1. (2026·北京期中) 如图,圆的两条弦 AB,CD相交于点 E,且$\widehat{AD}=\widehat{CB}$,$∠ A=39°$,则$∠ CEB$的度数为（）

A.$51°$
B.$61°$
C.$78°$
D.$90°$

∵$\widehat{AD}=\widehat{CB}$,
∴ ∠C=∠A=39°,
∴ ∠CEB=∠A+∠C=39°+39°=78°.故选 C.

【分析】首先，根据同圆中相等的弧所对的圆周角相等，由$\widehat{AD}=\widehat{CB}$可推出对应的圆周角∠C与∠A相等；再观察图形，∠CEB是△AEC的外角，利用三角形外角的性质（外角等于不相邻两内角之和）即可计算出∠CEB的度数。
【解析】
∵在同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，且$\widehat{AD}=\widehat{CB}$，
∴∠C=∠A=39°。
又
∵∠CEB是△AEC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠CEB=∠A + ∠C=39°+39°=78°。
故选C。
【答案】C
【知识点】圆周角定理、三角形外角性质
【点评】本题结合圆的弧与圆周角的关系，利用三角形外角性质求解角度，属于基础几何题，重点考查对圆周角定理和三角形外角性质的掌握，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】0.5

2. (2026·宿迁校级月考)如图，$OA,OB,OC$ 都是 $\odot O$ 的半径，连接 $AC,AB,BC,∠ AOC=140°,∠ ACB=50°$,则 $∠ BAC$ 的度数为（）

A.$50°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$20°$

∵ ∠ACB = 50°,
∴ ∠AOB = 2∠ACB = 100°,
∴ ∠BOC=∠AOC−∠AOB=140°−100°=40°,
∴ ∠CAB = $\frac{1}{2}$∠BOC=20°.故选 D.

【分析】
本题考查圆周角定理的应用，解题思路为：①利用“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，由已知圆周角∠ACB求出弧AB对应的圆心角∠AOB；②通过∠AOC与∠AOB的差，得到弧BC对应的圆心角∠BOC；③再次利用圆周角定理，由弧BC对应的圆心角∠BOC求出同弧所对的圆周角∠BAC的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍。
因为∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，所以∠AOB = 2∠ACB = 2×50° = 100°。
2. 已知∠AOC = 140°，则∠BOC = ∠AOC - ∠AOB = 140° - 100° = 40°。
3. 再次根据圆周角定理，∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，因此∠BAC = ½∠BOC = ½×40° = 20°。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用，核心是找准同弧对应的圆心角与圆周角，利用定理进行角度转换，属于常规基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.6

3. (1) (2024·苏州中考) 如图①，$△ ABC$ 是 $\odot O$ 的内接三角形，若 $∠ OBC = 28°$，则 $∠ A$ = $°$.

(2) 如图②，点 $A,B,S$ 在 $\odot O$ 上，若弦 $AB$ 的长度等于圆半径的 $\sqrt{2}$ 倍，则 $∠ ASB$ 的度数是 $°$.

3.(1) 62 解析:如图①,连接 OC,
∵ OB=OC,∠OBC=28°,
∴ ∠OCB=∠OBC=28°,
∴ ∠BOC=180°−∠OCB−∠OBC=124°,
∴ ∠A=$\frac{1}{2}$∠BOC=62°.
(2) 45 解析:如图②,连接 OA,OB,
∵ 弦 AB 的长度等于圆半径的$\sqrt{2}$倍,即 AB=$\sqrt{2}$ OA=$\sqrt{2}$ OB,
∴ OA²+OB²=AB²,
∴ △OAB 为等腰直角三角形,∠AOB = 90°,
∴ ∠ASB = $\frac{1}{2}$∠AOB=45°.

