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1.(★)由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作.
答案
解：扇形
解析
【分析】
本题考查基础几何概念的识记，解题思路是回忆与圆相关的图形的定义，将题目给出的图形特征（由圆心角的两条半径、圆心角所对的弧共同围成）和所学的定义逐一匹配，即可得出对应的图形名称。
【解析】
根据扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形，因此横线处应填扇形。
【答案】
扇形
【知识点】
扇形的定义
【点评】
本题属于基础概念考察题，难度较低，只需熟练记忆相关几何定义即可快速得分，是对基础知识点掌握情况的直接考查。
【难度系数】
0.95
本题考查基础几何概念的识记，解题思路是回忆与圆相关的图形的定义，将题目给出的图形特征（由圆心角的两条半径、圆心角所对的弧共同围成）和所学的定义逐一匹配，即可得出对应的图形名称。
【解析】
根据扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形，因此横线处应填扇形。
【答案】
扇形
【知识点】
扇形的定义
【点评】
本题属于基础概念考察题，难度较低，只需熟练记忆相关几何定义即可快速得分，是对基础知识点掌握情况的直接考查。
【难度系数】
0.95
2. (★)在半径为$R$的圆中，圆心角为$n°$的弧长公式为$l=\_\_\_\_\_\_=$。
答案
解：
弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，
扇形面积公式为$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{1}{2}lR$。
弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，
扇形面积公式为$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{1}{2}lR$。
解析
【分析】要推导圆心角为$n°$的弧长公式，可从圆的周长入手：半径为$R$的圆周长为$2πR$，对应圆心角为$360°$，因此$1°$圆心角对应的弧长为周长的$\frac{1}{360}$，求$n°$圆心角对应的弧长，只需用$1°$对应的弧长乘$n$，先写出原始推导式，再化简得到最简形式即可。
【解析】
1. 首先回忆半径为$R$的圆的周长公式：$C=2πR$，整个圆对应圆心角为$360°$；
2. 那么$n°$的圆心角对应的弧长占圆周长的$\frac{n}{360}$，因此弧长的原始表达式为：$l=\frac{n}{360}×2πR$；
3. 对上述表达式约分化简，可得：$l=\frac{nπR}{180}$。
【答案】$\frac{n}{360}·2πR$；$\frac{nπR}{180}$
【知识点】弧长公式、圆的周长计算
【点评】本题是对弧长相关基础概念的考查，属于识记类基础题，需要熟练掌握弧长公式的推导过程，同时要注意和扇形面积公式做好区分，避免混淆。
【难度系数】0.9
【解析】
1. 首先回忆半径为$R$的圆的周长公式：$C=2πR$，整个圆对应圆心角为$360°$；
2. 那么$n°$的圆心角对应的弧长占圆周长的$\frac{n}{360}$，因此弧长的原始表达式为：$l=\frac{n}{360}×2πR$；
3. 对上述表达式约分化简，可得：$l=\frac{nπR}{180}$。
【答案】$\frac{n}{360}·2πR$；$\frac{nπR}{180}$
【知识点】弧长公式、圆的周长计算
【点评】本题是对弧长相关基础概念的考查，属于识记类基础题，需要熟练掌握弧长公式的推导过程，同时要注意和扇形面积公式做好区分，避免混淆。
【难度系数】0.9
3. (★)已知扇形的半径为3 cm,它的弧长是2π cm,则此扇形的圆心角的度数等于,扇形的面积是(结果保留π)cm².
