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1 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90^{ \circ }$,$∠ ABC$的平分线交$AC$于点$D$,$DE ⊥ BC$于点$E$.若$△ ABC$与$△ CDE$的周长分别为17和7,则$AB$的长为（
A.10
B.16
C.8
D.5
D
）A.10
B.16
C.8
D.5
答案
D
解析
【分析】
首先利用角平分线的性质得到AD=DE，再通过HL定理证明两个直角三角形全等，转化得到AB=BE，最后结合两个三角形的周长关系建立等式，即可求出AB的长度。
【解析】
∵ BD是∠ABC的平分线，∠BAC=90°（即DA⊥AB），DE⊥BC，
∴ 根据角平分线的性质，AD=DE。
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
$\{\begin{array}{l} BD=BD \\ AD=DE \end{array} $
∴ Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴ AB=BE。
△ABC的周长为：$AB + BC + AC = AB + (BE + EC) + (AD + DC)$，
将AD=DE、AB=BE代入，可得：
$AB + (AB + EC) + (DE + DC) = 2AB + (DE + EC + DC)$。
已知△CDE的周长为$DE + EC + DC =7$，△ABC的周长为17，
因此$2AB +7 =17$，
解得$AB=5$。
【答案】
D
【知识点】
角平分线性质、全等三角形判定、三角形周长
【点评】
本题结合角平分线性质与全等三角形转化线段，通过周长关系建立方程求解，重点考查几何性质的应用与线段转化能力，属于中等难度题。
【难度系数】
0.5
首先利用角平分线的性质得到AD=DE，再通过HL定理证明两个直角三角形全等，转化得到AB=BE，最后结合两个三角形的周长关系建立等式，即可求出AB的长度。
【解析】
∵ BD是∠ABC的平分线，∠BAC=90°（即DA⊥AB），DE⊥BC，
∴ 根据角平分线的性质，AD=DE。
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
$\{\begin{array}{l} BD=BD \\ AD=DE \end{array} $
∴ Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴ AB=BE。
△ABC的周长为：$AB + BC + AC = AB + (BE + EC) + (AD + DC)$，
将AD=DE、AB=BE代入，可得：
$AB + (AB + EC) + (DE + DC) = 2AB + (DE + EC + DC)$。
已知△CDE的周长为$DE + EC + DC =7$，△ABC的周长为17，
因此$2AB +7 =17$，
解得$AB=5$。
【答案】
D
【知识点】
角平分线性质、全等三角形判定、三角形周长
【点评】
本题结合角平分线性质与全等三角形转化线段，通过周长关系建立方程求解，重点考查几何性质的应用与线段转化能力，属于中等难度题。
【难度系数】
0.5
2 [2025 崇川期末改编]如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90^{ \circ }$,以点$A$为圆心,任意长为半径画弧,分别交$AC$,$AB$于点$M$,$N$,再分别以点$M$,$N$为圆心,大于$\dfrac{1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧交于点$O$,作射线$AO$交$BC$于点$D$.若$CD=3$,$P$为$AB$上一动点,则$PD$长的最小值为（
A.$2$
B.$2.5$
C.$3$
D.$3.5$
C
）A.$2$
B.$2.5$
C.$3$
D.$3.5$
答案
C
解析
【分析】
首先，根据作图方法可判断射线AO是∠BAC的角平分线；其次，要找到AB上动点P使得PD最小，需依据“垂线段最短”，即PD的最小值是点D到AB的垂线段长度；最后利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知CD⊥AC、CD=3，即可求出PD的最小值。
【解析】
1. 由作图步骤可知，以A为圆心画弧，再以M、N为圆心画弧得到交点O，作射线AO，因此AO是∠BAC的角平分线。
2. 已知∠C=90°，即DC⊥AC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点D到AB的距离等于CD的长度，即点D到AB的距离为3。
