登录
1. 在一个瓶子中装有一些豆子,小明想估算瓶子中豆子的总数,他进行了如下操作:小明先从瓶子中倒出20粒豆子,接着小明给这些豆子全部标上记号,然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中,充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子,发现倒出的30粒豆子中,被标记的豆子有5粒,小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为
120
粒.答案
120 提示:由题意可知,瓶子中被标记豆子的概率为$\frac{5}{30}$,所以瓶子中豆子的总数为$20÷\frac{5}{30}=20×\frac{30}{5}=$120粒.
解析
【分析】
本题利用样本频率估计总体概率的思路解题：先标记20粒豆子放回摇匀，此时瓶子中标记豆子的频率（比例）与总体中标记豆子的概率近似相等；倒出的30粒豆子作为样本，其中标记的5粒的频率为$\frac{5}{30}$，该频率等于总体中标记豆子的比例$\frac{20}{总数}$，据此可计算豆子总数。
【解析】
设瓶子中豆子的总数为$N$粒。根据题意，摇匀后样本中标记豆子的频率近似等于总体中标记豆子的频率，因此列等式：
$\frac{20}{N} = \frac{5}{30}$
解得：$N = 20 ÷ \frac{5}{30} = 20 × \frac{30}{5} = 120$
【答案】
120
【知识点】
用频率估计概率、抽样估算
【点评】
本题结合实际场景考查统计估算的基础应用，核心是理解标记豆子的比例关系，属于难度适中的基础题，学生易掌握。
【难度系数】
0.6
本题利用样本频率估计总体概率的思路解题：先标记20粒豆子放回摇匀，此时瓶子中标记豆子的频率（比例）与总体中标记豆子的概率近似相等；倒出的30粒豆子作为样本，其中标记的5粒的频率为$\frac{5}{30}$，该频率等于总体中标记豆子的比例$\frac{20}{总数}$，据此可计算豆子总数。
【解析】
设瓶子中豆子的总数为$N$粒。根据题意，摇匀后样本中标记豆子的频率近似等于总体中标记豆子的频率，因此列等式：
$\frac{20}{N} = \frac{5}{30}$
解得：$N = 20 ÷ \frac{5}{30} = 20 × \frac{30}{5} = 120$
【答案】
120
【知识点】
用频率估计概率、抽样估算
【点评】
本题结合实际场景考查统计估算的基础应用，核心是理解标记豆子的比例关系，属于难度适中的基础题，学生易掌握。
【难度系数】
0.6
2. 一款游戏的规则如下:如图1为游戏棋盘，从起点到终点共7步；如图2是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次(若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止)，每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏.例如，第一次转动转盘指针所指数字为2，棋子从起点前进2步到达B，第二次转动转盘指针所指数字为3，……直到棋子到达终点或超过终点停止.
(1) 转动转盘一次，求转盘停止后指针指向4的概率.
(2) 请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率.
(1) 转动转盘一次，求转盘停止后指针指向4的概率.
(2) 请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率.
答案
解:(1) 因为转盘被分成4个大小相等的扇形,所以$P(指针指向4)=\frac{1}{4}$.
(2) 列表如下：
|转盘上的数|1|2|3|4|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|1|2|3|4|5|
|2|3|4|5|6|
|3|4|5|6|7|
|4|5|6|7|8|
通过游戏是恰好到达终点,即两次指针所指扇形区域数字之和为7.由表可得共有16种等可能的结果,其中和为7的结果有2种,所以$P(转动转盘两次能通过游戏)=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$.
