三、解答题(共50分)
11.(12分)(2024·沭阳期中)如图,C为AB上一点,$CD ⊥ AB$,点E在CD上,连接BD,AE,$BC=EC,AC=DC$. 求证:$△ ACE ≌ △ DCB$.

11.证明:
∵CD⊥AB,
∴∠ACE=∠DCB=90°.
在△ACE和△DCB中,$\begin{cases} AC=DC, \\ ∠ACE=∠DCB, \\ EC=BC, \end{cases}$
∴△ACE≌△DCB(SAS).

12. (12 分)(2024·兴化期末)如图,D 是 AB 上一点,DF 交 AC 于点 E,$AB// FC$,$AD=FC$,求证:$DE=EF$.

12.证明:
∵AB//FC,
∴∠A=∠ECF,∠ADE=∠F.
又
∵AD=FC,
∴△ADE≌△CFE(ASA),
∴DE=EF.

13. (12分)(2024·淮安期末)如图,点 B,C,E,F 在同一条直线上,$AB// DF,AB=DF,BE=$$CF$. 求证:$∠ A=∠ D$.

13.证明:
∵AB//DF,
∴∠B=∠F.
∵BE=CF,
∴BE-CE=CF-CE,即BC=EF.
在△ABC和△DFE中,$\begin{cases} AB=DF, \\ ∠B=∠F, \\ BC=FE, \end{cases}$
∴△ABC≌△DFE(SAS),
∴∠A=∠D.

14.(14分)(2024·赣榆区期中)如图,在$△ ABC$中,$AD$是$△ ABC$的角平分线,$P$是线段$AD$上的一个动点,$PE ⊥ AD$交直线$BC$于点$E$.
(1)若$∠ B=30^{ \circ }$,$∠ ACB=80^{ \circ }$,求$∠ E$的度数;
(2)当点$P$在线段$AD$上运动时,若$∠ E$是锐角,请写出$∠ E$,$∠ ACB$,$∠ B$之间的关系,并说明理由.

14.解:(1)
∵∠B=30°,∠ACB=80°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=70°.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=35°,
∴∠PDE=∠B+∠BAD=65°.
∵PE⊥AD,
∴∠E=90°-∠PDE=25°.
(2)∠E=$\frac{1}{2}$(∠ACB-∠B),理由如下:
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$(180°-∠B-∠ACB),
∴∠PDE=∠B+∠BAD=∠B+$\frac{1}{2}$(180°-∠B-∠ACB)=90°+$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠ACB.
∵PE ⊥ AD,
∴ ∠E = 90° - ∠PDE = 90° - $(90°+\frac{1}{2}∠B-\frac{1}{2}∠ACB)=\frac{1}{2}(∠ACB-∠B).$