3. 因为P是AB上的动点，根据“垂线段最短”，当PD⊥AB时，PD取得最小值，这个最小值就是点D到AB的距离，即3。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质、垂线段最短
【点评】
本题结合角平分线的作图与性质，利用垂线段最短求线段最小值，核心是理解角平分线的性质，找到D到AB的距离等于CD，属于基础几何应用题型。
【难度系数】
0.5
首先，根据作图方法可判断射线AO是∠BAC的角平分线；其次，要找到AB上动点P使得PD最小，需依据“垂线段最短”，即PD的最小值是点D到AB的垂线段长度；最后利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知CD⊥AC、CD=3，即可求出PD的最小值。
【解析】
1. 由作图步骤可知，以A为圆心画弧，再以M、N为圆心画弧得到交点O，作射线AO，因此AO是∠BAC的角平分线。
2. 已知∠C=90°，即DC⊥AC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点D到AB的距离等于CD的长度，即点D到AB的距离为3。
3. 因为P是AB上的动点，根据“垂线段最短”，当PD⊥AB时，PD取得最小值，这个最小值就是点D到AB的距离，即3。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质、垂线段最短
【点评】
本题结合角平分线的作图与性质，利用垂线段最短求线段最小值，核心是理解角平分线的性质，找到D到AB的距离等于CD，属于基础几何应用题型。
【难度系数】
0.5
3 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90^{ \circ }$,$AD$平分$∠ BAC$,$DE ⊥ AB$,垂足为$E$.
(1) 若$BC=8$,$BD=5$,则$DE=$
(2) 若$BC=20$,$BD:CD=3:2$,则点$D$到$AB$的距离是
(1) 若$BC=8$,$BD=5$,则$DE=$
3
;(2) 若$BC=20$,$BD:CD=3:2$,则点$D$到$AB$的距离是
8
.答案
(1) 3 (2) 8
解析
【分析】
本题考查角平分线的性质，解题思路是利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质，得出点D到AC的距离CD等于点D到AB的距离DE，再结合已知线段长度计算CD的长度，即可得到DE的值。
【解析】
(1) 因为AD平分∠BAC，∠C=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以CD = DE。
已知BC=8，BD=5，因此CD = BC - BD = 8 - 5 = 3，故DE = 3。
(2) 同理，由角平分线的性质可知，点D到AB的距离等于CD。
已知BC=20，BD:CD=3:2，总份数为3+2=5份，CD占其中的2份，所以CD = 20 × (2/5) = 8，即点D到AB的距离是8。
【答案】
(1) 3；(2) 8
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题核心是运用角平分线的性质解题，关键是明确角平分线上的点到角两边的距离相等，将所求距离转化为已知线段CD的长度，计算过程简单，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
本题考查角平分线的性质，解题思路是利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质，得出点D到AC的距离CD等于点D到AB的距离DE，再结合已知线段长度计算CD的长度，即可得到DE的值。
【解析】
(1) 因为AD平分∠BAC，∠C=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以CD = DE。
已知BC=8，BD=5，因此CD = BC - BD = 8 - 5 = 3，故DE = 3。
(2) 同理，由角平分线的性质可知，点D到AB的距离等于CD。
已知BC=20，BD:CD=3:2，总份数为3+2=5份，CD占其中的2份，所以CD = 20 × (2/5) = 8，即点D到AB的距离是8。
【答案】
(1) 3；(2) 8
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题核心是运用角平分线的性质解题，关键是明确角平分线上的点到角两边的距离相等，将所求距离转化为已知线段CD的长度，计算过程简单，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
4 新情境 生活实际 如图,铁路$OA$和铁路$OB$交于点$O$处,河岸$AB$与两条铁路分别交于点$A$处和点$B$处,试在河岸$AB$上建一座水厂$M$,要求水厂$M$到铁路$OA$,$OB$的距离相等,则该水厂$M$应建在图中什么位置? 在图中画一画.
