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1. 下列由线段$a,b,c$组成的三角形中,属于直角三角形的是 ()
A.$a=7,b=24,c=25$
B.$a=13,b=14,c=15$
C.$a=\sqrt{3},b=\sqrt{4},c=\sqrt{5}$
D.$a=40,b=50,c=60$
A.$a=7,b=24,c=25$
B.$a=13,b=14,c=15$
C.$a=\sqrt{3},b=\sqrt{4},c=\sqrt{5}$
D.$a=40,b=50,c=60$
答案
A
解析
根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足较小两边的平方和等于最大边的平方，则为直角三角形。
A选项：$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，$25^2 = 625$，满足，是直角三角形；
B选项：$13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$，$15^2 = 225$，不满足；
C选项：$(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{4})^2 = 3 + 4 = 7$，$(\sqrt{5})^2 = 5$，不满足；
D选项：$40^2 + 50^2 = 1600 + 2500 = 4100$，$60^2 = 3600$，不满足。
A选项：$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，$25^2 = 625$，满足，是直角三角形；
B选项：$13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$，$15^2 = 225$，不满足；
C选项：$(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{4})^2 = 3 + 4 = 7$，$(\sqrt{5})^2 = 5$，不满足；
D选项：$40^2 + 50^2 = 1600 + 2500 = 4100$，$60^2 = 3600$，不满足。
2. 已知$□ ABCD$的对角线AC与BD相交于点O，$BC=10$，$AC=12$，$BD=16$，则四边形ABCD是 （）
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
答案
C
解析
在□ABCD中，对角线AC与BD互相平分，故OC=AC/2=6，OB=BD/2=8。在△OBC中，OC=6，OB=8，BC=10，满足6²+8²=10²，因此△OBC是直角三角形，即AC⊥BD。根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可知□ABCD是菱形。
3. 如图，长方体的长为2，宽为1，高为3，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的外表面到点B处觅食，则它爬行的最短路程为（）
A.$\sqrt{14}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{26}$
A.$\sqrt{14}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{26}$
答案
B
解析
将长方体表面展开，分三种情况计算A到B的距离：
1. 展开后直角边为3和3，距离为$\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$；
2. 展开后直角边为5和1，距离为$\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$；
3. 展开后直角边为4和2，距离为$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；
比较得最短距离为$3\sqrt{2}$。
1. 展开后直角边为3和3，距离为$\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$；
2. 展开后直角边为5和1，距离为$\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$；
3. 展开后直角边为4和2，距离为$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；
比较得最短距离为$3\sqrt{2}$。
4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,分别以AC,AB为边向外作正方形,面积分别为$S_1,S_2$.若$S_1=2,S_2=6$,则$BC=$.
答案
2
解析
在△ABC中，∠ACB=90°，根据勾股定理可得：AC² + BC² = AB²。因为以AC为边的正方形面积S₁=AC²=2，以AB为边的正方形面积S₂=AB²=6，所以BC²=AB² - AC² = S₂ - S₁=6-2=4，因此BC=√4=2。
5. 如图，$△ ABC$的顶点均在正方形网格的格点上，则$∠ ABC+∠ ACB$的度数等于°。
答案
45
解析
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理得：$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AC=4$，$BC=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$。在$△ ABC$中，计算$∠ BAC$的余弦值：$\cos∠ BAC=\frac{\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{(-2)×4 + 2×0}{2\sqrt{2}×4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，故$∠ BAC=135°$。根据三角形内角和为$180°$，得$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=180°-135°=45°$。
6. 在等腰三角形中，腰长为5，底边长为8，则该三角形的面积是。
答案
12
解析
过等腰三角形的顶点作底边的高，根据等腰三角形三线合一的性质，高将底边平分，每段长度为$8÷2 = 4$。再由勾股定理可得高的长度为$\sqrt{5^2 - 4^2} = 3$，因此该三角形的面积为$\frac{1}{2}×8×3 = 12$。
7. 某兴趣小组在进行旗杆高度测量活动时，由《九章算术》中“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何？”启发，设计了如下测量方式：已知旗杆与地面垂直，将升旗的绳索自然下垂，测得绳索比旗杆长1 m，拉直绳索，使绳索下端点A落在地面上，如图所示，测得点A与旗杆底端点B的距离为6 m.请根据测量数据计算旗杆BC的高度.
答案
旗杆BC的高度为17.5米。
解析
设旗杆BC的高度为$ x $米，则绳索AC的长度为$ (x+1) $米。
因为旗杆与地面垂直，所以$△ ABC$是直角三角形，$∠ B=90°$。
根据勾股定理可得：$ AB^2 + BC^2 = AC^2 $，其中$ AB=6 $米，代入得：
$ 6^2 + x^2 = (x+1)^2 $
展开得：$ 36 + x^2 = x^2 + 2x + 1 $
化简得：$ 2x = 35 $，解得$ x=17.5 $。
因为旗杆与地面垂直，所以$△ ABC$是直角三角形，$∠ B=90°$。
根据勾股定理可得：$ AB^2 + BC^2 = AC^2 $，其中$ AB=6 $米，代入得：
$ 6^2 + x^2 = (x+1)^2 $
展开得：$ 36 + x^2 = x^2 + 2x + 1 $
化简得：$ 2x = 35 $，解得$ x=17.5 $。
