1. 估计$(2\sqrt{3}+\sqrt{2})×\sqrt{3}$的值应在 （）

A.7与之间
B.8与9之间
C.9与10之间
D.10与11之间

B

【分析】
要确定$(2\sqrt{3}+\sqrt{2})×\sqrt{3}$的值的范围，首先利用二次根式的乘法分配律展开式子化简，得到含无理数的表达式，再通过估算无理数的大小，即可确定结果所在的区间。
【解析】
解：根据二次根式的乘法分配律展开原式：
$(2\sqrt{3}+\sqrt{2})×\sqrt{3} = 2\sqrt{3}×\sqrt{3} + \sqrt{2}×\sqrt{3}$
分别计算两项：$2\sqrt{3}×\sqrt{3}=2×3=6$，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$
因此原式化简为：$6 + \sqrt{6}$
估算$\sqrt{6}$的范围：因为$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{9}=3$，且$4＜6＜9$，所以$2＜\sqrt{6}＜3$
两边同时加6得：$8＜6+\sqrt{6}＜9$，即原式的值在8与9之间，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的混合运算；估算无理数的大小
【点评】
本题为基础题型，主要考查二次根式的乘法运算及无理数的估算，解题关键是正确运用乘法分配律化简式子，再结合平方数的大小确定无理数的范围，难度较低，多数学生可掌握。
【难度系数】
0.7

2. 已知$a+\dfrac{1}{a}=\sqrt{7}$，则$a^2+\dfrac{1}{a^2}$的值是（）

A.$\sqrt{7}$
B.5
C.$\pm\sqrt{7}$
D.$-5$

B

【分析】
要计算$a^2+\dfrac{1}{a^2}$的值，已知条件是$a+\dfrac{1}{a}=\sqrt{7}$，可利用完全平方公式的变形求解：先将已知等式两边平方，展开后会出现$a^2$和$\dfrac{1}{a^2}$的项，再通过移项计算得到目标式的值。
【解析】
已知$a+\dfrac{1}{a}=\sqrt{7}$，对等式两边同时平方：
$(a+\dfrac{1}{a})^2 = (\sqrt{7})^2$
根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，左边展开得：
$a^2 + 2· a·\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a^2} = 7$
化简中间项$2· a·\dfrac{1}{a}=2$，等式变为：
$a^2 + 2 + \dfrac{1}{a^2}=7$
移项计算得：
$a^2 + \dfrac{1}{a^2}=7 - 2=5$
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，通过对已知条件平方变形建立与目标代数式的联系，属于代数基础题型，解题关键是掌握完全平方公式的结构特征。
【难度系数】
0.8

3. 下列运算错误的是 （）

A.$2x + 3x = 5x$
B.$(2x^2 y)^3 = 8 x^6 y^3$
C.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{5}$
D.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

C

【分析】本题要求找出运算错误的选项，需分别回忆合并同类项、积的乘方、二次根式乘法、完全平方公式的运算规则，逐一验证每个选项，即可确定错误选项。
【解析】
1. 选项A：合并同类项时，同类项系数相加，字母和指数不变，$2x + 3x = (2+3)x =5x$，运算正确。
2. 选项B：积的乘方规则为“各因式分别乘方再相乘”，$(2x^2 y)^3 =2^3 × (x^2)^3 × y^3 =8x^6 y^3$，运算正确。
3. 选项C：二次根式乘法法则为$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），因此$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，而非$\sqrt{5}$，运算错误。
4. 选项D：完全平方公式$(a - b)^2 =a^2 -2ab +b^2$，运算正确。
综上，运算错误的是选项C。
【答案】C
【知识点】整式运算、二次根式乘法、完全平方公式
【点评】本题考查初中数学基础运算规则，涵盖整式、二次根式的基本运算和公式，是对核心知识点的直接考查，侧重基础运算能力的检验。
【难度系数】0.7

4. 化简：$3\sqrt{2} ÷ 3=$______.

