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9. 如图,在$2 × 2$的正方形网格中有9 个格点,已经取定点 A 和 B,在余下的 7 个格点中任取一点 C,使$△ ABC$为直角三角形的概率是 （
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{4}{7}$
C.$\dfrac{3}{7}$
D.$\dfrac{2}{5}$
B
）A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{4}{7}$
C.$\dfrac{3}{7}$
D.$\dfrac{2}{5}$
答案
解析:如图,当$∠ACB=90°$时,则图中的点$C_1$和$C_2$与点A和B组成直角三角形;当$∠ABC=90°$时,则图中的点$C_3$与点A和B组成直角三角形;当$∠BAC=90°$时,则图中的点$C_4$与点A和B组成直角三角形,故使$△ABC$为直角三角形的概率是$\frac{4}{7}$.故选B.
解析
【分析】
要解决该问题，首先明确总共有7个可选的点C（9个格点中已选定A、B，剩余7个）；接下来需分三种情况（直角在A、直角在B、直角在C），逐一找出能使△ABC为直角三角形的点C的数量，最后根据概率公式计算所求概率。
【解析】
1. 总情况数：从余下的7个格点中任取一点C，共有7种等可能的结果；
2. 符合条件的点C：
当∠ACB=90°时，符合条件的点为C₁、C₂；
当∠ABC=90°时，符合条件的点为C₃；
当∠BAC=90°时，符合条件的点为C₄；
综上，符合条件的点C共4个；
3. 概率计算：P(△ABC为直角三角形)=符合条件的结果数/总结果数=4/7。
【答案】
B
【知识点】
概率计算、直角三角形判定
【点评】
本题结合网格考查概率计算，核心是分情况确定直角位置，准确找出所有符合条件的顶点，属于几何与概率结合的基础题型，需注意避免漏数或多数。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，首先明确总共有7个可选的点C（9个格点中已选定A、B，剩余7个）；接下来需分三种情况（直角在A、直角在B、直角在C），逐一找出能使△ABC为直角三角形的点C的数量，最后根据概率公式计算所求概率。
【解析】
1. 总情况数：从余下的7个格点中任取一点C，共有7种等可能的结果；
2. 符合条件的点C：
当∠ACB=90°时，符合条件的点为C₁、C₂；
当∠ABC=90°时，符合条件的点为C₃；
当∠BAC=90°时，符合条件的点为C₄；
综上，符合条件的点C共4个；
3. 概率计算：P(△ABC为直角三角形)=符合条件的结果数/总结果数=4/7。
【答案】
B
【知识点】
概率计算、直角三角形判定
【点评】
本题结合网格考查概率计算，核心是分情况确定直角位置，准确找出所有符合条件的顶点，属于几何与概率结合的基础题型，需注意避免漏数或多数。
【难度系数】
0.5
10. 在完全相同的四张卡片上分别写有如下四个命题:①半圆所对的弦是直径;②圆内接四边形的对角互补;③弦的垂线一定经过这条弦所在圆的圆心;④等腰三角形的外心一定在底边的垂直平分线上.把这四张卡片放入一个不透明的口袋内搅匀,从口袋内任取一张卡片,则取出卡片上的命题是真命题的概率是
$\dfrac{3}{4}$
.答案
解析:①②④为真命题,则取出卡片上的命题是真命题的概率是$\frac{3}{4}$.