答案
$\boldsymbol{120°}$，$\boldsymbol{3π}$。
解析
【分析】
本题考查扇形弧长公式与面积公式的应用，解题思路清晰：首先回忆扇形弧长公式，已知弧长和半径，可通过公式变形直接求出圆心角度数；计算扇形面积时，既可以用求出的圆心角结合半径计算，也可以直接用已知的弧长和半径代入简化公式计算，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
设扇形的圆心角为$ n° $，根据扇形弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $（$ l $为弧长，$ r $为半径）：
已知$ l=2π \, \mathrm{cm} $，$ r=3 \, \mathrm{cm} $，代入得：
$ 2π=\frac{nπ×3}{180} $
两边约去$ π $后整理可得：$ 3n=360 $，解得$ n=120 $，即圆心角为$ 120° $。
计算扇形面积，选用公式$ S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lr $：
代入$ l=2π $、$ r=3 $得：
$ S=\frac{1}{2}×2π×3=3π \, (\mathrm{cm}^2) $
【答案】
$ 120° $，$ 3π $
【知识点】
扇形弧长公式，扇形面积计算
【点评】
本题是扇形相关的基础题型，核心考察对扇形核心公式的记忆与运用，计算量小，熟练掌握公式即可轻松得分。
【难度系数】
0.85
本题考查扇形弧长公式与面积公式的应用，解题思路清晰：首先回忆扇形弧长公式，已知弧长和半径，可通过公式变形直接求出圆心角度数；计算扇形面积时，既可以用求出的圆心角结合半径计算，也可以直接用已知的弧长和半径代入简化公式计算，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
设扇形的圆心角为$ n° $，根据扇形弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $（$ l $为弧长，$ r $为半径）：
已知$ l=2π \, \mathrm{cm} $，$ r=3 \, \mathrm{cm} $，代入得：
$ 2π=\frac{nπ×3}{180} $
两边约去$ π $后整理可得：$ 3n=360 $，解得$ n=120 $，即圆心角为$ 120° $。
计算扇形面积，选用公式$ S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lr $：
代入$ l=2π $、$ r=3 $得：
$ S=\frac{1}{2}×2π×3=3π \, (\mathrm{cm}^2) $
【答案】
$ 120° $，$ 3π $
【知识点】
扇形弧长公式，扇形面积计算
【点评】
本题是扇形相关的基础题型，核心考察对扇形核心公式的记忆与运用，计算量小，熟练掌握公式即可轻松得分。
【难度系数】
0.85
4. (★)(2025·西藏)如图,在$\odot O$中,直径$AB=6$,$BC$是$\odot O$的弦,若$∠ B=60°$,则$\overset{\frown}{AC}$的长为 【 】
A.$6π$
B.$4π$
C.$2π$
D.$π$
A.$6π$
B.$4π$
C.$2π$
D.$π$
答案
C
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{AC}$的长，需先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$是弧所对圆心角的度数，$r$是圆的半径），因此需要先求出$\odot O$的半径和$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角度数：①先根据直径$AB=6$直接求出半径；②连接辅助线$OC$，利用同圆半径相等可得$OB=OC$，结合$∠ B=60°$可判定$△ OBC$是等边三角形，求出$∠ BOC$的度数，再根据平角的性质求出$∠ AOC$（即$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角）的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
连接$OC$，
∵ $OB$、$OC$都是$\odot O$的半径，
∴ $OB=OC$，
又
∵ $∠ B=60°$，
∴ $△ OBC$是等边三角形，
∴ $∠ BOC=60°$，
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AOB=180°$，
∴ $∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-60°=120°$，
∵ 直径$AB=6$，
∴ $\odot O$的半径$r=\frac{AB}{2}=3$，
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AC}$的长为：
$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{120×π×3}{180}=2π$
