登录
任务一 认识一元二次方程及其一般形式
阅读材料，补全探究分析过程.
材料1：如图，有一块矩形铁皮，长40 cm，宽30 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出的部分折起，就能制作一个无盖长方体盒子.
探究1：如果要制作的无盖长方体盒子的底面积为600 cm²，那么矩形铁皮各角应切去多大的正方形铁皮？
分析：设切去的正方形铁皮的边长为x cm，则盒底的长为
材料2：循环赛是指参赛队之间都要互相轮流比赛，最后按照各参赛队在全部比赛中的胜负场数、得分多少排定名次的比赛方法.循环赛包括单循环、双循环和分组循环三种.
某篮球联赛实行单循环赛制，每两支球队之间进行一场比赛.
探究2：若计划一共打36场比赛，则一共有多少支球队参赛？
分析：设一共有x支球队参赛，则每支球队要与其他
新知生成：（1）像方程①②这样，只含有
（2）一元二次方程的一般形式是$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其中
阅读材料，补全探究分析过程.
材料1：如图，有一块矩形铁皮，长40 cm，宽30 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出的部分折起，就能制作一个无盖长方体盒子.
探究1：如果要制作的无盖长方体盒子的底面积为600 cm²，那么矩形铁皮各角应切去多大的正方形铁皮？
分析：设切去的正方形铁皮的边长为x cm，则盒底的长为
(40-2x)cm
，宽为(30-2x)cm
.可列方程为(40-2x)(30-2x)=600
，整理并化简，得$x^2-35x+150=0$
.①材料2：循环赛是指参赛队之间都要互相轮流比赛，最后按照各参赛队在全部比赛中的胜负场数、得分多少排定名次的比赛方法.循环赛包括单循环、双循环和分组循环三种.
某篮球联赛实行单循环赛制，每两支球队之间进行一场比赛.
探究2：若计划一共打36场比赛，则一共有多少支球队参赛？
分析：设一共有x支球队参赛，则每支球队要与其他
(x-1)
支球队各比赛1场，所以全部比赛共$\dfrac{x(x-1)}{2}$
场.可列方程为$\dfrac{x(x-1)}{2}=36$
，整理并化简，得$x^2-x-72=0$
.②新知生成：（1）像方程①②这样，只含有
一个
未知数，且含有未知数的式子都是整式
，未知数的最高次数是2
的方程，叫作一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式是$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其中
$ax^2$
是二次项，$a$
是二次项系数；$bx$
是一次项，$b$
是一次项系数；$c$
是常数项.答案
探究1：设切去的正方形铁皮的边长为x cm，则盒底的长为(40-2x)cm，宽为(30-2x)cm.可列方程为(40-2x)(30-2x)=600，整理并化简，得$x^2-35x+150=0$.
探究2：设一共有x支球队参赛，则每支球队要与其他(x-1)支球队各比赛1场，所以全部比赛共$\dfrac{x(x-1)}{2}$场.可列方程为$\dfrac{x(x-1)}{2}=36$，整理并化简，得$x^2-x-72=0$.
新知生成：（1）像方程①②这样，只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的方程，叫作一元二次方程.
（2）一元二次方程的一般形式是$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；$bx$是一次项，$b$是一次项系数；$c$是常数项.
探究2：设一共有x支球队参赛，则每支球队要与其他(x-1)支球队各比赛1场，所以全部比赛共$\dfrac{x(x-1)}{2}$场.可列方程为$\dfrac{x(x-1)}{2}=36$，整理并化简，得$x^2-x-72=0$.
新知生成：（1）像方程①②这样，只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的方程，叫作一元二次方程.
（2）一元二次方程的一般形式是$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；$bx$是一次项，$b$是一次项系数；$c$是常数项.
解析
【分析】
首先分析探究1：制作无盖长方体盒子时，四角各切去边长为x cm的正方形，折起后盒底的长等于原矩形的长减去2倍正方形边长，宽等于原矩形的宽减去2倍正方形边长，再根据“底面积=长×宽”列方程，展开后合并同类项化简即可。
再分析探究2：单循环赛制中，每支球队不需要和自己比赛，因此每支球队要和其余(x-1)支球队比赛，又因为每两队之间的比赛只计数1次，因此总场次需要除以2，结合总场次为36列方程，再化简得到标准形式。
最后分析新知生成：对比两个化简后方程的共同特征，即可总结出一元二次方程的定义；再根据一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的各项定义对应填空即可。
【解析】
探究1
设切去的正方形边长为x cm，
盒底的长 = 原长 - 2×正方形边长 = $(40-2x)\mathrm{cm}$，
盒底的宽 = 原宽 - 2×正方形边长 = $(30-2x)\mathrm{cm}$，
根据底面积为600 $\mathrm{cm}^2$列方程：
$(40-2x)(30-2x)=600$
展开左边得$1200-140x+4x^2=600$，移项合并同类项后两边同除以4，化简得$x^2-35x+150=0$。
探究2
设一共有x支球队参赛，
每支球队不需要和自己比赛，因此每支球队要和其他$(x-1)$支球队各赛1场，
由于单循环赛每两队比赛只算1场，因此总场次为$\dfrac{x(x-1)}{2}$场，
根据总场次36列方程：
$\dfrac{x(x-1)}{2}=36$
两边乘2得$x^2-x=72$，整理得$x^2-x-72=0$。
新知生成
（1）观察两个方程的共同特征：都只含有1个未知数，含未知数的式子都是整式，未知数最高次数是2，符合一元二次方程的定义。
（2）一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，$ax^2$是二次项，系数a为二次项系数；$bx$是一次项，系数b为一次项系数；c为常数项。
【答案】
探究1：$(40-2x)\mathrm{cm}$；$(30-2x)\mathrm{cm}$；$(40-2x)(30-2x)=600$；$x^2-35x+150=0$