解析
【分析】
要解决该问题，需分两步：第一步，先判断四张卡片上四个命题的真假；第二步，利用概率公式计算取出真命题卡片的概率。首先逐个分析每个命题的正确性，确定真命题的数量，再结合总卡片数，根据“概率=真命题卡片数÷总卡片数”计算结果。
【解析】
逐个判断四个命题的真假：
1. 命题①：半圆所对的弦是直径，这是圆的基本性质，属于真命题；
2. 命题②：圆内接四边形的对角互补，是圆内接四边形的重要性质定理，属于真命题；
3. 命题③：弦的垂线一定经过这条弦所在圆的圆心，错误，应为弦的垂直平分线经过圆心，任意一条垂线不一定经过圆心，属于假命题；
4. 命题④：等腰三角形的外心一定在底边的垂直平分线上，外心是三角形三边垂直平分线的交点，等腰三角形底边的垂直平分线是其对称轴，故外心必在该线上，属于真命题；
综上，真命题共3个，总卡片数为4，因此取出卡片上的命题是真命题的概率为$\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
命题真假判断、概率计算、圆的性质
【点评】
本题将命题真假判定与概率计算相结合，考察了圆、等腰三角形的相关性质及概率的基本应用，属于基础题型，需要学生准确掌握几何性质并能灵活运用概率公式，整体难度不大。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，需分两步：第一步，先判断四张卡片上四个命题的真假；第二步，利用概率公式计算取出真命题卡片的概率。首先逐个分析每个命题的正确性，确定真命题的数量，再结合总卡片数，根据“概率=真命题卡片数÷总卡片数”计算结果。
【解析】
逐个判断四个命题的真假：
1. 命题①：半圆所对的弦是直径，这是圆的基本性质，属于真命题；
2. 命题②：圆内接四边形的对角互补，是圆内接四边形的重要性质定理，属于真命题；
3. 命题③：弦的垂线一定经过这条弦所在圆的圆心，错误，应为弦的垂直平分线经过圆心，任意一条垂线不一定经过圆心，属于假命题；
4. 命题④：等腰三角形的外心一定在底边的垂直平分线上，外心是三角形三边垂直平分线的交点，等腰三角形底边的垂直平分线是其对称轴，故外心必在该线上，属于真命题；
综上，真命题共3个，总卡片数为4，因此取出卡片上的命题是真命题的概率为$\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
命题真假判断、概率计算、圆的性质
【点评】
本题将命题真假判定与概率计算相结合，考察了圆、等腰三角形的相关性质及概率的基本应用，属于基础题型，需要学生准确掌握几何性质并能灵活运用概率公式，整体难度不大。
【难度系数】
0.7
11. (2024·潍坊中考)小莹在做手抄报时,用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔,这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致.完成手抄报后,她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上,每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是
$\dfrac{1}{3}$
.答案
解析:由题意可得,共有6种结果:红红,黄黄,蓝蓝;红红,蓝黄,黄蓝;黄红,红黄,蓝蓝;黄红,蓝黄,红蓝;蓝红,红黄,黄蓝;蓝红,黄黄,红蓝,其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有2种结果,
∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需按等可能事件的概率计算思路分析：首先确定随机盖笔帽的所有等可能情况总数，再找出“每个笔帽和笔芯颜色都不匹配”的符合条件的情况数，最后根据概率公式计算结果。
【解析】
设三支彩笔及对应笔帽的颜色分别为红（R）、黄（Y）、蓝（B），随机盖笔帽的所有等可能结果为：
① (R,R),(Y,Y),(B,B)；② (R,R),(Y,B),(B,Y)；③ (Y,R),(R,Y),(B,B)；④ (Y,R),(R,B),(B,Y)；⑤ (B,R),(R,Y),(Y,B)；⑥ (B,R),(R,B),(Y,Y)，共6种。
其中“每个笔帽和笔芯颜色都不匹配”的结果是④、⑤，共2种。
根据概率公式，所求概率为：$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率计算、排列组合
【点评】
本题考查等可能事件的概率计算，通过列举法直观呈现所有情况，是基础概率的典型应用，学生易通过列举得出结果。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需按等可能事件的概率计算思路分析：首先确定随机盖笔帽的所有等可能情况总数，再找出“每个笔帽和笔芯颜色都不匹配”的符合条件的情况数，最后根据概率公式计算结果。
【解析】
设三支彩笔及对应笔帽的颜色分别为红（R）、黄（Y）、蓝（B），随机盖笔帽的所有等可能结果为：
① (R,R),(Y,Y),(B,B)；② (R,R),(Y,B),(B,Y)；③ (Y,R),(R,Y),(B,B)；④ (Y,R),(R,B),(B,Y)；⑤ (B,R),(R,Y),(Y,B)；⑥ (B,R),(R,B),(Y,Y)，共6种。
其中“每个笔帽和笔芯颜色都不匹配”的结果是④、⑤，共2种。
根据概率公式，所求概率为：$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率计算、排列组合
【点评】
本题考查等可能事件的概率计算，通过列举法直观呈现所有情况，是基础概率的典型应用，学生易通过列举得出结果。
【难度系数】
0.5
12. 围棋盒中有 $x$ 颗白色棋子, $y$ 颗黑色棋子, 从盒中随机地取出一颗棋子,它是白色棋子的概率是$\dfrac{5}{8}$.
