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1.下列方程中,是一元二次方程的是（
A.$x^2 - y - 2 = 0$
B.$x^2 + \frac{1}{x} = 1$
C.$ax^2 + 2x + 3 = 0$
D.$2x^2 = 1$
D
）A.$x^2 - y - 2 = 0$
B.$x^2 + \frac{1}{x} = 1$
C.$ax^2 + 2x + 3 = 0$
D.$2x^2 = 1$
答案
D
解析
【分析】
判断一元二次方程需紧扣三个核心判定条件：①是整式方程，方程中所有项均为整式，不存在分母含未知数的项；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时只需用这三个条件逐一排查选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，其一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。
对各选项逐一分析：
A选项：方程中含有$x$、$y$两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元二次方程；
B选项：方程中含有$\frac{1}{x}$，属于分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合要求；
C选项：未明确说明$a$的取值，若$a=0$，方程变为$2x+3=0$，是一元一次方程，不符合要求；
D选项：$2x^2=1$可整理为$2x^2-1=0$，仅含未知数$x$，$x$的最高次数为2，是整式方程且二次项系数$2≠0$，完全符合一元二次方程的定义。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程的概念
2.整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对一元二次方程定义的理解，解题时需注意三个判定条件要同时满足，尤其不要忽略二次项系数不为0的隐含条件，还要能准确区分整式方程和分式方程。
【难度系数】
0.8
判断一元二次方程需紧扣三个核心判定条件：①是整式方程，方程中所有项均为整式，不存在分母含未知数的项；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时只需用这三个条件逐一排查选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，其一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。
对各选项逐一分析：
A选项：方程中含有$x$、$y$两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元二次方程；
B选项：方程中含有$\frac{1}{x}$，属于分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合要求；
C选项：未明确说明$a$的取值，若$a=0$，方程变为$2x+3=0$，是一元一次方程，不符合要求；
D选项：$2x^2=1$可整理为$2x^2-1=0$，仅含未知数$x$，$x$的最高次数为2，是整式方程且二次项系数$2≠0$，完全符合一元二次方程的定义。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程的概念
2.整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对一元二次方程定义的理解，解题时需注意三个判定条件要同时满足，尤其不要忽略二次项系数不为0的隐含条件，还要能准确区分整式方程和分式方程。
【难度系数】
0.8
2.若关于$x$的方程$2x^{m+1}-4=0$是一元二次方程，则实数$m$的值为（
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
C
）A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案
C
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程的定义应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程的判定条件：一是为整式方程，二是只含1个未知数，三是未知数的最高次数为2。本题给出的方程已经满足前两个条件，因此只需让未知数x的指数等于2，列关于m的方程求解即可得到m的取值。
【解析】
解：
∵ 方程$2x^{m+1}-4=0$是一元二次方程
∴ 根据一元二次方程的定义，未知数x的最高次数为2，可得：
$m+1=2$
解得$m=1$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的概念，一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查对一元二次方程核心特征的掌握，解题关键是抓住“未知数最高次数为2”的要求，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.9
这道题考查一元二次方程的定义应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程的判定条件：一是为整式方程，二是只含1个未知数，三是未知数的最高次数为2。本题给出的方程已经满足前两个条件，因此只需让未知数x的指数等于2，列关于m的方程求解即可得到m的取值。
【解析】
解：
∵ 方程$2x^{m+1}-4=0$是一元二次方程