(2) 列表如下：
|转盘上的数|1|2|3|4|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|1|2|3|4|5|
|2|3|4|5|6|
|3|4|5|6|7|
|4|5|6|7|8|
通过游戏是恰好到达终点,即两次指针所指扇形区域数字之和为7.由表可得共有16种等可能的结果,其中和为7的结果有2种,所以$P(转动转盘两次能通过游戏)=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问是求转盘转动一次指针指向4的概率，转盘被分成4个大小相等的扇形，每个扇形被指针指向的可能性相同，属于等可能事件，直接利用概率公式计算即可；第(2)问是求转动两次转盘能通过游戏的概率，通过游戏需要两次指针所指数字之和恰好为7，因此采用列表法列举出转动两次转盘所有等可能的结果，再从中找出数字和为7的结果，最后根据概率公式计算概率。
【解析】
(1) 已知转盘被分成4个大小相等的扇形，且指针指向每个扇形的可能性相同，根据等可能事件的概率公式，可得转动转盘一次，指针指向4的概率为：$P=\frac{1}{4}$。
(2) 转动转盘两次，所有可能的数字组合列表如下：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次数字之和为7（即恰好到达终点，通过游戏）的结果有2种，因此转动转盘两次能通过游戏的概率为：$P=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{8}$
【知识点】
概率的计算，列表法求概率
【点评】
本题考查等可能事件的概率计算，第(1)问直接利用概率公式，难度较低；第(2)问通过列表法清晰列举所有等可能结果，是求两步概率的常用方法，属于概率的基础应用，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问是求转盘转动一次指针指向4的概率，转盘被分成4个大小相等的扇形，每个扇形被指针指向的可能性相同，属于等可能事件，直接利用概率公式计算即可；第(2)问是求转动两次转盘能通过游戏的概率，通过游戏需要两次指针所指数字之和恰好为7，因此采用列表法列举出转动两次转盘所有等可能的结果，再从中找出数字和为7的结果，最后根据概率公式计算概率。
【解析】
(1) 已知转盘被分成4个大小相等的扇形，且指针指向每个扇形的可能性相同，根据等可能事件的概率公式，可得转动转盘一次，指针指向4的概率为：$P=\frac{1}{4}$。
(2) 转动转盘两次，所有可能的数字组合列表如下：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次数字之和为7（即恰好到达终点，通过游戏）的结果有2种，因此转动转盘两次能通过游戏的概率为：$P=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{8}$
【知识点】
概率的计算，列表法求概率
【点评】
本题考查等可能事件的概率计算，第(1)问直接利用概率公式，难度较低；第(2)问通过列表法清晰列举所有等可能结果，是求两步概率的常用方法，属于概率的基础应用，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
3. 根据以下材料,完成相应任务.
答案
解:任务一:甲、乙两队不需要争着去抽签.
理由如下：
点球决胜的规则里,先踢和后踢从概率角度来看,获胜的机会是均等的,抽签只是确定先后顺序,并不会直接影响最终的胜负概率,所以不需要争着抽签.
任务二:设进球为1,未进球为0,则第四轮进球情况用列表分析为：
|甲\乙|0|1|
| ---- | ---- | ---- |
|1|(1,0)|(1,1)|
|0|(0,0)|(0,1)|
所以四轮过后的甲、乙比分情况为:(3,3),(3,4),(2,3),(2,4).第五轮过后的比分情况用列表分析为：
|第五轮甲、乙比分\第四轮过后甲、乙的比分|(3,3)|(3,4)|(2,3)|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|(1,0)|(4,3)|(4,4)|(3,3)|
|(1,1)|(4,4)|(4,5)|(3,4)|
|(0,1)|(3,4)|(3,5)|(2,4)|
|(0,0)|(3,3)|(3,4)|(2,3)|
由表中比分情况,按比赛的规则可知,乙有7种获胜的可能性,结合四轮过后的甲、乙的比分情况可得乙胜的概率为$\frac{7+4}{12+4}=\frac{11}{16}$.
理由如下：
点球决胜的规则里,先踢和后踢从概率角度来看,获胜的机会是均等的,抽签只是确定先后顺序,并不会直接影响最终的胜负概率,所以不需要争着抽签.