$\sqrt{2}$

【分析】这道题是二次根式的化简运算，解题思路是将二次根式的系数部分与被开方数部分分开处理，先计算系数的除法，再保留二次根式部分，即可得到化简结果。
【解析】$3\sqrt{2} ÷ 3 = (3÷3)×\sqrt{2} = 1×\sqrt{2} = \sqrt{2}$
【答案】$\sqrt{2}$
【知识点】二次根式的化简
【点评】本题是二次根式的基础运算题，考查学生对二次根式系数运算的掌握，步骤简单，易于理解。
【难度系数】0.9

5. 在二次根式 $\sqrt{2x^2}$，$\sqrt{m^2 - 2m + 1}$，$\sqrt{26xy}$，$\sqrt{\dfrac{1}{p - 1}}$ 中，是最简二次根式的有________个。

1

【分析】
要确定最简二次根式的个数，需先明确最简二次根式的定义：被开方数为整式，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来逐个分析题目中的二次根式，判断是否满足上述条件。
【解析】
根据最简二次根式的定义，逐一判断：
1. 对于$\sqrt{2x^2}$，被开方数含能开得尽方的因式$x^2$，可化简为$|x|\sqrt{2}$，不是最简二次根式；
2. 对于$\sqrt{m^2 - 2m + 1}$，被开方数可因式分解为$(m-1)^2$，含能开得尽方的因式，化简为$|m-1|$，不是最简二次根式；
3. 对于$\sqrt{26xy}$，被开方数的因数是整数，因式是整式，且不含能开得尽方的因数或因式，满足最简二次根式的条件；
4. 对于$\sqrt{\dfrac{1}{p - 1}}$，被开方数是分式，不是整式，不符合最简二次根式的要求，不是最简二次根式。
综上，最简二次根式的个数为1。
【答案】
1
【知识点】
最简二次根式
【点评】
本题考查最简二次根式的判定，核心是牢记最简二次根式的两个判定条件，需注意被开方数的因式分解及整式的要求，属于基础题型，只要掌握定义即可正确解答。
【难度系数】
0.5

6. 已知平面直角坐标系中，$A(2,2),B(4,6),C(8,-1)$三点连线组成一个$∠ A=90°$的直角三角形，$AB=2\sqrt{5},AC=3\sqrt{5}$，$x$轴把$△ ABC$分成上下两部分，则上下两部分的面积之比是________.

20:1

【分析】
要解决该问题，需先明确三角形顶点坐标，通过直线方程找到x轴与三角形两边的交点，再用坐标法计算上下两部分面积，最终求比值。步骤为：1. 确认△ABC的基本性质与总面积；2. 求直线AC、BC的方程，找到它们与x轴的交点；3. 用鞋带公式计算x轴上方四边形面积，下方三角形面积；4. 计算面积比。
【解析】
1. 已知A(2,2)、B(4,6)、C(8,-1)，∠A=90°，则△ABC总面积：
$ S_{总} = \frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × 3\sqrt{5} = 15 $
2. 求直线AC方程：斜率$ k_{AC} = \frac{-1-2}{8-2} = -\frac{1}{2} $，点斜式得$ y = -\frac{1}{2}x + 3 $，令$ y=0 $，得AC与x轴交点$ E(6,0) $。
3. 求直线BC方程：斜率$ k_{BC} = \frac{-1-6}{8-4} = -\frac{7}{4} $，点斜式得$ y = -\frac{7}{4}x +13 $，令$ y=0 $，得BC与x轴交点$ D(\frac{52}{7},0) $。
4. 计算x轴上方四边形ABDE的面积（鞋带公式）：
顶点顺序为A(2,2)、B(4,6)、D($\frac{52}{7}$,0)、E(6,0)，则：
$ S_{上} = \frac{1}{2} \left| 2×6 + 4×0 + \frac{52}{7}×0 +6×2 - (2×4 +6×\frac{52}{7} +0×6 +0×2) \right| = \frac{100}{7} $
5. 计算x轴下方△EDC的面积：底$ ED = \frac{52}{7} -6 = \frac{10}{7} $，高为C到x轴距离1，故：
$ S_{下} = \frac{1}{2} × \frac{10}{7} ×1 = \frac{5}{7} $
6. 面积比：$ S_{上}:S_{下} = \frac{100}{7} : \frac{5}{7} = 20:1 $
【答案】
20:1
【知识点】
平面直角坐标系、直线方程、三角形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中三角形被直线分割的面积比，关键是准确找到直线与三角形边的交点，利用坐标法计算面积，需注意交点的完整性，避免遗漏边与直线的交点。
【难度系数】
0.5