【分析】
本题分为两小问，均围绕圆的角度计算展开：
(1) 要计算∠A，需利用圆周角与圆心角的关系，先通过连接半径OC，结合等腰三角形性质求出圆心角∠BOC，再根据圆周角定理得到∠A；
(2) 要计算∠ASB，需先连接OA、OB，利用弦长与半径的关系，结合勾股定理逆定理求出圆心角∠AOB，再通过圆周角定理得到∠ASB。
【解析】
(1) 如图①，连接OC。
∵ OB、OC是⊙O的半径，
∴ OB=OC，
∴ ∠OCB=∠OBC=28°，
在△OBC中，∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=180°−28°−28°=124°，
∵ ∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴ ∠A=½∠BOC=½×124°=62°。
(2) 如图②，连接OA、OB。
设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，
由题意知AB=√2 r，
∴ OA² + OB² = r² + r² = 2r²，AB²=(√2 r)²=2r²，
∴ OA² + OB² = AB²，
根据勾股定理逆定理，△OAB是直角三角形，且∠AOB=90°，
∵ ∠ASB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴ ∠ASB=½∠AOB=½×90°=45°。
【答案】
(1) 62；(2) 45
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，勾股定理逆定理
【点评】
本题考查圆中角度的基础计算，核心是利用圆周角与圆心角的关系，结合等腰三角形、勾股定理逆定理的知识，属于常规基础题型，需熟练掌握圆的基本性质。
【难度系数】
0.6

4.(郴州中考)如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是$55°$,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台.

4 解析:
∵ ∠P=55°,
∴ ∠P 对应的圆心角的度数为110°.
∵ 360°÷110°≈3.27,
∴ 最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台.

【分析】要解决这个问题，需结合圆周角定理计算单个监视器对应的圆心角，再用周角除以该圆心角，向上取整得到最少需要的监视器数量。首先，监视器的监控角是圆周角，根据圆周角定理，圆周角等于所对圆心角的一半，先算出单个监控角对应的圆心角；再用整个圆的周角360°除以该圆心角，由于台数必须为正整数，需对结果向上取整，即可得到最少需要的台数。
【解析】根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。已知监控角度∠P=55°，则该监控角对应的圆心角为：2×55°=110°。要监控整个圆形展区，即所有监视器对应的圆心角之和需覆盖360°，因此需要的监视器台数为：360°÷110°≈3.27。由于台数必须为整数，且不能少于计算结果，所以最少需要4台。
【答案】4
【知识点】圆周角定理、圆的角度计算
【点评】本题将实际监控问题与圆的圆周角知识结合，考查学生对圆周角定理的应用能力，以及实际问题中整数取整的逻辑，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.6

5. 如图,点 A, B, C, D 都在$\odot O$上,$OC ⊥ AB$,$∠ ADC=30°$.
(1)求$∠ BOC$的度数;
(2)求证:四边形$AOBC$是菱形.

(1)
∵ 点 A,B,C,D 都在 ⊙O 上,OC ⊥ AB,
∴ $\widehat{AC}=\widehat{BC}$,
∴ ∠AOC= ∠BOC.
∵ ∠ADC= 30°,
∴ ∠AOC = ∠BOC = 2∠ADC=60°,
∴ ∠BOC 的度数为 60°.
(2)
∵ $\widehat{AC}=\widehat{BC}$,
∴ AC=BC.
∵ ∠BOC=60°,BO=CO,
∴ △BOC 为等边三角形,
∴ BC=BO=CO,
∴ AO=BO=AC=BC,
∴ 四边形 AOBC 是菱形.

【分析】
要解决本题，需结合圆的相关性质和菱形的判定定理分步推导：
1. 对于(1)，已知OC⊥AB，根据垂径定理可得弧AC与弧BC相等，进而得到对应的圆心角∠AOC和∠BOC相等；再利用圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），由∠ADC的度数求出∠AOC，即可得到∠BOC的度数。
2. 对于(2)，由弧AC=弧BC推出弦AC=BC，结合OB=OC和∠BOC=60°，可证△BOC为等边三角形，得到BC=BO=CO；再利用半径相等的性质，得到AO=BO=AC=BC，根据“四边相等的四边形是菱形”完成证明。
【解析】
(1)
∵ OC⊥AB，OC过圆心O，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，
∴ $\widehat{AC}=\widehat{BC}$，
∴ 对应的圆心角∠AOC=∠BOC。
又
∵ ∠ADC是圆周角，所对的弧为$\widehat{AC}$，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°，
∴ ∠BOC=∠AOC=60°。
(2) 由(1)知$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，
∴ 弦AC=BC。
∵ OB=OC（均为⊙O的半径），且∠BOC=60°，
∴ △BOC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ BC=BO=CO。
又
∵ AO=BO=CO（均为⊙O的半径），
∴ AO=BO=AC=BC，即四边形AOBC的四条边相等，根据菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，
∴ 四边形AOBC是菱形。
【答案】
(1) ∠BOC的度数为60°；(2) 四边形AOBC是菱形，证明成立。
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，菱形的判定
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与菱形的判定，解题关键是利用弧、弦、圆心角的关系转化条件，需熟练掌握垂径定理、圆周角定理及等边三角形、菱形的判定方法，属于中等难度的几何证明题。
【难度系数】
0.6

