登录
28.已知直线$l$与直线$y=2x+1$的交点的横坐标为2，与直线$y=-x+2$的交点的纵坐标为1，求直线$l$的函数解析式.
答案
28.解:把$x=2$代入$y=2x+1$,得$y=5$,
∴直线$l$与直线$y=2x+1$的交点坐标为$(2,5)$.
把$y=1$代入$y=-x+2$,得$x=1$,
∴直线$l$与直线$y=-x+2$的交点坐标为$(1,1)$.
设直线$l$的解析式为$y=kx+b(k≠0)$.
把两点坐标代入,得$\begin{cases}2k+b=5,\\k+b=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=4,\\b=-3,\end{cases}$
故直线$l$的解析式为$y=4x-3$.
∴直线$l$与直线$y=2x+1$的交点坐标为$(2,5)$.
把$y=1$代入$y=-x+2$,得$x=1$,
∴直线$l$与直线$y=-x+2$的交点坐标为$(1,1)$.
设直线$l$的解析式为$y=kx+b(k≠0)$.
把两点坐标代入,得$\begin{cases}2k+b=5,\\k+b=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=4,\\b=-3,\end{cases}$
故直线$l$的解析式为$y=4x-3$.
解析
【分析】
要求直线l的函数解析式，我们通常使用待定系数法，需要先获取直线l上两个不同点的坐标。题目给出了直线l与两条已知直线的交点条件：①与y=2x+1的交点横坐标为2，可将x=2代入y=2x+1求出对应纵坐标，得到第一个交点坐标；②与y=-x+2的交点纵坐标为1，可将y=1代入y=-x+2求出对应横坐标，得到第二个交点坐标。得到直线l上的两个点后，代入一次函数一般式y=kx+b(k≠0)，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到直线l的解析式。
【解析】
第一步：求直线l与y=2x+1的交点坐标
把x=2代入y=2x+1，得$y=2×2+1=5$，
∴直线l与直线$y=2x+1$的交点坐标为$(2,5)$。
第二步：求直线l与y=-x+2的交点坐标
把y=1代入$y=-x+2$，得$1=-x+2$，解得$x=1$，
∴直线l与直线$y=-x+2$的交点坐标为$(1,1)$。
第三步：用待定系数法求直线l的解析式
设直线l的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(2,5)$和$(1,1)$代入解析式，得：
$\begin{cases}2k+b=5\\k+b=1\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$k=4$，
将$k=4$代入$k+b=1$，得$4+b=1$，解得$b=-3$。
【答案】
$y=4x-3$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数交点坐标求解
3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，解题逻辑清晰，核心考察待定系数法的使用，解题关键是根据已知条件准确求出待求直线上的两个点坐标，计算量小，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要求直线l的函数解析式，我们通常使用待定系数法，需要先获取直线l上两个不同点的坐标。题目给出了直线l与两条已知直线的交点条件：①与y=2x+1的交点横坐标为2，可将x=2代入y=2x+1求出对应纵坐标，得到第一个交点坐标；②与y=-x+2的交点纵坐标为1，可将y=1代入y=-x+2求出对应横坐标，得到第二个交点坐标。得到直线l上的两个点后，代入一次函数一般式y=kx+b(k≠0)，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到直线l的解析式。
【解析】
第一步：求直线l与y=2x+1的交点坐标
把x=2代入y=2x+1，得$y=2×2+1=5$，
∴直线l与直线$y=2x+1$的交点坐标为$(2,5)$。
第二步：求直线l与y=-x+2的交点坐标
把y=1代入$y=-x+2$，得$1=-x+2$，解得$x=1$，
∴直线l与直线$y=-x+2$的交点坐标为$(1,1)$。
第三步：用待定系数法求直线l的解析式
设直线l的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(2,5)$和$(1,1)$代入解析式，得：
$\begin{cases}2k+b=5\\k+b=1\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$k=4$，
将$k=4$代入$k+b=1$，得$4+b=1$，解得$b=-3$。
【答案】
$y=4x-3$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数交点坐标求解
3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，解题逻辑清晰，核心考察待定系数法的使用，解题关键是根据已知条件准确求出待求直线上的两个点坐标，计算量小，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
29.已知一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴交于点$A(-6,0)$，与$y$轴交于点$B$，若$△ AOB$的面积是12，且$y$随$x$的增大而减小，请写出这个一次函数的解析式.
答案
29.解:
∵一次函数$y=kx+b$的图象经过点$A(-6,0)$,
∴$0=-6k+b$,
即$b=6k$①.
∵一次函数$y=kx+b$的图象与$y$轴的交点是$B(0,b)$,
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AO·OB=12$.