答案
如图,作$∠ AOB$的平分线交$AB$于点$M$,点$M$即为该水厂所建位置
解析
【分析】要确定水厂M的位置，需满足M到铁路OA、OB的距离相等。根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需作出∠AOB的角平分线，该角平分线与河岸AB的交点即为所求的点M。
【解析】根据角平分线的性质，到角两边距离相等的点在该角的平分线上，所以作∠AOB的平分线，这条平分线与AB的交点就是水厂M的位置。
【答案】如图，作$∠ AOB$的平分线交$AB$于点$M$,点$M$即为该水厂所建位置
【知识点】角平分线的性质
【点评】本题将角平分线的性质应用于实际选址问题，体现了几何知识在生活中的应用，考查学生对基本几何性质的理解和运用能力。
【难度系数】0.6
【解析】根据角平分线的性质，到角两边距离相等的点在该角的平分线上，所以作∠AOB的平分线，这条平分线与AB的交点就是水厂M的位置。
【答案】如图，作$∠ AOB$的平分线交$AB$于点$M$,点$M$即为该水厂所建位置
【知识点】角平分线的性质
【点评】本题将角平分线的性质应用于实际选址问题，体现了几何知识在生活中的应用，考查学生对基本几何性质的理解和运用能力。
【难度系数】0.6
5 教材P52习题14.3第1题变式 如图,在$△ ABC$中,$BE=CF$,$AD$平分$∠ BAC$,$DE ⊥ AB$于点$E$,$DF ⊥ AC$于点$F$.求证:$D$是$BC$的中点.
答案
$\because AD$平分$∠ BAC,DE⊥ AB,DF⊥ AC,\therefore DE = DF$,$∠ BED = ∠ CFD = 90°$. 在 $△ BED$ 和 $△ CFD$ 中,
$\begin{cases} BE=CF, \\ ∠ BED=∠ CFD, \\ DE=DF, \end{cases}$$\therefore △ BED≌△ CFD.\therefore BD=CD$,即 $D$ 是$BC$的中点
$\begin{cases} BE=CF, \\ ∠ BED=∠ CFD, \\ DE=DF, \end{cases}$$\therefore △ BED≌△ CFD.\therefore BD=CD$,即 $D$ 是$BC$的中点
解析
【分析】要证明D是BC的中点，即需证BD=CD，可通过证明△BED与△CFD全等实现。首先利用角平分线的性质，由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，得到DE=DF且∠BED=∠CFD=90°，结合已知BE=CF，根据SAS判定△BED≌△CFD，进而得到BD=CD，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ 根据角平分线的性质，得 DE = DF，且∠BED = ∠CFD = 90°。
在△BED和△CFD中，
$\begin{cases}BE = CF \\∠BED = ∠CFD \\DE = DF\end{cases}$
∴ △BED ≌ △CFD（SAS）。
∴ BD = CD，即D是BC的中点。
【答案】
证明：
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠BED = ∠CFD = 90°。
在△BED和△CFD中，
$\begin{cases} BE=CF, \\ ∠ BED=∠ CFD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴ △ BED≌△ CFD（SAS）。
∴ BD=CD，即D是BC的中点。
【知识点】角平分线的性质；全等三角形的判定（SAS）；全等三角形的性质
【点评】本题结合角平分线的性质和全等三角形的判定与性质进行证明，思路清晰，是几何证明中常见的基础题型，需熟练掌握相关性质与判定方法。
【难度系数】0.6
【解析】
证明：
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ 根据角平分线的性质，得 DE = DF，且∠BED = ∠CFD = 90°。
在△BED和△CFD中，
$\begin{cases}BE = CF \\∠BED = ∠CFD \\DE = DF\end{cases}$
∴ △BED ≌ △CFD（SAS）。
∴ BD = CD，即D是BC的中点。
【答案】
证明：
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠BED = ∠CFD = 90°。
在△BED和△CFD中，
$\begin{cases} BE=CF, \\ ∠ BED=∠ CFD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴ △ BED≌△ CFD（SAS）。
∴ BD=CD，即D是BC的中点。
【知识点】角平分线的性质；全等三角形的判定（SAS）；全等三角形的性质
【点评】本题结合角平分线的性质和全等三角形的判定与性质进行证明，思路清晰，是几何证明中常见的基础题型，需熟练掌握相关性质与判定方法。
【难度系数】0.6
6 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90^{ \circ }$,$BC=5$,$AC=3$,$AB=4$,$D$是$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线的交点,则点$D$到$BC$的距离为（
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$3.5$
A
）A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$3.5$
答案
A 【解析】如图,过点 $D$ 分别作 $DE⊥ AC,DF⊥ AB$,$DG⊥ BC$,垂足分别为 $E,F,G$,连接 $AD$.$\because ∠ ACB$ 与$∠ ABC$的平分线交于点 $D$,$\therefore DE = DF = DG$.$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}+S_{△ ACD}$,$\therefore \frac{1}{2}(AB+BC+AC)· DG=6$.$\therefore 6DG=6$,解得 $DG=1$.$\therefore$ 点 $D$ 到 $BC$ 的距离为1.
