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如图，双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0, x＞0)$的图象上有两点$P_1(x_1, y_1)$和$P_2(x_2, y_2)$，且$x_1 ＜ x_2$，分别过点$P_1$和$P_2$向$x$轴作垂线，垂足为$B$，$D$. 分别过点$P_1$和$P_2$向$y$轴作垂线，垂足为$A$，$C$.
(1)若记四边形$AP_1BO$和四边形$CP_2DO$的面积分别为$S_1$和$S_2$，周长分别为$C_1$和$C_2$，试比较$S_1$和$S_2$，$C_1$和$C_2$的大小；
(2)若$P$是双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0, x＞0)$的图象上一点，分别过点$P$向$x$轴、$y$轴作垂线，垂足为$M$，$N$，则当点$P$落在何处时，四边形$PMON$的周长最小？
(1)若记四边形$AP_1BO$和四边形$CP_2DO$的面积分别为$S_1$和$S_2$，周长分别为$C_1$和$C_2$，试比较$S_1$和$S_2$，$C_1$和$C_2$的大小；
(2)若$P$是双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0, x＞0)$的图象上一点，分别过点$P$向$x$轴、$y$轴作垂线，垂足为$M$，$N$，则当点$P$落在何处时，四边形$PMON$的周长最小？
答案
(1)根据反比例函数系数k的几何意义可知$S_1=S_2=k$；
当$y_1-y_2=x_2-x_1$，即$AC=BD$时，$C_1=C_2$；
当$y_1-y_2＜x_2-x_1$，即$AC＜BD$时，$C_1＜C_2$；
当$y_1-y_2＞x_2-x_1$，即$AC＞BD$时，$C_1＞C_2$。
(2)当点$P$的坐标为$(\sqrt{k},\sqrt{k})$时，四边形$PMON$的周长最小。
当$y_1-y_2=x_2-x_1$，即$AC=BD$时，$C_1=C_2$；
当$y_1-y_2＜x_2-x_1$，即$AC＜BD$时，$C_1＜C_2$；
当$y_1-y_2＞x_2-x_1$，即$AC＞BD$时，$C_1＞C_2$。
(2)当点$P$的坐标为$(\sqrt{k},\sqrt{k})$时，四边形$PMON$的周长最小。
解析
【分析】
(1) 比较面积时，先回忆反比例函数系数k的几何意义：过双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线，围成的矩形面积恒等于|k|，本题k＞0，因此两个矩形面积均为k，即可判断S₁和S₂的大小；比较周长时，先写出两个矩形的周长表达式，均为2(邻边和)，邻边分别对应点的横、纵坐标，将周长作差后，结合x₁＜x₂、y₁＞y₂的性质，分三种情况讨论差的正负即可判断周长大小。
(2) 求周长最小值时，先写出周长关于点P横、纵坐标的表达式，结合反比例函数xy=k的关系，利用完全平方的非负性推导x+y的最小值，即可得到对应P点的坐标。
【解析】
(1) ① 面积比较：
∵ 点$P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$在双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$上，
∴ $x_1y_1=k$，$x_2y_2=k$。
由题意可知，四边形$AP_1BO$、$CP_2DO$均为矩形，
∴ $S_1=OB· OA=x_1y_1=k$，$S_2=OD· OC=x_2y_2=k$，
故 $S_1=S_2$。
② 周长比较：
矩形周长$C=2(长+宽)$，因此：
$C_1=2(x_1+y_1)$，$C_2=2(x_2+y_2)$，
作差得：$C_1-C_2=2[(x_1+y_1)-(x_2+y_2)]=2[(x_1-x_2)+(y_1-y_2)]$。
∵ $x_1＜x_2$，
∴ $x_1-x_2=-(x_2-x_1)=-BD$；
∵ $k＞0$，$x＞0$时y随x增大而减小，$x_1＜x_2$，
∴ $y_1＞y_2$，$y_1-y_2=AC$。
因此：
当$AC=BD$即$y_1-y_2=x_2-x_1$时，$C_1-C_2=0$，$C_1=C_2$；
当$AC＜BD$即$y_1-y_2＜x_2-x_1$时，$C_1-C_2＜0$，$C_1＜C_2$；
当$AC＞BD$即$y_1-y_2＞x_2-x_1$时，$C_1-C_2＞0$，$C_1＞C_2$。
(2) 设点$P$的坐标为$(x,y)$，则$xy=k$，
四边形$PMON$为矩形，周长$C=2(x+y)$，要使周长最小，需使$x+y$最小。
由完全平方公式的非负性可得：$(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2≥0$，
展开得：$x + y - 2\sqrt{xy}≥0$，即$x+y≥2\sqrt{xy}$，
代入$xy=k$得$x+y≥2\sqrt{k}$，当且仅当$\sqrt{x}=\sqrt{y}$即$x=y$时，等号成立，$x+y$取最小值$2\sqrt{k}$。
将$x=y$代入$xy=k$得$x^2=k$，
∵$x＞0$，