∴ 根据一元二次方程的定义，未知数x的最高次数为2，可得：
$m+1=2$
解得$m=1$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的概念，一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查对一元二次方程核心特征的掌握，解题关键是抓住“未知数最高次数为2”的要求，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.9
3.把一元二次方程$x^2=-2(x+1)$化成一般形式是 （
A.$x^2 - 2x + 2 = 0$
B.$x^2 - 2x = 2$
C.$x^2 + 2x + 2 = 0$
D.$x^2 + 2x - 2 = 0$
C
）A.$x^2 - 2x + 2 = 0$
B.$x^2 - 2x = 2$
C.$x^2 + 2x + 2 = 0$
D.$x^2 + 2x - 2 = 0$
答案
C
解析
【分析】
要将给定的一元二次方程化为一般形式，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$），解题步骤依次为：先去掉方程右侧的括号，再将所有项移到等号左侧，合并同类项后整理为右侧为0的形式即可。注意去括号时要正确处理符号，移项时记得变号。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）。
对原方程进行变形：
1. 去括号：$x^2 = -2x - 2$
2. 移项：将右侧的$-2x$、$-2$移到等号左侧，移项变号，得$x^2 + 2x + 2 = 0$
该形式符合一元二次方程一般形式的要求，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 去括号法则
3. 移项法则
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的化简，解题的易错点在于去括号时漏乘、符号处理错误，以及移项时忘记变号，熟练掌握整式方程的基本变形规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要将给定的一元二次方程化为一般形式，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$），解题步骤依次为：先去掉方程右侧的括号，再将所有项移到等号左侧，合并同类项后整理为右侧为0的形式即可。注意去括号时要正确处理符号，移项时记得变号。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）。
对原方程进行变形：
1. 去括号：$x^2 = -2x - 2$
2. 移项：将右侧的$-2x$、$-2$移到等号左侧，移项变号，得$x^2 + 2x + 2 = 0$
该形式符合一元二次方程一般形式的要求，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 去括号法则
3. 移项法则
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的化简，解题的易错点在于去括号时漏乘、符号处理错误，以及移项时忘记变号，熟练掌握整式方程的基本变形规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
4.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx -8=0$的一个根为2，则$m$的值为（
A.4
B.2
C.$-2$
D.$-4$
B
）A.4
B.2
C.$-2$
D.$-4$
答案
B
解析
【分析】
本题考查利用一元二次方程根的定义求参数值。解题思路为：根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，所以将已知根x=2代入原方程，可得到只含有参数m的一元一次方程，求解该方程即可得到m的取值。
【解析】
∵x=2是一元二次方程$x^2 + mx -8=0$的一个根
∴将x=2代入原方程，等式成立，可得：
$\begin{aligned}2^2 + 2m -8&=0\\4 + 2m -8&=0\\2m -4&=0\\2m&=4\\m&=2\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】B
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考察一元二次方程根的概念的应用，只要掌握“方程的根代入原方程后等式成立”这一性质，就能快速求出参数值。
【难度系数】
0.9
本题考查利用一元二次方程根的定义求参数值。解题思路为：根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，所以将已知根x=2代入原方程，可得到只含有参数m的一元一次方程，求解该方程即可得到m的取值。
【解析】
∵x=2是一元二次方程$x^2 + mx -8=0$的一个根
∴将x=2代入原方程，等式成立，可得：
$\begin{aligned}2^2 + 2m -8&=0\\4 + 2m -8&=0\\2m -4&=0\\2m&=4\\m&=2\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】B
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考察一元二次方程根的概念的应用，只要掌握“方程的根代入原方程后等式成立”这一性质，就能快速求出参数值。
【难度系数】
0.9