7. 计算：
(1) $\frac{\sqrt{12} × \sqrt{6}}{\sqrt{24}}$；
(2) $\sqrt{18} - 3\sqrt{0.5} + \sqrt{8}$；
(3) $\frac{\sqrt{27} - \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} - \sqrt{\frac{3}{4}}$；
(4) $(2\sqrt{5} - 1)^2 - (\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)$。

(1) $\sqrt{3}$；(2) $\frac{7\sqrt{2}}{2}$；(3) $1-\frac{\sqrt{3}}{2}$；(4) $20-4\sqrt{5}$

【分析】
本题考查二次根式的综合运算，解题思路如下：
(1) 利用二次根式的乘除法则，将分子的乘积与分母合并为一个二次根式，再化简计算；
(2) 先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
(3) 先化简分子中的二次根式，将分子合并后除以分母，再计算剩余的二次根式项；
(4) 分别利用完全平方公式和平方差公式展开，再进行整式的加减运算，注意符号处理。
【解析】
(1) 原式 = $\frac{\sqrt{12×6}}{\sqrt{24}} = \sqrt{\frac{72}{24}} = \sqrt{3}$；
(2) 原式 = $3\sqrt{2} - 3×\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{2} = (3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) - \frac{3\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$；
(3) 原式 = $\frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$；
(4) 原式 = $(2\sqrt{5})^2 - 2×2\sqrt{5}×1 + 1^2 - [(\sqrt{5})^2 - 2^2] = 20 - 4\sqrt{5} + 1 - (5 - 4) = 20 - 4\sqrt{5}$；
【答案】
(1) $\sqrt{3}$；(2) $\frac{7\sqrt{2}}{2}$；(3) $1-\frac{\sqrt{3}}{2}$；(4) $20-4\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式的运算，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是二次根式的基础综合题，涵盖二次根式的乘除、加减运算及整式乘法公式的应用，解题关键是先将二次根式化为最简形式，再按运算法则计算，合理运用公式可简化运算，需注意运算顺序和符号的准确性。
【难度系数】
0.6

8. (1) 若$\sqrt{x-1}$有意义，则$x$应满足的条件是________.
(2) 若$a=2+\sqrt{3},b=2-\sqrt{3}$，求下列式子的值：
① $ab$；
② $a^2+b^2+ab$.

(1) $x≥1$；(2) ① $1$；② $15$

【分析】
第(1)小问需根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列出不等式求解；第(2)小问①利用平方差公式计算ab，②先通过完全平方公式变形简化a²+b²+ab，再代入a、b的值计算，避免直接展开的繁琐运算。
【解析】
(1) 二次根式$\sqrt{A}$有意义的条件是被开方数$A≥0$，因此对于$\sqrt{x-1}$，需满足$x-1≥0$，解得$x≥1$。
(2) ① 利用平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$计算：
$ab=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$；
② 先计算$a+b=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4$，再利用完全平方公式变形：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，因此$a^2+b^2+ab=(a+b)^2-2ab+ab=(a+b)^2-ab$，代入$a+b=4$、$ab=1$得：
$4^2-1=16-1=15$。
【答案】
(1) $x≥1$；(2) ① $1$；② $15$
【知识点】
二次根式有意义的条件，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的基本性质和代数式的化简求值，属于基础题型，需熟练掌握二次根式的定义及乘法公式的灵活运用，简化计算过程。
【难度系数】
0.7