(1) 试写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；
(2) 将第一次取出的棋子放回盒中,再往盒中放入6颗白色棋子,若第二次随机取出一颗白色棋子的概率为$\dfrac{2}{3}$,求 $x$ 和 $y$ 的值.
(1) 试写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；
(2) 将第一次取出的棋子放回盒中,再往盒中放入6颗白色棋子,若第二次随机取出一颗白色棋子的概率为$\dfrac{2}{3}$,求 $x$ 和 $y$ 的值.
答案
(1)
∵随机地取出一颗棋子,它是白色棋子的概率是$\frac{5}{8}$,
∴随机取出一颗棋子,它是黑色棋子的概率是$\frac{3}{8}$,
∴黑色棋子与白色棋子数量之比为$\frac{3}{5}$,
∴$y=\frac{3}{5}x$.
(2)由题意得,$\frac{x+6}{\frac{3}{5}x+x+6}=\frac{2}{3}$,解得$x=30$,经检验,$x=30$是原方程的解,
∴$x=30$,$y=\frac{3}{5}×30=18$.
∵随机地取出一颗棋子,它是白色棋子的概率是$\frac{5}{8}$,
∴随机取出一颗棋子,它是黑色棋子的概率是$\frac{3}{8}$,
∴黑色棋子与白色棋子数量之比为$\frac{3}{5}$,
∴$y=\frac{3}{5}x$.
(2)由题意得,$\frac{x+6}{\frac{3}{5}x+x+6}=\frac{2}{3}$,解得$x=30$,经检验,$x=30$是原方程的解,
∴$x=30$,$y=\frac{3}{5}×30=18$.
解析
【分析】
要解决本题，需利用概率公式建立数量关系：第(1)问根据白色棋子的概率公式，列出x与y的等式，整理得到y与x的函数关系式；第(2)问加入6颗白色棋子后，重新确定白色棋子数和总棋子数，结合新的概率列出分式方程，求解并检验后得到x、y的值。
【解析】
(1) 根据概率公式，取出白色棋子的概率为白色棋子数与总棋子数的比值，即：
$\frac{x}{x+y} = \frac{5}{8}$，
交叉相乘得：$8x = 5(x+y)$，
整理得：$8x =5x +5y$ → $3x=5y$ → $y=\frac{3}{5}x$；
(2) 加入6颗白色棋子后，白色棋子数为$x+6$，总棋子数为$x+y+6$，此时取出白色棋子的概率为$\frac{2}{3}$，将$y=\frac{3}{5}x$代入得：
$\frac{x+6}{x + \frac{3}{5}x +6} = \frac{2}{3}$，
化简分母得$\frac{8}{5}x +6$，方程变为：
$\frac{x+6}{\frac{8x +30}{5}} = \frac{2}{3}$ → $\frac{5(x+6)}{8x +30} = \frac{2}{3}$，
交叉相乘得：$15(x+6)=2(8x+30)$，
展开计算：$15x +90 =16x +60$，
移项解得：$x=30$，
经检验，$x=30$是原方程的解，
则$y=\frac{3}{5}×30=18$；
【答案】(1)$y=\frac{3}{5}x$；(2)$x=30$，$y=18$
【知识点】概率公式、分式方程的应用、一次函数关系式
【点评】本题结合概率、分式方程与函数知识，属于基础应用题，重点考查概率公式的运用和分式方程的求解，需注意解分式方程后要检验解的合理性，整体难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】0.6
要解决本题，需利用概率公式建立数量关系：第(1)问根据白色棋子的概率公式，列出x与y的等式，整理得到y与x的函数关系式；第(2)问加入6颗白色棋子后，重新确定白色棋子数和总棋子数，结合新的概率列出分式方程，求解并检验后得到x、y的值。
【解析】
(1) 根据概率公式，取出白色棋子的概率为白色棋子数与总棋子数的比值，即：
$\frac{x}{x+y} = \frac{5}{8}$，
交叉相乘得：$8x = 5(x+y)$，
整理得：$8x =5x +5y$ → $3x=5y$ → $y=\frac{3}{5}x$；