5.一次会议上,每两个参加会议的人都相互握一次手,有人统计一共握了66次手.设参加会议的人数为$x$,则根据题意列方程为（
A.$\frac{1}{2}x(x-1)=66$
B.$x(x-1)=66$
C.$\frac{1}{2}x(x+1)=66$
D.$x(x+1)=66$
A
）A.$\frac{1}{2}x(x-1)=66$
B.$x(x-1)=66$
C.$\frac{1}{2}x(x+1)=66$
D.$x(x+1)=66$
答案
A
解析
【分析】
解题时先明确等量关系：实际总握手次数=66次。第一步思考单个人的握手次数：总共有x名参会者，每个人不需要和自己握手，因此每个人会和其余(x-1)人握手；第二步注意重复计数问题：若直接计算x(x-1)，每一次握手会被参与握手的两个人各统计一次，相当于总次数被重复计算了2倍，因此实际总握手次数需要在x(x-1)的基础上除以2，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
设参加会议的人数为x人。
1. 每名参会者与除自身外的$(x-1)$人握手，若不排除重复统计，总握手次数为$x(x-1)$次；
2. 由于每两人之间的握手仅算作1次，上述计算中每次握手被重复统计了2次，因此实际总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$次；
3. 已知一共握手66次，可列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=66$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 重复计数问题处理
【点评】
本题是典型的计数类应用问题，解题核心是注意到两人互动类计数（握手、比赛等）存在重复统计的情况，需要将初步计算的结果除以2得到实际数值，该规律也可迁移到线段计数、单循环比赛场次计算等同类题型中。
【难度系数】
0.7
解题时先明确等量关系：实际总握手次数=66次。第一步思考单个人的握手次数：总共有x名参会者，每个人不需要和自己握手，因此每个人会和其余(x-1)人握手；第二步注意重复计数问题：若直接计算x(x-1)，每一次握手会被参与握手的两个人各统计一次，相当于总次数被重复计算了2倍，因此实际总握手次数需要在x(x-1)的基础上除以2，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
设参加会议的人数为x人。
1. 每名参会者与除自身外的$(x-1)$人握手，若不排除重复统计，总握手次数为$x(x-1)$次；
2. 由于每两人之间的握手仅算作1次，上述计算中每次握手被重复统计了2次，因此实际总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$次；
3. 已知一共握手66次，可列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=66$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 重复计数问题处理
【点评】
本题是典型的计数类应用问题，解题核心是注意到两人互动类计数（握手、比赛等）存在重复统计的情况，需要将初步计算的结果除以2得到实际数值，该规律也可迁移到线段计数、单循环比赛场次计算等同类题型中。
【难度系数】
0.7
6.将一元二次方程$x^2 - 3 = 5x$化为一般形式后，若常数项为－3，则它的一次项系数为
−5
。答案
−5
解析
【分析】
首先回忆一元二次方程的一般形式规定：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），要求等式右侧为0，左侧按未知数的降幂排列，其中$c$是常数项，一次项系数是$x$前面的数字因数（包含符号）。解题时先将给定方程通过移项转化为一般形式，移项要注意移动的项需改变符号，整理后验证常数项是否为-3，再对应提取一次项系数即可。
【解析】
对原方程$x^2 - 3 = 5x$进行移项，将右侧的$5x$移到等式左侧，移项变号后得：
$x^2 - 5x - 3 = 0$
该式为一元二次方程的一般形式，其中常数项为-3，符合题目要求，一次项为$-5x$，因此一次项系数为$-5$。
【答案】
$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的系数识别
【点评】
本题属于一元二次方程的基础考查题，易错点是移项时忘记变号、提取系数时忽略前面的符号，解题时要注意移项规则，确定系数需连同符号一起判断。
【难度系数】
0.9
首先回忆一元二次方程的一般形式规定：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），要求等式右侧为0，左侧按未知数的降幂排列，其中$c$是常数项，一次项系数是$x$前面的数字因数（包含符号）。解题时先将给定方程通过移项转化为一般形式，移项要注意移动的项需改变符号，整理后验证常数项是否为-3，再对应提取一次项系数即可。
【解析】
对原方程$x^2 - 3 = 5x$进行移项，将右侧的$5x$移到等式左侧，移项变号后得：
$x^2 - 5x - 3 = 0$
该式为一元二次方程的一般形式，其中常数项为-3，符合题目要求，一次项为$-5x$，因此一次项系数为$-5$。
【答案】
$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的系数识别
【点评】
本题属于一元二次方程的基础考查题，易错点是移项时忘记变号、提取系数时忽略前面的符号，解题时要注意移项规则，确定系数需连同符号一起判断。
【难度系数】
0.9
7.根据下列问题，列出关于$ x $的方程，并将其化为一般形式：
(1)两个连续偶数的积是120，求这两个数中较小的数.
