围，需先根据抛物线开口方向和对称轴判断函数增减性，先确定区间内的最小值，再计算区间两个端点的函数值，比较得到最大值，即可确定取值范围；
（3）二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，对顶点式的自变量和常数项对应调整即可得到平移后的解析式。
【解析】
(1) 对二次函数解析式配方：
$y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$，
根据顶点式的性质，抛物线C的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1, -4)$。
(2) 由$y=(x-1)^2 - 4$可知，抛物线开口向上，对称轴为$x=1$：
当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，因此当$x=1$时，$y$取得最小值$-4$。
在$0≤x≤4$的范围内，分别计算两端点的函数值：
当$x=0$时，$y=0^2-2×0-3=-3$；
当$x=4$时，$y=4^2-2×4-3=5$。
比较得函数最大值为5，最小值为-4，因此当$0≤x≤4$时，函数值$y$的取值范围为$-4≤y≤5$。
(3) 根据平移规律“左加右减，上加下减”：
将抛物线C向右平移2个单位长度，即将自变量$x$替换为$x-2$，得抛物线$C_1$的解析式为$y=(x-1-2)^2 -4 = (x-3)^2 -4$，展开也可写为$y=x^2-6x+5$；
再将抛物线$C_1$向下平移1个单位长度，即整体减1，得抛物线$C_2$的解析式为$y=(x-3)^2 -4 -1 = (x-3)^2 -5$，展开也可写为$y=x^2-6x+4$。
【答案】
(1) 对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1, -4)$；
(2) $-4 ≤ y ≤ 5$；
(3) $C_1$：$y=(x-3)^2-4$（或$y=x^2-6x+5$），$C_2$：$y=(x-3)^2-5$（或$y=x^2-6x+4$）。
【知识点】
二次函数的顶点式；二次函数的最值；二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，涵盖了二次函数核心的性质与图象变换考点，解题的关键是熟练掌握配方法、二次函数增减性判断方法和平移口诀，求解区间最值时要注意结合对称轴与给定区间的位置关系判断最值点。
【难度系数】
0.8
5. 已知二次函数的解析式为 $ y = x^2 - x - 2 $，求当 $ -2 ≤ x ≤ 1 $ 时，y 的最大值与最小值的差。
答案
解 $y=x^2-x-2=(x-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{9}{4},$
所以对称轴为 $x=\dfrac{1}{2},$
顶点坐标为$(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{9}{4}),$
所以当$-2≤ x≤1$时，$y$ 的最小值为$-\dfrac{9}{4}$，最大值为 $(-2)^2-(-2)-2=4.$
所以 $y$ 的最大值与最小值的差为 $4-(-\dfrac{9}{4})=\dfrac{25}{4}.$
所以对称轴为 $x=\dfrac{1}{2},$
顶点坐标为$(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{9}{4}),$
所以当$-2≤ x≤1$时，$y$ 的最小值为$-\dfrac{9}{4}$，最大值为 $(-2)^2-(-2)-2=4.$
所以 $y$ 的最大值与最小值的差为 $4-(-\dfrac{9}{4})=\dfrac{25}{4}.$
解析
【分析】
要解决定区间内二次函数的最值差问题，第一步先将二次函数解析式配方为顶点式，确定开口方向、对称轴；第二步判断对称轴是否落在给定区间$[-2,1]$内：因为二次项系数为正，抛物线开口向上，若对称轴在区间内，则顶点处取最小值，最大值需比较区间两个端点的函数值，离对称轴越远的端点函数值越大；第三步计算最值后作差即可得到结果。
【解析】
先对二次函数配方：
$y=x^2 - x - 2 = (x-\dfrac{1}{2})^2 - \dfrac{9}{4}$
∴ 该二次函数开口向上（$a=1＞0$），对称轴为直线$x=\dfrac{1}{2}$，顶点坐标为$(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{9}{4})$
∵ 对称轴$x=\dfrac{1}{2}$在区间$-2 ≤ x ≤1$内
∴ 当$x=\dfrac{1}{2}$时，$y$取得最小值，最小值为$-\dfrac{9}{4}$
计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=(-2)^2 - (-2) - 2 = 4$
当$x=1$时，$y=1^2 - 1 - 2 = -2$
∵ $4 ＞ -2$，
∴ 区间内$y$的最大值为4
则最大值与最小值的差为：$4 - (-\dfrac{9}{4}) = \dfrac{25}{4}$
【答案】
$\dfrac{25}{4}$
【知识点】
1.二次函数的图像与性质 2.定区间二次函数最值 3.二次函数配方
【点评】
本题核心考查二次函数在闭区间上的最值计算，易错点是忽略对称轴与给定区间的位置关系，直接代入区间端点求最值，解题时需先确定对称轴位置，结合开口方向判断最值的取值点。
【难度系数】
0.7
要解决定区间内二次函数的最值差问题，第一步先将二次函数解析式配方为顶点式，确定开口方向、对称轴；第二步判断对称轴是否落在给定区间$[-2,1]$内：因为二次项系数为正，抛物线开口向上，若对称轴在区间内，则顶点处取最小值，最大值需比较区间两个端点的函数值，离对称轴越远的端点函数值越大；第三步计算最值后作差即可得到结果。
【解析】
先对二次函数配方：
$y=x^2 - x - 2 = (x-\dfrac{1}{2})^2 - \dfrac{9}{4}$
∴ 该二次函数开口向上（$a=1＞0$），对称轴为直线$x=\dfrac{1}{2}$，顶点坐标为$(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{9}{4})$
∵ 对称轴$x=\dfrac{1}{2}$在区间$-2 ≤ x ≤1$内
∴ 当$x=\dfrac{1}{2}$时，$y$取得最小值，最小值为$-\dfrac{9}{4}$
计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=(-2)^2 - (-2) - 2 = 4$
当$x=1$时，$y=1^2 - 1 - 2 = -2$
∵ $4 ＞ -2$，
∴ 区间内$y$的最大值为4
则最大值与最小值的差为：$4 - (-\dfrac{9}{4}) = \dfrac{25}{4}$
【答案】
$\dfrac{25}{4}$
【知识点】
1.二次函数的图像与性质 2.定区间二次函数最值 3.二次函数配方
【点评】
本题核心考查二次函数在闭区间上的最值计算，易错点是忽略对称轴与给定区间的位置关系，直接代入区间端点求最值，解题时需先确定对称轴位置，结合开口方向判断最值的取值点。
【难度系数】
0.7
