7. (2024·广安中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,∠C=70°,以AB为直径作半圆,与AC、BC分别相交于点D、E,则$\overset{\frown}{DE}$的长度为 ( )
A. $\frac{π}{9}$
B. $\frac{5π}{9}$
C. $\frac{10π}{9}$
D. $\frac{25π}{9}$

(第7题)

(第8题)

C

8. (2023·娄底中考)如图,正六边形ABCDEF的外接圆$\odot O$的半径为2,过圆心O的两条直线$l_1$、$l_2$的夹角为$60°$,则图中的阴影部分的面积为 ( )
A. $\dfrac{4}{3}π - \sqrt{3}$
B. $\dfrac{4}{3}π - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\dfrac{2}{3}π - \sqrt{3}$
D. $\dfrac{2}{3}π - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

C

9. 新考法（2024·兰州中考）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图①是陈列在展览馆的仿真模型，图②是模型驱动部分的示意图，其中$\odot M,\odot N$的半径分别是1 cm和10 cm，当$\odot M$顺时针转动3周时，$\odot N$上的点P随之旋转$n°$，则$n=\_\_\_\_\_\_$．

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10. (1)如图①,AC与BD是$\odot O$的两条直径,首尾顺次连接点A、B、C、D,得到四边形ABCD.
若$AC=10\ \mathrm{cm}$,$∠ BAC=36°$,则图中阴影部分的面积为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$.

(2)如图②,正六边形ABCDEF内接于$\odot O$,若$\odot O$的半径为4,则阴影部分的面积等于______.

​$ 10\pi$​ ; $\frac{16}{3}\pi$

11.（2024·安阳期中）如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA = 2，AC = 1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O'AC'，使得点O'的坐标是$(1,\sqrt{3})$，则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为________．

$\frac{\pi}{2}$

12. (2024·辽宁中考)如图,$\odot O$是$△ ABC$的外接圆,AB 是$\odot O$的直径,点 D 在$\overset{\frown}{BC}$上,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,E 在 BA 的延长线上,$∠CEA=∠CAD$.
(1)如图①,求证:CE 是$\odot O$的切线;
(2)如图②,若$∠CEA=2∠DAB$,$OA=8$,求$\overset{\frown}{BD}$的长.

; 解​$： (1)$​如图​$①，$​连接​$CO，$​因为​$OC = OB，$​所以​$∠1=∠2，$​则​$∠3=∠1+∠2 = 2∠2。$​​$ $​因为​$\overset {\frown }{AC}=\overset {\frown }{BD}，$​所以​$∠4=∠2。$​​$ $​因为​$AB$​为直径，所以​$∠ACB = 90°，$​即​$∠CAD+∠4+∠2 = 90°，$​也就是​$∠CAD + 2∠2=90°。$​​$ $​因为​$∠CEA=∠CAD，$​所以​$∠CEA+2∠2 = 90°，$​​$∠CEA+∠3 = 90°，$​则​$∠ECO = 90°，$​​$OC\perp CE，$​所以​$CE$​是​$\odot O$​的切线。​$ (2)$​如图​$②，$​连接​$CO、$​​$DO，$​由​$(1)$​得​$∠3 = 2∠2=2∠4。$​​$ $​因为​$∠CEA = 2∠DAB，$​所以​$∠CEA=∠3。$​​$ $​因为​$∠ECO = 90°，$​所以​$∠3=∠CEA=\frac {90°}{2}=45°，$​则​$∠4 = 22.5°。$​​$ $​因为​$\overset {\frown }{BD}=\overset {\frown }{BD}，$​所以​$∠DOB = 2∠4 = 45°，$​​$\overset {\frown }{BD}$​长为​$\frac {45×\pi ×8}{180}=2\pi 。$​