探究2：$(x-1)$；$\dfrac{x(x-1)}{2}$；$\dfrac{x(x-1)}{2}=36$；$x^2-x-72=0$
新知生成：（1）一个；整式；2
（2）$ax^2$；$a$；$bx$；$b$；$c$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题结合几何折叠、体育比赛两类实际场景，引导学生从实际问题中抽象出方程，再归纳总结一元二次方程的相关概念，侧重考查基础概念的理解和将实际问题转化为数学方程的能力，是一元二次方程入门的经典题型。
【难度系数】
0.8
首先分析探究1：制作无盖长方体盒子时，四角各切去边长为x cm的正方形，折起后盒底的长等于原矩形的长减去2倍正方形边长，宽等于原矩形的宽减去2倍正方形边长，再根据“底面积=长×宽”列方程，展开后合并同类项化简即可。
再分析探究2：单循环赛制中，每支球队不需要和自己比赛，因此每支球队要和其余(x-1)支球队比赛，又因为每两队之间的比赛只计数1次，因此总场次需要除以2，结合总场次为36列方程，再化简得到标准形式。
最后分析新知生成：对比两个化简后方程的共同特征，即可总结出一元二次方程的定义；再根据一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的各项定义对应填空即可。
【解析】
探究1
设切去的正方形边长为x cm，
盒底的长 = 原长 - 2×正方形边长 = $(40-2x)\mathrm{cm}$，
盒底的宽 = 原宽 - 2×正方形边长 = $(30-2x)\mathrm{cm}$，
根据底面积为600 $\mathrm{cm}^2$列方程：
$(40-2x)(30-2x)=600$
展开左边得$1200-140x+4x^2=600$，移项合并同类项后两边同除以4，化简得$x^2-35x+150=0$。
探究2
设一共有x支球队参赛，
每支球队不需要和自己比赛，因此每支球队要和其他$(x-1)$支球队各赛1场，
由于单循环赛每两队比赛只算1场，因此总场次为$\dfrac{x(x-1)}{2}$场，
根据总场次36列方程：
$\dfrac{x(x-1)}{2}=36$
两边乘2得$x^2-x=72$，整理得$x^2-x-72=0$。
新知生成
（1）观察两个方程的共同特征：都只含有1个未知数，含未知数的式子都是整式，未知数最高次数是2，符合一元二次方程的定义。
（2）一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，$ax^2$是二次项，系数a为二次项系数；$bx$是一次项，系数b为一次项系数；c为常数项。
【答案】
探究1：$(40-2x)\mathrm{cm}$；$(30-2x)\mathrm{cm}$；$(40-2x)(30-2x)=600$；$x^2-35x+150=0$
探究2：$(x-1)$；$\dfrac{x(x-1)}{2}$；$\dfrac{x(x-1)}{2}=36$；$x^2-x-72=0$
新知生成：（1）一个；整式；2
（2）$ax^2$；$a$；$bx$；$b$；$c$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题结合几何折叠、体育比赛两类实际场景，引导学生从实际问题中抽象出方程，再归纳总结一元二次方程的相关概念，侧重考查基础概念的理解和将实际问题转化为数学方程的能力，是一元二次方程入门的经典题型。
【难度系数】
0.8
1. 下列方程中，是一元二次方程的为（
A.$2x+3y-5=0$
B.$x^2+\dfrac{1}{x}=1$
C.$x^2-1=0$
D.$ax^2+bx+c=0$
C
）A.$2x+3y-5=0$
B.$x^2+\dfrac{1}{x}=1$
C.$x^2-1=0$
D.$ax^2+bx+c=0$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一元二次方程，需先明确一元二次方程的核心判定条件：①是整式方程（分母不含未知数）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时用这三个条件逐一排查选项，不符合任意一个条件即可排除，最终得到正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，需同时满足上述三个判定条件，我们逐一分析选项：
A. 方程中含有x、y两个未知数，属于二元一次方程，不符合一元二次方程“只含一个未知数”的要求，排除；
B. 方程中含有$\dfrac{1}{x}$，分母含未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
C. 方程只含有未知数x，x的最高次数为2，且是整式方程，完全符合一元二次方程的定义，当选；
D. 未明确说明二次项系数$a\ne 0$，当$a=0$时，方程变为$bx+c=0$，是一元一次方程，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式方程与分式方程的区分
【点评】
本题是基础概念类考题，重点考查对一元二次方程判定条件的理解，易错点是误将含分式的B选项认作整式方程，或忽略D选项中二次项系数不为0的前提，只要牢记判定规则即可准确作答。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程，需先明确一元二次方程的核心判定条件：①是整式方程（分母不含未知数）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时用这三个条件逐一排查选项，不符合任意一个条件即可排除，最终得到正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，需同时满足上述三个判定条件，我们逐一分析选项：
A. 方程中含有x、y两个未知数，属于二元一次方程，不符合一元二次方程“只含一个未知数”的要求，排除；
B. 方程中含有$\dfrac{1}{x}$，分母含未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
C. 方程只含有未知数x，x的最高次数为2，且是整式方程，完全符合一元二次方程的定义，当选；
D. 未明确说明二次项系数$a\ne 0$，当$a=0$时，方程变为$bx+c=0$，是一元一次方程，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式方程与分式方程的区分
【点评】
本题是基础概念类考题，重点考查对一元二次方程判定条件的理解，易错点是误将含分式的B选项认作整式方程，或忽略D选项中二次项系数不为0的前提，只要牢记判定规则即可准确作答。
【难度系数】
0.8