【答案】
C
【知识点】
弧长的计算；等边三角形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题是基础题，解题的关键是通过作辅助线构造等边三角形，准确求出弧对应的圆心角度数，牢记弧长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算$\overset{\frown}{AC}$的长，需先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$是弧所对圆心角的度数，$r$是圆的半径），因此需要先求出$\odot O$的半径和$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角度数：①先根据直径$AB=6$直接求出半径；②连接辅助线$OC$，利用同圆半径相等可得$OB=OC$，结合$∠ B=60°$可判定$△ OBC$是等边三角形，求出$∠ BOC$的度数，再根据平角的性质求出$∠ AOC$（即$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角）的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
连接$OC$，
∵ $OB$、$OC$都是$\odot O$的半径，
∴ $OB=OC$，
又
∵ $∠ B=60°$，
∴ $△ OBC$是等边三角形，
∴ $∠ BOC=60°$，
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AOB=180°$，
∴ $∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-60°=120°$，
∵ 直径$AB=6$，
∴ $\odot O$的半径$r=\frac{AB}{2}=3$，
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AC}$的长为：
$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{120×π×3}{180}=2π$
【答案】
C
【知识点】
弧长的计算；等边三角形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题是基础题，解题的关键是通过作辅助线构造等边三角形，准确求出弧对应的圆心角度数，牢记弧长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. (★) 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C = 90°$, $∠ A = 60°$, $AC = \sqrt{3}$, 将 $△ ABC$ 绕点 $B$ 旋转到 $△ A'BC'$ 的位置,且使 $A,B,C'$ 三点在同一条直线上,则点 $A$ 经过的路线的长度是【 】
A.$\dfrac{5}{2}π$
B.$\dfrac{5\sqrt{3}}{3}π$
C.$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}π$
D.$2π$
A.$\dfrac{5}{2}π$
B.$\dfrac{5\sqrt{3}}{3}π$
C.$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}π$
D.$2π$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确点A经过的路线是绕点B旋转形成的圆弧，解题分三步进行：第一步，利用直角三角形内角和及30°角的性质求出旋转半径AB的长度；第二步，结合旋转的性质和A、B、C'共线的条件，求出旋转角的度数；第三步，代入弧长公式计算路径长度。
【解析】
1. 求旋转半径AB的长度
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，因此$∠ ABC=180°-90°-60°=30°$。
30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠ ABC$对的直角边为$AC$，故$AC=\frac{1}{2}AB$。已知$AC=\sqrt{3}$，因此$AB=2AC=2\sqrt{3}$。
2. 求旋转角的度数
由旋转的性质可知，旋转前后对应角相等，即$∠ A'BC'=∠ ABC=30°$。
因为A、B、C'三点共线，因此旋转角$∠ ABA'=180°-∠ A'BC'=180°-30°=150°$。
3. 计算弧长
点A的运动路径是以B为圆心，AB为半径，圆心角为150°的圆弧，代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径）：
$l=\frac{150×π×2\sqrt{3}}{180}=\frac{5\sqrt{3}}{3}π$
【答案】
B
【知识点】
直角三角形性质，旋转的性质，弧长计算
【点评】
