8. 解方程组：$\begin{cases} x - y + z = 0, ① \\ 4x + 2y + z = 3, ② \\ 25x + 5y + z = 60. ③ \end{cases}$

解:②-①,得3x+3y=3,即x+y=1.④
③-①,得24x+6y=60,即4x+y=10.⑤
由④和⑤组成二元一次方程组
$\begin{cases} x+y=1, \\ 4x+y=10, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=3, \\ y=-2. \end{cases}$把$\begin{cases} x=3, \\ y=-2 \end{cases}$代入①,得3+2+z=0,解得z=-5.所以原方程组的解是$\begin{cases} x=3, \\ y=-2, \\ z=-5. \end{cases}$

【分析】
这是三元一次方程组求解问题，解题核心是通过消元将三元转化为二元再求解。观察三个方程可发现未知数z的系数均为1，因此优先用加减消元法消去z：用方程②减去方程①、方程③减去方程①，即可得到两个只含x和y的方程，组成二元一次方程组；解出x、y的值后，代入原任意一个方程求出z的值，即可得到原方程组的解。
【解析】
解：②-①，得$3x+3y=3$，化简得$x+y=1$ ④
③-①，得$24x+6y=60$，化简得$4x+y=10$ ⑤
联立④和⑤组成二元一次方程组：
$\begin{cases} x+y=1 \\ 4x+y=10 \end{cases}$
用⑤-④，得$3x=9$，解得$x=3$
把$x=3$代入④，得$3+y=1$，解得$y=-2$
把$\begin{cases} x=3 \\ y=-2 \end{cases}$代入①，得$3 - (-2) + z = 0$，即$3+2+z=0$，解得$z=-5$
【答案】
$\begin{cases} x=3 \\ y=-2 \\ z=-5 \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法、加减消元法、代入消元法
【点评】
本题重点考查消元思想在方程组求解中的应用，解题关键是观察未知数系数特点，选择最简便的消元顺序，先将三元方程组降为熟悉的二元方程组求解，再回代得到第三个未知数的值，整体解题思路清晰，运算量较小。
【难度系数】
0.75

9. 若满足方程组$\begin{cases}3x + y = m + 3, \\2x - y = 2m - 1\end{cases}$的$x$与$y$互为相反数，则$m$的值为（ ）

A.$11$
B.$-11$
C.$1$
D.$-1$

A

【分析】
解题的突破口是利用“x与y互为相反数”的条件，得到隐含关系$x+y=0$。我们可以先通过加减消元法用含m的代数式分别表示出x和y，再根据$x+y=0$建立关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值；也可以直接将$y=-x$代入原方程组，消去y后求解m。
【解析】
已知x与y互为相反数，因此有$x + y = 0$。
首先解原方程组：
$\begin{cases}3x + y = m + 3 ①\\2x - y = 2m - 1 ②\end{cases}$
将①+②消去y，可得：
$3x + y + 2x - y = m + 3 + 2m - 1$
化简得$5x = 3m + 2$，解得$x = \frac{3m + 2}{5}$。
把$x = \frac{3m + 2}{5}$代入①式，求y的值：
$3×\frac{3m + 2}{5} + y = m + 3$
移项通分计算得$y = \frac{5m + 15 - 9m - 6}{5} = \frac{-4m + 9}{5}$。
根据$x + y = 0$，代入x、y的表达式：
$\frac{3m + 2}{5} + \frac{-4m + 9}{5} = 0$
分子相加得：$3m + 2 - 4m + 9 = 0$
合并同类项得：$-m + 11 = 0$
解得$m = 11$。
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质；解二元一次方程组；消元法
【点评】
本题是二元一次方程组与相反数性质的综合题，解题关键是挖掘出“互为相反数的两个数和为0”的隐含条件，再结合消元法求解方程组，最后建立关于参数的方程求解，是代数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

10. 若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+y=5k, \\x-y=9k\end{cases}$的解是二元一次方程$2x+3y=6$的解，则$k$的值是（ ）

A.$-\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$-\dfrac{4}{3}$

C

【分析】
解题思路可分为两步：首先，题目说明二元一次方程组的解同时满足方程$2x+3y=6$，因此先通过加减消元法解给定的二元一次方程组，用含$k$的代数式表示出$x$和$y$；之后把表示$x$、$y$的代数式代入$2x+3y=6$，就能得到仅含$k$的一元一次方程，求解该方程即可得到$k$的值。
【解析】
1. 解二元一次方程组$\begin{cases}x+y=5k ①\\x-y=9k ②\end{cases}$
将①+②消去$y$，可得：$x+y+x-y=5k+9k$，化简得$2x=14k$，解得$x=7k$。
把$x=7k$代入①式，可得：$7k+y=5k$，移项得$y=5k-7k=-2k$。
2. 将$x=7k$、$y=-2k$代入$2x+3y=6$，得：
$2×7k + 3×(-2k) = 6$
计算化简：$14k -6k =6$，即$8k=6$，解得$k=\frac{3}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解法；二元一次方程的解的定义
【点评】
本题是方程解应用的常规题型，解题核心是先用参数表示出方程组的解，再代入第三个方程求解参数，计算时注意符号即可得分。
【难度系数】
0.7

11. 若方程组$\begin{cases}a_1x + y = c_1, \\ a_2x + y = c_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=2, \\ y=2.\end{cases}$则方程组$\begin{cases}a_1x + y = c_1 - a_1, \\ a_2x + y = c_2 - a_2\end{cases}$的解是（ ）