(2)在绿苑小区住宅设计中，准备在每两幢楼房之间，开辟一块面积为$ 900 \ \mathrm{m}^2 $的矩形绿地，并且矩形绿地的长比宽多11 m，那么长为多少？
(3)某种产品原来的成本价是25元，后经过技术改进，连续两次降低成本，现在这种产品的成本价是16元，则平均每次降低成本的百分率为多少？
(1)两个连续偶数的积是120，求这两个数中较小的数.
(2)在绿苑小区住宅设计中，准备在每两幢楼房之间，开辟一块面积为$ 900 \ \mathrm{m}^2 $的矩形绿地，并且矩形绿地的长比宽多11 m，那么长为多少？
(3)某种产品原来的成本价是25元，后经过技术改进，连续两次降低成本，现在这种产品的成本价是16元，则平均每次降低成本的百分率为多少？
答案
(1)设较小的偶数为 $x$,则较大的偶数为 $x+2$.
依题意,得 $x(x+2)=120$.
故一般形式为 $x^2 + 2x -120=0$.
(2)设矩形绿地的长为 $x$ m,则宽为 $(x-11)$m.
依题意,得 $x(x-11)=900$.
故一般形式为 $x^2 -11x -900=0$.
(3)设平均每次降低成本的百分率为 $x$.
依题意,得 $25(1-x)^2=16$.
故一般形式为 $25x^2 -50x +9=0$.
依题意,得 $x(x+2)=120$.
故一般形式为 $x^2 + 2x -120=0$.
(2)设矩形绿地的长为 $x$ m,则宽为 $(x-11)$m.
依题意,得 $x(x-11)=900$.
故一般形式为 $x^2 -11x -900=0$.
(3)设平均每次降低成本的百分率为 $x$.
依题意,得 $25(1-x)^2=16$.
故一般形式为 $25x^2 -50x +9=0$.
解析
【分析】
解决本题的核心思路是：先结合题意合理设未知数，再找准题目中的等量关系列出方程，最后将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）即可。
(1) 连续偶数的差为2，设较小偶数为$x$，则较大偶数为$x+2$，等量关系为“两个偶数的积=120”，据此列方程后整理；
(2) 矩形面积公式为“面积=长×宽”，设长为$x\ \mathrm{m}$，则宽为$(x-11)\ \mathrm{m}$，等量关系为“矩形绿地面积=900$\ \mathrm{m}^2$”，列方程后整理；
(3) 连续两次降价的等量关系为“原价×(1-下降率)²=现价”，设平均每次下降成本的百分率为$x$，代入数值列方程后展开整理为一般形式。
【解析】
(1) 设较小的偶数为$x$，则较大的偶数为$x+2$。
依题意，得 $x(x+2)=120$，
整理为一般形式：$x^2 + 2x -120=0$。
(2) 设矩形绿地的长为$x\ \mathrm{m}$，则宽为 $(x-11)\ \mathrm{m}$。
依题意，得 $x(x-11)=900$，
整理为一般形式：$x^2 -11x -900=0$。
(3) 设平均每次降低成本的百分率为$x$。
依题意，得 $25(1-x)^2=16$，
展开整理为一般形式：$25x^2 -50x +9=0$。
【答案】
(1) 方程：$x(x+2)=120$，一般形式：$x^2 + 2x -120=0$；
(2) 方程：$x(x-11)=900$，一般形式：$x^2 -11x -900=0$；
(3) 方程：$25(1-x)^2=16$，一般形式：$25x^2 -50x +9=0$。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的一般形式；平均变化率问题
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用类题目，解题关键是准确把握不同场景下的等量关系，同时熟练掌握一元二次方程一般形式的整理方法，熟记常见实际问题的数量公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心思路是：先结合题意合理设未知数，再找准题目中的等量关系列出方程，最后将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）即可。
(1) 连续偶数的差为2，设较小偶数为$x$，则较大偶数为$x+2$，等量关系为“两个偶数的积=120”，据此列方程后整理；
(2) 矩形面积公式为“面积=长×宽”，设长为$x\ \mathrm{m}$，则宽为$(x-11)\ \mathrm{m}$，等量关系为“矩形绿地面积=900$\ \mathrm{m}^2$”，列方程后整理；