本题属于旋转与弧长计算的综合基础题，核心是准确定位点A的运动轨迹为圆弧，再结合几何性质求出旋转半径和旋转角，计算时注意角度和公式的正确代入即可。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确点A经过的路线是绕点B旋转形成的圆弧，解题分三步进行：第一步，利用直角三角形内角和及30°角的性质求出旋转半径AB的长度；第二步，结合旋转的性质和A、B、C'共线的条件，求出旋转角的度数；第三步，代入弧长公式计算路径长度。
【解析】
1. 求旋转半径AB的长度
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，因此$∠ ABC=180°-90°-60°=30°$。
30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠ ABC$对的直角边为$AC$，故$AC=\frac{1}{2}AB$。已知$AC=\sqrt{3}$，因此$AB=2AC=2\sqrt{3}$。
2. 求旋转角的度数
由旋转的性质可知，旋转前后对应角相等，即$∠ A'BC'=∠ ABC=30°$。
因为A、B、C'三点共线，因此旋转角$∠ ABA'=180°-∠ A'BC'=180°-30°=150°$。
3. 计算弧长
点A的运动路径是以B为圆心，AB为半径，圆心角为150°的圆弧，代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径）：
$l=\frac{150×π×2\sqrt{3}}{180}=\frac{5\sqrt{3}}{3}π$
【答案】
B
【知识点】
直角三角形性质，旋转的性质，弧长计算
【点评】
本题属于旋转与弧长计算的综合基础题，核心是准确定位点A的运动轨迹为圆弧，再结合几何性质求出旋转半径和旋转角，计算时注意角度和公式的正确代入即可。
【难度系数】
0.6
6. ( ★ ) 如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 70°$，$BC = 12$，$D$是$BC$的中点，分别以点$B$，$C$为圆心，$BD$长为半径作弧，交$AB$于点$E$，交$AC$于点$F$，则图中阴影部分的面积是。
答案
$\boldsymbol{11π}$
解析
【分析】
解题时先观察阴影部分的构成：阴影是两个分别以B、C为圆心，BD为半径的扇形。我们可以通过转化思想将两个扇形合并计算，思路步骤：1. 利用三角形内角和定理，结合已知∠A的度数，求出两个扇形的圆心角之和∠B+∠C的度数；2. 根据D是BC中点，结合BC的长度求出扇形的半径；3. 两个扇形半径相等，直接用圆心角之和代入扇形面积公式计算整体面积，无需分开计算两个扇形面积。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A = 180° - 70° = 110°$
∵ D是BC的中点，$BC=12$
∴ $BD = CD = \frac{1}{2}BC = 6$，即两个扇形的半径均为6
阴影部分两个扇形的圆心角之和为$110°$，半径均为6，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径）：
$S_{阴影}=\frac{110× π × 6^2}{360}=\frac{110× π × 36}{360}=11π$
【答案】
$\boldsymbol{11π}$
【知识点】
三角形内角和定理，扇形面积计算
【点评】
本题核心是运用转化思想，将两个分散的扇形面积转化为一个圆心角已知的扇形面积计算，无需分别求解单个扇形面积，简化了运算，体现了几何题整体求解的思路。
【难度系数】
0.7
解题时先观察阴影部分的构成：阴影是两个分别以B、C为圆心，BD为半径的扇形。我们可以通过转化思想将两个扇形合并计算，思路步骤：1. 利用三角形内角和定理，结合已知∠A的度数，求出两个扇形的圆心角之和∠B+∠C的度数；2. 根据D是BC中点，结合BC的长度求出扇形的半径；3. 两个扇形半径相等，直接用圆心角之和代入扇形面积公式计算整体面积，无需分开计算两个扇形面积。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A = 180° - 70° = 110°$
∵ D是BC的中点，$BC=12$
∴ $BD = CD = \frac{1}{2}BC = 6$，即两个扇形的半径均为6
阴影部分两个扇形的圆心角之和为$110°$，半径均为6，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径）：
$S_{阴影}=\frac{110× π × 6^2}{360}=\frac{110× π × 36}{360}=11π$
【答案】
$\boldsymbol{11π}$
【知识点】
三角形内角和定理，扇形面积计算
【点评】
本题核心是运用转化思想，将两个分散的扇形面积转化为一个圆心角已知的扇形面积计算，无需分别求解单个扇形面积，简化了运算，体现了几何题整体求解的思路。
【难度系数】
0.7
7. (★★)如图,已知菱形ABCD的边长为1.5 cm,B,C两点在扇形AEF的$\overset{\frown}{EF}$上,求$\overset{\frown}{BC}$的长度及扇形ABC的面积.