∴$x=\sqrt{k}$，$y=\sqrt{k}$，
即当$P$坐标为$(\sqrt{k},\sqrt{k})$时，四边形$PMON$的周长最小。
【答案】
(1) $S_1=S_2=k$；当$AC=BD$时$C_1=C_2$，当$AC＜BD$时$C_1＜C_2$，当$AC＞BD$时$C_1＞C_2$；
(2) 当点$P$的坐标为$(\sqrt{k},\sqrt{k})$时，四边形$PMON$的周长最小。
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形的周长与面积，完全平方公式的应用
【点评】
本题将反比例函数的性质与代数式变形、最值推导结合，既考察了基础的反比例函数几何意义的识记，又考察了分类讨论思想和代数式最值的推导能力，需要同学们灵活结合几何性质和代数运算解决问题。
【难度系数】
0.6
(1) 比较面积时，先回忆反比例函数系数k的几何意义：过双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线，围成的矩形面积恒等于|k|，本题k＞0，因此两个矩形面积均为k，即可判断S₁和S₂的大小；比较周长时，先写出两个矩形的周长表达式，均为2(邻边和)，邻边分别对应点的横、纵坐标，将周长作差后，结合x₁＜x₂、y₁＞y₂的性质，分三种情况讨论差的正负即可判断周长大小。
(2) 求周长最小值时，先写出周长关于点P横、纵坐标的表达式，结合反比例函数xy=k的关系，利用完全平方的非负性推导x+y的最小值，即可得到对应P点的坐标。
【解析】
(1) ① 面积比较：
∵ 点$P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$在双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$上，
∴ $x_1y_1=k$，$x_2y_2=k$。
由题意可知，四边形$AP_1BO$、$CP_2DO$均为矩形，
∴ $S_1=OB· OA=x_1y_1=k$，$S_2=OD· OC=x_2y_2=k$，
故 $S_1=S_2$。
② 周长比较：
矩形周长$C=2(长+宽)$，因此：
$C_1=2(x_1+y_1)$，$C_2=2(x_2+y_2)$，
作差得：$C_1-C_2=2[(x_1+y_1)-(x_2+y_2)]=2[(x_1-x_2)+(y_1-y_2)]$。
∵ $x_1＜x_2$，
∴ $x_1-x_2=-(x_2-x_1)=-BD$；
∵ $k＞0$，$x＞0$时y随x增大而减小，$x_1＜x_2$，
∴ $y_1＞y_2$，$y_1-y_2=AC$。
因此：
当$AC=BD$即$y_1-y_2=x_2-x_1$时，$C_1-C_2=0$，$C_1=C_2$；
当$AC＜BD$即$y_1-y_2＜x_2-x_1$时，$C_1-C_2＜0$，$C_1＜C_2$；
当$AC＞BD$即$y_1-y_2＞x_2-x_1$时，$C_1-C_2＞0$，$C_1＞C_2$。
(2) 设点$P$的坐标为$(x,y)$，则$xy=k$，
四边形$PMON$为矩形，周长$C=2(x+y)$，要使周长最小，需使$x+y$最小。
由完全平方公式的非负性可得：$(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2≥0$，
展开得：$x + y - 2\sqrt{xy}≥0$，即$x+y≥2\sqrt{xy}$，
代入$xy=k$得$x+y≥2\sqrt{k}$，当且仅当$\sqrt{x}=\sqrt{y}$即$x=y$时，等号成立，$x+y$取最小值$2\sqrt{k}$。
将$x=y$代入$xy=k$得$x^2=k$，
∵$x＞0$，
∴$x=\sqrt{k}$，$y=\sqrt{k}$，
即当$P$坐标为$(\sqrt{k},\sqrt{k})$时，四边形$PMON$的周长最小。
【答案】
(1) $S_1=S_2=k$；当$AC=BD$时$C_1=C_2$，当$AC＜BD$时$C_1＜C_2$，当$AC＞BD$时$C_1＞C_2$；
(2) 当点$P$的坐标为$(\sqrt{k},\sqrt{k})$时，四边形$PMON$的周长最小。
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形的周长与面积，完全平方公式的应用
【点评】
本题将反比例函数的性质与代数式变形、最值推导结合，既考察了基础的反比例函数几何意义的识记，又考察了分类讨论思想和代数式最值的推导能力，需要同学们灵活结合几何性质和代数运算解决问题。
【难度系数】
0.6
如图，某实验兴趣小组用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，液体的密度$\rho$(单位：$\mathrm{g/cm}^3$)与其浸在液体中的高度$h$(单位：$\mathrm{cm}$)成一定的函数关系，经过实验，获得两个变量$h$，$\rho$的一组对应值如表：
(1)在给定的平面直角坐标系中画出相应函数的图象，并求出密度$\rho$(单位：$\mathrm{g/cm}^3$)关于高度$h$(单位：$\mathrm{cm}$)的函数解析式；
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，$h=25\ \mathrm{cm}$，求这种液体的密度$\rho$.