A.$\begin{cases} x=1, \\ y=1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=2, \\ y=2 \end{cases}$

B

【分析】
首先明确二元一次方程组的解的定义：能使方程组中两个方程左右两边都相等的未知数的值就是方程组的解。已知第一个方程组的解，我们可以先得到系数$a_1,a_2$和常数项$c_1,c_2$的关系，再观察待求解的方程组的结构，通过移项变形把它转化为和第一个方程组结构完全相同的形式，利用整体代换的思路就能快速求出解，不需要计算各个未知系数的具体数值。
【解析】
1. 把第一个方程组的解$\begin{cases}x=2 \\ y=2\end{cases}$代入原方程组$\begin{cases}a_1x + y = c_1 \\ a_2x + y = c_2\end{cases}$，可得：
$2a_1 + 2 = c_1$，$2a_2 + 2 = c_2$。
2. 对待求解的方程组$\begin{cases}a_1x + y = c_1 - a_1 \\ a_2x + y = c_2 - a_2\end{cases}$进行变形，将右边的$-a_1、-a_2$移到左边，可得：
$\begin{cases}a_1x + a_1 + y = c_1 \\ a_2x + a_2 + y = c_2\end{cases}$，提取公因式后为：
$\begin{cases}a_1(x+1) + y = c_1 \\ a_2(x+1) + y = c_2\end{cases}$。
3. 对比变形后的方程组和第一个方程组的结构，可知如果把$x+1$和$y$看作整体，就和第一个方程组的未知数形式完全一致，因此对应解满足：
$\begin{cases}x+1=2 \\ y=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}$。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解；整体代入思想；等式的性质
【点评】
本题不需要计算未知系数的具体值，核心是通过观察方程结构，运用整体代换的思想将新方程组转化为已知解的方程组形式，能够有效考查对知识的灵活运用能力和转化思维。
【难度系数】
0.7

12. 已知方程组$\begin{cases}x+y=m, \\ x-y=n+1\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3, \\ y=2.\end{cases}$则$m+n$的值为 ______ .

5

【分析】
本题可根据二元一次方程组解的定义求解：已知方程组的解，那么该解满足方程组中的每一个方程，因此只需将x=3、y=2分别代入两个方程，求出m和n的值，再计算m+n的结果即可。
【解析】
解：
∵$\begin{cases}x=3 \\ y=2\end{cases}$是方程组$\begin{cases}x+y=m \\ x-y=n+1\end{cases}$的解
∴将解代入第一个方程得：$3+2=m$，解得$m=5$
将解代入第二个方程得：$3-2=n+1$，即$1=n+1$，解得$n=0$
∴$m+n=5+0=5$
【答案】5
【知识点】二元一次方程组的解；代数式求值
【点评】本题属于基础题型，核心是理解二元一次方程组的解的性质，即解能使方程组中每个方程的左右两边相等，代入计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】0.9

13.若$\begin{cases}x=2, \\ y=3\end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程$ax - by =1$的解，则$-2a +3b +3=$ ______ 。

2

【分析】
解题时首先回忆二元一次方程解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。因此第一步我们可以将已知的x、y的值代入原方程，得到关于a、b的关系式；再观察待求代数式的结构，发现可以通过变形将得到的a、b的关系式整体代入计算，不需要单独求解a、b的值，简化计算过程。
【解析】
已知$\begin{cases}x=2, \\ y=3\end{cases}$是方程$ax - by =1$的解，将其代入方程可得：
$2a - 3b =1$
对待求式$-2a +3b +3$变形可得：
$-2a +3b +3 = -(2a - 3b) +3$
将$2a - 3b =1$整体代入上式计算：
原式$= -1 +3 =2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程的解；整体代入求值
【点评】
本题重点考查对二元一次方程解的概念的掌握，解题时运用整体代入的思想可以避免求解单个未知数，大幅简化计算过程，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8

14.已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}3x+2y=k, \\2x+3y=k+3\end{cases}$的解之和为2，则$k$的值为 ______ 。

$\dfrac{7}{2}$

【分析】
首先明确题目已知条件：方程组的解$x$、$y$满足$x+y=2$。观察方程组的系数特点，$x$的系数分别为3和2，$y$的系数分别为2和3，将两个方程左右两边分别相加，可直接得到含$x+y$的整体表达式，再把$x+y=2$代入就能快速求出$k$的值；也可以先消元求出用$k$表示的$x$、$y$，再根据$x+y=2$列方程求解，整体相加的方法更简便。
【解析】
记方程组为$\begin{cases}3x+2y=k&① \\2x+3y=k+3&②\end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，得：
$3x+2y+2x+3y = k + (k+3)$
整理可得：$5(x+y)=2k+3$
已知方程组的解之和为2，即$x+y=2$，将其代入上式：
$5×2=2k+3$
计算得：$10=2k+3$
移项得$2k=10-3=7$，解得$k=\dfrac{7}{2}$。
【答案】
$\dfrac{7}{2}$
【知识点】
二元一次方程组的解；等式的基本性质；整体代入思想
【点评】
本题是二元一次方程组的基础常考题型，既可以用常规消元法求解，也可以通过观察系数特点用整体法简化计算，能有效考察学生的观察能力和灵活解题的意识。
【难度系数】
0.7