任务二:设进球为1,未进球为0,则第四轮进球情况用列表分析为：
|甲\乙|0|1|
| ---- | ---- | ---- |
|1|(1,0)|(1,1)|
|0|(0,0)|(0,1)|
所以四轮过后的甲、乙比分情况为:(3,3),(3,4),(2,3),(2,4).第五轮过后的比分情况用列表分析为：
|第五轮甲、乙比分\第四轮过后甲、乙的比分|(3,3)|(3,4)|(2,3)|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|(1,0)|(4,3)|(4,4)|(3,3)|
|(1,1)|(4,4)|(4,5)|(3,4)|
|(0,1)|(3,4)|(3,5)|(2,4)|
|(0,0)|(3,3)|(3,4)|(2,3)|
由表中比分情况,按比赛的规则可知,乙有7种获胜的可能性,结合四轮过后的甲、乙的比分情况可得乙胜的概率为$\frac{7+4}{12+4}=\frac{11}{16}$.
解析
【分析】
任务一：抽签是随机确定先踢权的公平方式，甲、乙获得先踢权的概率相等，先踢和后踢不会影响最终胜负的概率，因此不需要争着抽签。任务二：先明确前三轮后甲、乙的比分，再通过列举法分析第四轮、第五轮所有可能的进球情况，找出乙获胜的情况数，结合总情况数计算概率。
【解析】
任务一：甲、乙两队不需要争着去抽签。理由：抽签是随机决定先踢权的公平方式，从概率角度，甲、乙获得先踢权的概率均等，先踢和后踢不会改变双方最终获胜的概率，因此不需要争着抽签。
任务二：设每轮进球为1，未进球为0，第四轮甲的进球情况与乙的对应情况列表如下：
|甲\乙|0|1|
| ---- | ---- | ---- |
|1|(1,0)|(1,1)|
|0|(0,0)|(0,1)|
由此得四轮过后的比分情况为：(3,3)、(3,4)、(2,3)、(2,4)。
第五轮乙的进球情况有2种，结合四轮后的比分，分析第五轮后乙获胜的情况：总计乙获胜的情况为11种，总情况数为16种，因此乙赢的概率为$\frac{11}{16}$。
【答案】
任务一：甲、乙两队不需要争着去抽签，理由是抽签是随机决定先踢权的公平方式，先踢和后踢不会改变双方最终获胜的概率；任务二：乙赢的概率是$\frac{11}{16}$。
【知识点】
概率的应用、列举法求概率
【点评】
本题结合足球点球大战的实际场景，考查概率的实际应用，需要学生理解比赛规则，通过列举所有可能的情况来计算概率，注重逻辑分析能力，是一道联系实际的概率题。
【难度系数】
0.5
任务一：抽签是随机确定先踢权的公平方式，甲、乙获得先踢权的概率相等，先踢和后踢不会影响最终胜负的概率，因此不需要争着抽签。任务二：先明确前三轮后甲、乙的比分，再通过列举法分析第四轮、第五轮所有可能的进球情况，找出乙获胜的情况数，结合总情况数计算概率。
【解析】
任务一：甲、乙两队不需要争着去抽签。理由：抽签是随机决定先踢权的公平方式，从概率角度，甲、乙获得先踢权的概率均等，先踢和后踢不会改变双方最终获胜的概率，因此不需要争着抽签。
任务二：设每轮进球为1，未进球为0，第四轮甲的进球情况与乙的对应情况列表如下：
|甲\乙|0|1|
| ---- | ---- | ---- |
|1|(1,0)|(1,1)|
|0|(0,0)|(0,1)|
由此得四轮过后的比分情况为：(3,3)、(3,4)、(2,3)、(2,4)。
第五轮乙的进球情况有2种，结合四轮后的比分，分析第五轮后乙获胜的情况：总计乙获胜的情况为11种，总情况数为16种，因此乙赢的概率为$\frac{11}{16}$。
【答案】
任务一：甲、乙两队不需要争着去抽签，理由是抽签是随机决定先踢权的公平方式，先踢和后踢不会改变双方最终获胜的概率；任务二：乙赢的概率是$\frac{11}{16}$。
【知识点】
概率的应用、列举法求概率
【点评】
本题结合足球点球大战的实际场景，考查概率的实际应用，需要学生理解比赛规则，通过列举所有可能的情况来计算概率，注重逻辑分析能力，是一道联系实际的概率题。
【难度系数】
0.5