6. (2025·莆田期中) 如图,点 A,B,C 是$\odot O$上的三个点,且四边形 ABCO 是平行四边形,$OF ⊥ OC$交$\odot O$于点 F,连接 AF,则$∠ BAF$等于（）

A.$12.5°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$22.5°$

B 解析:连接 OB,
∵ 四边形 ABCO 是平行四边形,
∴ OC=AB,又 OA=OB=OC,
∴ OA=OB=AB,
∴ △AOB 为等边三角形.
∵ OF ⊥ OC,OC // AB,
∴ OF ⊥ AB,
∴ ∠BOF = ∠AOF = 30°,由圆周角定理得∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BOF=15°.故选B.

【分析】
要解决本题，首先添加辅助线OB，利用平行四边形的性质和圆的半径相等，证明△AOB是等边三角形；再结合OF⊥OC与OC//AB的关系，确定圆心角的度数；最后依据圆周角定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，计算出∠BAF的度数。
【解析】
连接OB，
∵ 四边形ABCO是平行四边形，
∴ OC = AB，
又
∵ OA、OB、OC都是⊙O的半径，即OA = OB = OC，
∴ OA = OB = AB，
∴ △AOB为等边三角形，
∴ ∠AOB = 60°，
∵ OF ⊥ OC，且OC // AB，
∴ OF ⊥ AB，
又
∵ OA = OB，
∴ OF平分∠AOB，即∠BOF = ∠AOF = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∠BAF是弧BF所对的圆周角，∠BOF是弧BF所对的圆心角，
∴ ∠BAF = $\frac{1}{2}$∠BOF = $\frac{1}{2}$×30° = 15°。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形性质、圆的半径、圆周角定理
【点评】
本题结合平行四边形与圆的性质，通过辅助线构造等边三角形，再利用圆周角定理求解，关键在于合理添加辅助线，理清圆心角与圆周角的对应关系。
【难度系数】
0.5

7. (2024·海南中考)如图,$AD$是半圆$O$的直径,点$B$,$C$在半圆上,且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,点$P$在$\overset{\frown}{CD}$上,若$∠ PCB=130°$,则$∠ PBA$等于（）

A.$105°$
B.$100°$
C.$90°$
D.$70°$

B 解析:如图,连接 OB,OC,
∵ AD 是半圆 O 的直径,$\widehat{AB}=\widehat{BC}=\widehat{CD}$,
∴ ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = 60°,
∴ △AOB 和 △BOC 都是等边三角形,
∴ ∠OBC = ∠OBA = 60°,
∴ ∠BPC = $\frac{1}{2}$∠BOC = 30°.
∵ ∠PCB = 130°,
∴ ∠PBC = 180°−130°−30°=20°,
∴ ∠PBO=60°−20°=40°,
∴ ∠PBA=40°+60°=100°.故选B.

【分析】
要解决本题，需结合半圆的弧长关系、圆心角与圆周角的性质、三角形内角和定理逐步推导：
1. 由AD是半圆直径，且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，可求出各弧对应的圆心角，进而得到等边三角形，确定相关角的度数；
2. 利用圆周角定理，求出$∠ BPC$的度数；
3. 在$△ PCB$中，结合已知$∠ PCB=130°$，用三角形内角和算出$∠ PBC$；
4. 最后通过角的和差关系，计算出$∠ PBA$的度数。
【解析】
如图，连接$OB$，$OC$。
$\because AD$是半圆$O$的直径，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore ∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=\frac{180°}{3}=60°$，
$\therefore △ AOB$和$△ BOC$都是等边三角形，
$\therefore ∠ OBC=∠ OBA=60°$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得$∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
在$△ PCB$中，$∠ PCB=130°$，$∠ BPC=30°$，
$\therefore ∠ PBC=180°-∠ PCB-∠ BPC=180°-130°-30°=20°$。
$\therefore ∠ PBO=∠ OBC-∠ PBC=60°-20°=40°$，
$\therefore ∠ PBA=∠ PBO+∠ OBA=40°+60°=100°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，等边三角形性质，三角形内角和
【点评】
本题结合半圆的弧长关系，考查圆心角、圆周角的性质及三角形内角和的应用，解题关键是利用弧相等推出圆心角相等，进而得到等边三角形，再逐步推导所求角度，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.6