解析
【分析】
要解决该问题，首先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到AB、AC、BC的距离相等，设该距离为DG（即点D到BC的距离）。接着通过面积法，将△ABC的面积拆分为△ABD、△BCD、△ACD的面积之和，结合已知的△ABC面积，即可求出DG的长度。
【解析】
过点D分别作DF⊥AB，DE⊥AC，DG⊥BC，垂足分别为F、E、G，连接AD。
因为D是∠ABC和∠ACB平分线的交点，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以DF=DE=DG。
计算Rt△ABC的面积：∠BAC=90°，AB=4，AC=3，故$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×4×3=6$。
将△ABC的面积拆分为三个小三角形的面积和：$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△BCD}+S_{△ACD}$。
其中$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DF$，$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×BC×DG$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DE$，又DF=DE=DG=h，代入得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×h+\frac{1}{2}×BC×h+\frac{1}{2}×AC×h=\frac{1}{2}×(AB+BC+AC)×h$。
代入AB=4，BC=5，AC=3，$S_{△ABC}=6$，得：
$6=\frac{1}{2}×(4+5+3)×h$，即$6=6h$，解得$h=1$。
因此点D到BC的距离DG=1。
【答案】
A
【知识点】
角平分线性质、三角形面积计算
【点评】
本题结合角平分线性质与三角形面积公式，通过面积法建立等式求解，是初中几何的基础应用题型，核心是利用角平分线性质转化距离，再用面积拆分简化计算。
【难度系数】
0.4
要解决该问题，首先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到AB、AC、BC的距离相等，设该距离为DG（即点D到BC的距离）。接着通过面积法，将△ABC的面积拆分为△ABD、△BCD、△ACD的面积之和，结合已知的△ABC面积，即可求出DG的长度。
【解析】
过点D分别作DF⊥AB，DE⊥AC，DG⊥BC，垂足分别为F、E、G，连接AD。
因为D是∠ABC和∠ACB平分线的交点，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以DF=DE=DG。
计算Rt△ABC的面积：∠BAC=90°，AB=4，AC=3，故$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×4×3=6$。
将△ABC的面积拆分为三个小三角形的面积和：$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△BCD}+S_{△ACD}$。
其中$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DF$，$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×BC×DG$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DE$，又DF=DE=DG=h，代入得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×h+\frac{1}{2}×BC×h+\frac{1}{2}×AC×h=\frac{1}{2}×(AB+BC+AC)×h$。
代入AB=4，BC=5，AC=3，$S_{△ABC}=6$，得：
$6=\frac{1}{2}×(4+5+3)×h$，即$6=6h$，解得$h=1$。
因此点D到BC的距离DG=1。
【答案】
A
【知识点】
角平分线性质、三角形面积计算
【点评】
本题结合角平分线性质与三角形面积公式，通过面积法建立等式求解，是初中几何的基础应用题型，核心是利用角平分线性质转化距离，再用面积拆分简化计算。
【难度系数】
0.4