(3) 连续两次降价的等量关系为“原价×(1-下降率)²=现价”，设平均每次下降成本的百分率为$x$，代入数值列方程后展开整理为一般形式。
【解析】
(1) 设较小的偶数为$x$，则较大的偶数为$x+2$。
依题意，得 $x(x+2)=120$，
整理为一般形式：$x^2 + 2x -120=0$。
(2) 设矩形绿地的长为$x\ \mathrm{m}$，则宽为 $(x-11)\ \mathrm{m}$。
依题意，得 $x(x-11)=900$，
整理为一般形式：$x^2 -11x -900=0$。
(3) 设平均每次降低成本的百分率为$x$。
依题意，得 $25(1-x)^2=16$，
展开整理为一般形式：$25x^2 -50x +9=0$。
【答案】
(1) 方程：$x(x+2)=120$，一般形式：$x^2 + 2x -120=0$；
(2) 方程：$x(x-11)=900$，一般形式：$x^2 -11x -900=0$；
(3) 方程：$25(1-x)^2=16$，一般形式：$25x^2 -50x +9=0$。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的一般形式；平均变化率问题
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用类题目，解题关键是准确把握不同场景下的等量关系，同时熟练掌握一元二次方程一般形式的整理方法，熟记常见实际问题的数量公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
8.已知a是方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$的一个根，求代数式$(a+1)^2 + a(a+1) - 2$的值。
答案
代数式$(a+1)^2 + a(a+1) - 2$ 的值为 0.
解析
【分析】
解题思路如下：①首先回忆一元二次方程根的定义：若a是一元二次方程的根，则将x=a代入方程，等式成立，据此可得$2a^2+3a=1$；②直接求解a的值代入计算会比较繁琐，因此先将所求代数式展开、合并同类项化简，观察化简结果是否能和已知的$2a^2+3a$建立关联，最后用整体代入法计算即可得到结果。
【解析】
第一步：化简代数式
$\begin{aligned}&(a+1)^2 + a(a+1) - 2\\=&a^2 + 2a + 1 + a^2 + a - 2\\=&2a^2 + 3a - 1\end{aligned}$
第二步：利用一元二次方程根的定义代入
∵a是方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$的一个根
∴将x=a代入方程，得$2a^2 + 3a - 1 = 0$
第三步：计算结果
因此原代数式的值为0。
【答案】
0
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.整式化简求值
3.整体代入思想
【点评】
本题是整式运算与一元二次方程概念结合的基础题型，解题的关键是无需直接求解方程的根，通过化简代数式，结合方程根的定义整体代入即可快速得到结果，能有效考查学生对基础概念的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：①首先回忆一元二次方程根的定义：若a是一元二次方程的根，则将x=a代入方程，等式成立，据此可得$2a^2+3a=1$；②直接求解a的值代入计算会比较繁琐，因此先将所求代数式展开、合并同类项化简，观察化简结果是否能和已知的$2a^2+3a$建立关联，最后用整体代入法计算即可得到结果。
【解析】
第一步：化简代数式
$\begin{aligned}&(a+1)^2 + a(a+1) - 2\\=&a^2 + 2a + 1 + a^2 + a - 2\\=&2a^2 + 3a - 1\end{aligned}$
第二步：利用一元二次方程根的定义代入
∵a是方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$的一个根
∴将x=a代入方程，得$2a^2 + 3a - 1 = 0$
第三步：计算结果
因此原代数式的值为0。
【答案】
0
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.整式化简求值
3.整体代入思想
【点评】
本题是整式运算与一元二次方程概念结合的基础题型，解题的关键是无需直接求解方程的根，通过化简代数式，结合方程根的定义整体代入即可快速得到结果，能有效考查学生对基础概念的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