答案
解：
∵ 四边形ABCD是菱形，边长为1.5 cm，
∴ $AB = BC = 1.5\ \mathrm{cm}$。
∵ B、C两点在扇形AEF的$\overset{\frown}{EF}$上，A为扇形AEF的圆心，
∴ $AB = AC = 1.5\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB = BC = AC$，即$△ ABC$是等边三角形，
∴ $∠ BAC = 60°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，得$\overset{\frown}{BC}$的长度：
$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{60×π×1.5}{180}=\frac{π}{2}\ \mathrm{cm}$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，得扇形ABC的面积：
$S_{\mathrm{扇形}ABC}=\frac{60×π×1.5^2}{360}=\frac{3π}{8}\ \mathrm{cm}^2$。
答：$\overset{\frown}{BC}$的长度为$\frac{π}{2}\ \mathrm{cm}$，扇形ABC的面积为$\frac{3π}{8}\ \mathrm{cm}^2$。
∵ 四边形ABCD是菱形，边长为1.5 cm，
∴ $AB = BC = 1.5\ \mathrm{cm}$。
∵ B、C两点在扇形AEF的$\overset{\frown}{EF}$上，A为扇形AEF的圆心，
∴ $AB = AC = 1.5\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB = BC = AC$，即$△ ABC$是等边三角形，
∴ $∠ BAC = 60°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，得$\overset{\frown}{BC}$的长度：
$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{60×π×1.5}{180}=\frac{π}{2}\ \mathrm{cm}$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，得扇形ABC的面积：
$S_{\mathrm{扇形}ABC}=\frac{60×π×1.5^2}{360}=\frac{3π}{8}\ \mathrm{cm}^2$。
答：$\overset{\frown}{BC}$的长度为$\frac{π}{2}\ \mathrm{cm}$，扇形ABC的面积为$\frac{3π}{8}\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
要求弧$\overset{\frown}{BC}$的长度和扇形ABC的面积，首先需要确定扇形的半径和圆心角两个核心条件。第一步，先利用菱形四条边相等的性质，可得AB=BC=1.5cm；第二步，结合B、C在扇形弧上、A是扇形圆心的条件，可得扇形半径AB=AC，由此推出△ABC三边相等，是等边三角形，得到圆心角∠BAC=60°；最后将圆心角和半径代入弧长、扇形面积公式计算即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，边长为1.5 cm，
∴ $AB = BC = 1.5\ \mathrm{cm}$。
∵ B、C两点在扇形AEF的$\overset{\frown}{EF}$上，A为扇形AEF的圆心，
∴ $AB = AC = 1.5\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB = BC = AC$，即$△ ABC$是等边三角形，
∴ $∠ BAC = 60°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，得$\overset{\frown}{BC}$的长度：
$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{60×π×1.5}{180}=\frac{π}{2}\ \mathrm{cm}$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，得扇形ABC的面积：
$S_{\mathrm{扇形}ABC}=\frac{60×π×1.5^2}{360}=\frac{3π}{8}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\overset{\frown}{BC}$的长度为$\frac{π}{2}\ \mathrm{cm}$，扇形ABC的面积为$\frac{3π}{8}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定；弧长与扇形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将菱形、等边三角形和扇形的知识点结合考查，解题的突破口是通过边长关系推导得出△ABC为等边三角形，进而得到扇形的圆心角度数，只要熟练掌握相关性质和公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
要求弧$\overset{\frown}{BC}$的长度和扇形ABC的面积，首先需要确定扇形的半径和圆心角两个核心条件。第一步，先利用菱形四条边相等的性质，可得AB=BC=1.5cm；第二步，结合B、C在扇形弧上、A是扇形圆心的条件，可得扇形半径AB=AC，由此推出△ABC三边相等，是等边三角形，得到圆心角∠BAC=60°；最后将圆心角和半径代入弧长、扇形面积公式计算即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，边长为1.5 cm，
∴ $AB = BC = 1.5\ \mathrm{cm}$。
∵ B、C两点在扇形AEF的$\overset{\frown}{EF}$上，A为扇形AEF的圆心，
∴ $AB = AC = 1.5\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB = BC = AC$，即$△ ABC$是等边三角形，
∴ $∠ BAC = 60°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，得$\overset{\frown}{BC}$的长度：
$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{60×π×1.5}{180}=\frac{π}{2}\ \mathrm{cm}$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，得扇形ABC的面积：
$S_{\mathrm{扇形}ABC}=\frac{60×π×1.5^2}{360}=\frac{3π}{8}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\overset{\frown}{BC}$的长度为$\frac{π}{2}\ \mathrm{cm}$，扇形ABC的面积为$\frac{3π}{8}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定；弧长与扇形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将菱形、等边三角形和扇形的知识点结合考查，解题的突破口是通过边长关系推导得出△ABC为等边三角形，进而得到扇形的圆心角度数，只要熟练掌握相关性质和公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
