8.(2024·惠山区期中)如图,直线$l$上有三个边长分别为$a,b,c$的正方形,则有$a^{2}+c^{2}\_\_\_\_\_\_b^{2}$.(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)

8.$=$

9.(2024·灌南县期中)中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,若$AC=b$,$BC=a$,请你利用这个图形解决下列问题:
(1)试说明:$a^2+b^2=c^2$;
(2)如果大正方形的面积是12,小正方形的面积是4,求$(a+b)^2$的值.

9.解:(1)
∵大正方形的面积为$c^2$,直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$,小正方形的面积为$(b-a)^2$,
∴$c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2$,
即$c^2=a^2+b^2$.
(2)根据题意,得$(b-a)^2=4,4×\frac{1}{2}ab=12-4=8$,
∴$ab=4$,
∴$(a+b)^2=(b-a)^2+4ab=4+4×4=20$.

10.(2024·海州区期中)意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理,其中图①的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成,图③的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成. 设图①中空白部分的面积为$S_1$,图③中空白部分的面积为$S_2$.
(1)请用含$a,b,c$的代数式分别表示$S_1,S_2$;
(2)请利用达·芬奇的方法证明勾股定理.

10.解:(1)$S_1=a^2+b^2+2×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$,$S_2=c^2+2×\frac{1}{2}ab=c^2+ab$.
(2)由$S_1=S_2$,得$a^2+b^2+ab=c^2+ab$,
∴$a^2+b^2=c^2$.

11. (2024·东海县期中)在$△ ABC$中,$BC=a$,$CA=b$,$AB=c$. 若$∠ C$为直角,则$a^{2}+b^{2}=c^{2}$;若$∠ C$为锐角或钝角,则$a^{2}+b^{2}$与$c^{2}$之间有怎样的大小关系呢? 我们一起进行探究吧.
(1)阅读并填空:如图①,若$∠ C$为锐角,求证:$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$.
证明:如图②,过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$,则$BD=BC-CD=a-CD$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}$,
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$AD^{2}=$,
$\therefore$,即$c^{2}-(a-CD)^{2}=b^{2}-CD^{2}$,
$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}=2a· CD$.$\because a＞0$,$CD＞0$,$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}＞0$,$\therefore a^{2}+b^{2}＞c^{2}$.
(2)解答问题:如图③,若$∠ C$为钝角,试推导$a^{2}+b^{2}$与$c^{2}$的大小关系.

11.(1)$AC^2-CD^2$ $AB^2-BD^2=AC^2-CD^2$
(2)解:如答图,过点 A 作$AD⊥BC$交 BC 的延长线于点 D,则$BD=BC+CD=a+CD$.

在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$AD^2=AB^2-BD^2$,
在$\mathrm{Rt}△ACD$中,$AD^2=AC^2-CD^2$,
∴$AB^2-BD^2=AC^2-CD^2$,即$c^2-(a+CD)^2=b^2-CD^2$,
∴$a^2+b^2-c^2=-2a·CD$.
∵$a＞0,CD＞0$,
∴$a^2+b^2-c^2＜0$,
∴$a^2+b^2＜c^2$.