(2) 加入6颗白色棋子后，白色棋子数为$x+6$，总棋子数为$x+y+6$，此时取出白色棋子的概率为$\frac{2}{3}$，将$y=\frac{3}{5}x$代入得：
$\frac{x+6}{x + \frac{3}{5}x +6} = \frac{2}{3}$，
化简分母得$\frac{8}{5}x +6$，方程变为：
$\frac{x+6}{\frac{8x +30}{5}} = \frac{2}{3}$ → $\frac{5(x+6)}{8x +30} = \frac{2}{3}$，
交叉相乘得：$15(x+6)=2(8x+30)$，
展开计算：$15x +90 =16x +60$，
移项解得：$x=30$，
经检验，$x=30$是原方程的解，
则$y=\frac{3}{5}×30=18$；
【答案】(1)$y=\frac{3}{5}x$；(2)$x=30$，$y=18$
【知识点】概率公式、分式方程的应用、一次函数关系式
【点评】本题结合概率、分式方程与函数知识，属于基础应用题，重点考查概率公式的运用和分式方程的求解，需注意解分式方程后要检验解的合理性，整体难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】0.6
13. 改编题 某风景区内的公路如图①所示,景区内有免费的班车,从入口处出发,沿该公路开往草甸,途中停靠塔林(上、下车时间忽略不计),第一辆班车上午8点发车,以后每隔10分钟有一班车从入口处发车,小聪周末到该风景区游玩,上午7:40到达入口处,因还没到班车发车时间,于是从景区入口处出发,沿该公路步行25分钟后到达塔林,离入口处的路程y(米)与时间x(分钟)的函数关系如图②所示.
(1)求第一辆班车从入口处到达塔林所需的时间.
(2)小聪在塔林游玩40分钟后来到塔林车站,准备坐等到的第一辆班车到草甸,若每一辆班车速度均相同,则小聪能在上午8:55之前到达草甸的概率是多少?
(3)若小聪在上午8:30至8:50之间到达塔林车站乘坐班车,且到达塔林车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过3分钟的概率是多少?
(1)求第一辆班车从入口处到达塔林所需的时间.
(2)小聪在塔林游玩40分钟后来到塔林车站,准备坐等到的第一辆班车到草甸,若每一辆班车速度均相同,则小聪能在上午8:55之前到达草甸的概率是多少?
(3)若小聪在上午8:30至8:50之间到达塔林车站乘坐班车,且到达塔林车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过3分钟的概率是多少?
答案
(1)班车的速度为$2700÷(38-20)=150$(米/分),
∴第一辆班车从入口处到达塔林所需时间为$1500÷150=10$(分钟).
(2)由题意可得小聪在上午8:45到达塔林车站,
∴第一辆班车在上午8:10到达塔林,
∴以此类推,8:50有班车到达塔林.
∵班车从塔林到草甸用时$1200÷150=8$(分钟),
∴小聪最早能在上午8:58到达草甸,故在上午8:55之前到达草甸的概率是0.
(3)由题意可知当小聪在上午8:37至8:40,或8:47至8:50到达塔林车站时,共计6分钟,他的等车时间不超过3分钟.又小聪在上午8:30至8:50之间到达塔林车站乘坐班车,共计20分钟,故他等车时间不超过3分钟的概率为$\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$.
∴第一辆班车从入口处到达塔林所需时间为$1500÷150=10$(分钟).
(2)由题意可得小聪在上午8:45到达塔林车站,
∴第一辆班车在上午8:10到达塔林,
∴以此类推,8:50有班车到达塔林.
∵班车从塔林到草甸用时$1200÷150=8$(分钟),
∴小聪最早能在上午8:58到达草甸,故在上午8:55之前到达草甸的概率是0.
(3)由题意可知当小聪在上午8:37至8:40,或8:47至8:50到达塔林车站时,共计6分钟,他的等车时间不超过3分钟.又小聪在上午8:30至8:50之间到达塔林车站乘坐班车,共计20分钟,故他等车时间不超过3分钟的概率为$\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$.
