14. (★★★)【综合与实践】
主题:制作圆锥形生日帽.
素材:一张圆形纸板、装饰彩带.
步骤1:如图①,将一个底面半径为r的圆锥侧面展开,可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形.制作圆锥形生日帽时,要先确定扇形的圆心角度数,再度量裁剪材料.
步骤2:如图②,把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽.
(1)现在需要制作一个$r=10\ \mathrm{cm},l=30\ \mathrm{cm}$的生日帽,请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数;
(2)为了使(1)中所制作的生日帽更美观,要粘贴彩带进行装饰,其中需要粘贴一条从点A处开始,绕侧面一周又回到点A的彩带(彩带宽度忽略不计),求彩带长度的最小值.

解：
(1) 圆锥的底面周长等于其侧面展开扇形的弧长，
由弧长公式得：$\frac{nπ l}{180}=2π r$，
将$r=10\ \mathrm{cm}$，$l=30\ \mathrm{cm}$代入上式：
$\frac{nπ × 30}{180}=2π × 10$
化简得$\frac{nπ}{6}=20π$，
解得$n=120$。
即所需扇形纸板的圆心角度数为$120°$。
(2) 将圆锥侧面沿母线PA展开，得到圆心角为$120°$的扇形，点A展开后对应点为$A'$。
根据两点之间线段最短，彩带长度的最小值即为线段$AA'$的长度。
过点P作$PD⊥ AA'$于点D，
$\because PA=PA'=l=30\ \mathrm{cm}$，$∠ APA'=120°$，
$\therefore ∠ APD=\frac{1}{2}∠ APA'=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ APD$中，
$AD=PA· \sin60°=30× \frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AA'=2AD=30\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
答：(1) 所需扇形纸板的圆心角度数为$120°$；(2) 彩带长度的最小值为$30\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。

【分析】
(1) 求解扇形圆心角可利用圆锥侧面展开图的核心等量关系：圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，结合弧长公式列关于圆心角n的方程，代入已知数值即可求解。
(2) 圆锥侧面是曲面，求绕侧面一周的最短路径需先转化为平面问题：将圆锥侧面沿母线展开为扇形，根据两点之间线段最短，最短彩带长度就是展开后点A与对应点A'的线段长度，再通过等腰三角形性质结合解直角三角形计算线段长度即可。
【解析】
(1) 圆锥的底面周长等于其侧面展开扇形的弧长，由弧长公式得：
$\frac{nπ l}{180}=2π r$
将$r=10\ \mathrm{cm}$，$l=30\ \mathrm{cm}$代入上式：
$\frac{nπ × 30}{180}=2π × 10$
化简得$\frac{nπ}{6}=20π$，
解得$n=120$。
(2) 将圆锥侧面沿母线PA展开，得到圆心角为$120°$的扇形，点A展开后对应点为$A'$。根据两点之间线段最短，彩带长度的最小值即为线段$AA'$的长度。
过点P作$PD⊥ AA'$于点D，
$\because PA=PA'=l=30\ \mathrm{cm}$，$∠ APA'=120°$，
$\therefore ∠ APD=\frac{1}{2}∠ APA'=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ APD$中，
$AD=PA· \sin60°=30× \frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AA'=2AD=30\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 所需扇形纸板的圆心角度数为$120°$；(2) 彩带长度的最小值为$30\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质，弧长公式，最短路径计算
【点评】
本题结合生活实际考查几何知识的应用，将曲面最短路径问题转化为平面线段计算，既考查了基础公式的掌握程度，也考查了转化思想的运用能力，是应用型几何题的典型考法。
【难度系数】
0.6