即$\frac{1}{2}·6·|b|=12$,
∴$|b|=4$,
∴$b_1=4,b_2=-4$,
代入①式,得$k_1=\frac{2}{3},k_2=-\frac{2}{3}$.
又
∵$y$随$x$的增大而减小,
∴$k＜0$,
∴$k=-\frac{2}{3}$,
∴一次函数的解析式是$y=-\frac{2}{3}x-4$.
∵一次函数$y=kx+b$的图象经过点$A(-6,0)$,
∴$0=-6k+b$,
即$b=6k$①.
∵一次函数$y=kx+b$的图象与$y$轴的交点是$B(0,b)$,
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AO·OB=12$.
即$\frac{1}{2}·6·|b|=12$,
∴$|b|=4$,
∴$b_1=4,b_2=-4$,
代入①式,得$k_1=\frac{2}{3},k_2=-\frac{2}{3}$.
又
∵$y$随$x$的增大而减小,
∴$k＜0$,
∴$k=-\frac{2}{3}$,
∴一次函数的解析式是$y=-\frac{2}{3}x-4$.
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：首先将已知点A的坐标代入一次函数解析式，得到k与b的数量关系；其次明确一次函数与y轴交点B的坐标，△AOB是直角顶点在原点的直角三角形，利用三角形面积公式求b的可能取值，注意点到坐标轴的距离是坐标的绝对值，避免漏解；最后结合一次函数的增减性（y随x增大而减小说明k＜0），筛选出符合条件的k、b的值，即可确定最终解析式。
【解析】
解：
∵一次函数$y=kx+b$的图象经过点$A(-6,0)$，
∴把$x=-6,y=0$代入解析式得：$0=-6k+b$，
整理得$b=6k$①。
∵一次函数$y=kx+b$的图象与y轴的交点为$B(0,b)$，
∴OA的长度为6，OB的长度为$|b|$，△AOB为直角三角形，
则$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × OA × OB = 12$，
代入得：$\frac{1}{2} × 6 × |b| = 12$，
计算得$|b|=4$，即$b=4$或$b=-4$。
将b的两个取值分别代入①式：
当$b=4$时，$4=6k$，解得$k=\frac{2}{3}$；
当$b=-4$时，$-4=6k$，解得$k=-\frac{2}{3}$。
又
∵y随x的增大而减小，
∴一次函数的斜率$k＜0$，
故舍去$k=\frac{2}{3}$，取$k=-\frac{2}{3}$，对应的$b=-4$。
∴这个一次函数的解析式为$y=-\frac{2}{3}x - 4$。
【答案】
$y=-\dfrac{2}{3}x-4$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的增减性；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的综合基础题，核心考查待定系数法的应用，解题时需注意与坐标轴交点到原点的距离是坐标的绝对值，不能忽略符号，最后要结合函数的增减性对解进行筛选，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下步骤思考：首先将已知点A的坐标代入一次函数解析式，得到k与b的数量关系；其次明确一次函数与y轴交点B的坐标，△AOB是直角顶点在原点的直角三角形，利用三角形面积公式求b的可能取值，注意点到坐标轴的距离是坐标的绝对值，避免漏解；最后结合一次函数的增减性（y随x增大而减小说明k＜0），筛选出符合条件的k、b的值，即可确定最终解析式。
【解析】
解：
∵一次函数$y=kx+b$的图象经过点$A(-6,0)$，
∴把$x=-6,y=0$代入解析式得：$0=-6k+b$，
整理得$b=6k$①。
∵一次函数$y=kx+b$的图象与y轴的交点为$B(0,b)$，
∴OA的长度为6，OB的长度为$|b|$，△AOB为直角三角形，
则$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × OA × OB = 12$，
代入得：$\frac{1}{2} × 6 × |b| = 12$，
计算得$|b|=4$，即$b=4$或$b=-4$。
将b的两个取值分别代入①式：
当$b=4$时，$4=6k$，解得$k=\frac{2}{3}$；
当$b=-4$时，$-4=6k$，解得$k=-\frac{2}{3}$。
又
∵y随x的增大而减小，
∴一次函数的斜率$k＜0$，
故舍去$k=\frac{2}{3}$，取$k=-\frac{2}{3}$，对应的$b=-4$。
∴这个一次函数的解析式为$y=-\frac{2}{3}x - 4$。
【答案】
$y=-\dfrac{2}{3}x-4$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的增减性；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的综合基础题，核心考查待定系数法的应用，解题时需注意与坐标轴交点到原点的距离是坐标的绝对值，不能忽略符号，最后要结合函数的增减性对解进行筛选，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