解析
【分析】
解决本题需结合图像提取行程相关信息，利用行程公式（速度=路程÷时间）计算，再根据概率公式（符合条件的时间长度÷总时间长度）求解。第(1)问先求班车速度，再算第一辆班车到塔林的时间；第(2)问先确定小聪到达塔林车站的时间，再判断他乘坐班车到达草甸的时间，进而求概率；第(3)问先确定小聪到达的总时间范围，再找出等车时间不超过3分钟的时间范围，计算概率。
【解析】
(1) 由图②可知，第一辆班车从入口到草甸的路程为2700米，行驶时间为38-20=18分钟，因此班车速度为：$2700÷18=150$（米/分）。
塔林距入口1500米，第一辆班车从入口到塔林所需时间为：$1500÷150=10$（分钟）。
(2) 小聪7:40到达入口，步行25分钟到塔林，到达塔林的时间为$7时40分+25分=8时05分$；游玩40分钟后到达塔林车站，时间为$8时05分+40分=8时45分$。
班车每隔10分钟发一班，第一辆班车8点发车，到达塔林的时间为$8时+10分=8时10分$，后续班车到达塔林的时间依次为8时20分、8时30分、8时40分、8时50分……
小聪8时45分到达塔林车站，最早乘坐8时50分的班车。班车从塔林到草甸需$1200÷150=8$分钟，到达草甸的时间为$8时50分+8分=8时58分$，超过8:55，故概率为0。
(3) 小聪在8:30至8:50之间到达塔林车站，总时间长度为$50-30=20$分钟。
班车到达塔林的时间为8时30分、8时40分、8时50分……等车时间不超过3分钟的情况：
乘坐8时40分班车，到达时间在8时37分至8时40分，时长3分钟；
乘坐8时50分班车，到达时间在8时47分至8时50分，时长3分钟；
符合条件的总时长为$3+3=6$分钟，概率为$6÷20=\frac{3}{10}$。
【答案】
(1) 10分钟；(2) 0；(3) $\frac{3}{10}$
【知识点】
一次函数应用、行程问题、概率计算
【点评】
本题结合行程与概率知识，需从图像中提取时间、路程信息，理清各时间节点的对应关系，准确运用公式计算，综合性较强，关键是找准小聪和班车的时间线。
【难度系数】
0.4
解决本题需结合图像提取行程相关信息，利用行程公式（速度=路程÷时间）计算，再根据概率公式（符合条件的时间长度÷总时间长度）求解。第(1)问先求班车速度，再算第一辆班车到塔林的时间；第(2)问先确定小聪到达塔林车站的时间，再判断他乘坐班车到达草甸的时间，进而求概率；第(3)问先确定小聪到达的总时间范围，再找出等车时间不超过3分钟的时间范围，计算概率。
【解析】
(1) 由图②可知，第一辆班车从入口到草甸的路程为2700米，行驶时间为38-20=18分钟，因此班车速度为：$2700÷18=150$（米/分）。
塔林距入口1500米，第一辆班车从入口到塔林所需时间为：$1500÷150=10$（分钟）。
(2) 小聪7:40到达入口，步行25分钟到塔林，到达塔林的时间为$7时40分+25分=8时05分$；游玩40分钟后到达塔林车站，时间为$8时05分+40分=8时45分$。
班车每隔10分钟发一班，第一辆班车8点发车，到达塔林的时间为$8时+10分=8时10分$，后续班车到达塔林的时间依次为8时20分、8时30分、8时40分、8时50分……
小聪8时45分到达塔林车站，最早乘坐8时50分的班车。班车从塔林到草甸需$1200÷150=8$分钟，到达草甸的时间为$8时50分+8分=8时58分$，超过8:55，故概率为0。
(3) 小聪在8:30至8:50之间到达塔林车站，总时间长度为$50-30=20$分钟。
班车到达塔林的时间为8时30分、8时40分、8时50分……等车时间不超过3分钟的情况：
乘坐8时40分班车，到达时间在8时37分至8时40分，时长3分钟；
乘坐8时50分班车，到达时间在8时47分至8时50分，时长3分钟；
符合条件的总时长为$3+3=6$分钟，概率为$6÷20=\frac{3}{10}$。
【答案】
(1) 10分钟；(2) 0；(3) $\frac{3}{10}$
【知识点】
一次函数应用、行程问题、概率计算
【点评】
本题结合行程与概率知识，需从图像中提取时间、路程信息，理清各时间节点的对应关系，准确运用公式计算，综合性较强，关键是找准小聪和班车的时间线。
【难度系数】
0.4