(1)在给定的平面直角坐标系中画出相应函数的图象，并求出密度$\rho$(单位：$\mathrm{g/cm}^3$)关于高度$h$(单位：$\mathrm{cm}$)的函数解析式；
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，$h=25\ \mathrm{cm}$，求这种液体的密度$\rho$.
答案
(1)图略。密度$\rho$关于高度$h$的函数解析式为$\rho=\frac{20}{h}$。
(2)当$h=25\ \mathrm{cm}$时，$\rho=\frac{20}{25}=0.8(\mathrm{g/cm}^3)$。
$\therefore$这种液体的密度为$0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
(2)当$h=25\ \mathrm{cm}$时，$\rho=\frac{20}{25}=0.8(\mathrm{g/cm}^3)$。
$\therefore$这种液体的密度为$0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际场景中的应用类问题，解题思路如下：1. 结合密度计的工作原理：密度计在液体中平衡时浮力等于自身重力，可推导得出液体密度$\rho$和浸入高度$h$的乘积为定值，因此$\rho$是$h$的反比例函数；2. 求解析式采用待定系数法，先设出反比例函数的一般形式，代入表格中已知的对应值即可求出常数$k$，得到解析式后，在第一象限描点连线即可画出函数图象；3. 第二问直接将$h=25$代入已求的解析式，计算即可得到对应液体的密度。
【解析】
(1) 经分析可知$\rho$与$h$成反比例函数关系，设函数解析式为$\rho=\frac{k}{h}$（$k≠0$，$h＞0$）。
将表格中一组$h$、$\rho$的对应值代入，可解得$k=\rho h=20$，
因此密度$\rho$关于高度$h$的函数解析式为$\rho=\frac{20}{h}$（$h＞0$）。
在平面直角坐标系中描出表格对应点，用平滑曲线在第一象限连接各点即可得到函数图象（图略）。
(2) 将$h=25\ \mathrm{cm}$代入$\rho=\frac{20}{h}$，得：
$\rho=\frac{20}{25}=0.8(\mathrm{g/cm}^3)$
【答案】
(1) 图略，函数解析式为$\rho=\frac{20}{h}$；
(2) 这种液体的密度为$0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 待定系数法求解析式
3. 反比例函数图象
【点评】
本题结合密度计测量场景考查反比例函数的实际应用，需要先判断函数类型，再用待定系数法求解解析式，最后代入求值，兼顾了基础知识点考查和跨学科知识运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
本题是反比例函数在实际场景中的应用类问题，解题思路如下：1. 结合密度计的工作原理：密度计在液体中平衡时浮力等于自身重力，可推导得出液体密度$\rho$和浸入高度$h$的乘积为定值，因此$\rho$是$h$的反比例函数；2. 求解析式采用待定系数法，先设出反比例函数的一般形式，代入表格中已知的对应值即可求出常数$k$，得到解析式后，在第一象限描点连线即可画出函数图象；3. 第二问直接将$h=25$代入已求的解析式，计算即可得到对应液体的密度。
【解析】
(1) 经分析可知$\rho$与$h$成反比例函数关系，设函数解析式为$\rho=\frac{k}{h}$（$k≠0$，$h＞0$）。
将表格中一组$h$、$\rho$的对应值代入，可解得$k=\rho h=20$，
因此密度$\rho$关于高度$h$的函数解析式为$\rho=\frac{20}{h}$（$h＞0$）。
在平面直角坐标系中描出表格对应点，用平滑曲线在第一象限连接各点即可得到函数图象（图略）。
(2) 将$h=25\ \mathrm{cm}$代入$\rho=\frac{20}{h}$，得：
$\rho=\frac{20}{25}=0.8(\mathrm{g/cm}^3)$
【答案】
(1) 图略，函数解析式为$\rho=\frac{20}{h}$；
(2) 这种液体的密度为$0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 待定系数法求解析式
3. 反比例函数图象
【点评】
本题结合密度计测量场景考查反比例函数的实际应用，需要先判断函数类型，再用待定系数法求解解析式，最后代入求值，兼顾了基础知识点考查和跨学科知识运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
