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到底要多少钱
王建盼望已久的假期终于来到了. 他和同学约定去郊外游玩, 需要一笔钱. 不过这次, 他没有直接告诉爸爸自己要多少钱, 而是卖起了关子.
“爸, 我把我所需要的钱的数目写在一张纸上了, 纸上的每个字母代表一个数字, 不同的字母代表不同的数字. 你能猜出我到底需要多少钱吗?”
接到儿子的挑战, 王建爸爸当然不服, 不过看了儿子递过来的字条, 他还是皱起了眉头开始思索. 王建的字条是这样写的:
爸爸经过认真思索和各种假设之后, 终于算出了答案. 当他把答案递给王建之后, 王建只能向聪明的老爸服输. 你知道王建需要多少钱吗?
王建盼望已久的假期终于来到了. 他和同学约定去郊外游玩, 需要一笔钱. 不过这次, 他没有直接告诉爸爸自己要多少钱, 而是卖起了关子.
“爸, 我把我所需要的钱的数目写在一张纸上了, 纸上的每个字母代表一个数字, 不同的字母代表不同的数字. 你能猜出我到底需要多少钱吗?”
接到儿子的挑战, 王建爸爸当然不服, 不过看了儿子递过来的字条, 他还是皱起了眉头开始思索. 王建的字条是这样写的:
爸爸经过认真思索和各种假设之后, 终于算出了答案. 当他把答案递给王建之后, 王建只能向聪明的老爸服输. 你知道王建需要多少钱吗?
答案
解：
由竖式可得等式：
$(100A + 10B + C) × C = 100D + 10B + C$
1. 分析个位特征：$C × C$ 的个位数字等于 $C$，满足条件的数字仅为0、1、5、6。
若 $C=0$，乘积为0，不可能是三位数 $DBC$，排除；
若 $C=1$，则 $ABC × 1 = ABC = DBC$，可得 $A=D$，与“不同字母代表不同数字”矛盾，排除。
2. 代入 $C=5$ 整理等式：
$$(100A + 10B + 5) × 5 = 100D + 10B + 5$ 化简得：$25A + 2B + 1 = 5D$。 由于乘积是三位数，因此 $5A ＜ 10$，正整数 $A$ 只能取1。 将 $A=1$ 代入得：$2B + 26 = 5D$，可得两组符合条件的解：$D=6$，$B=2$，对应 $ABC=125$，验证：$125 × 5 = 625$，所有字母对应数字互不相同，成立；$D=8$，$B=7$，对应 $ABC=175$，验证：$175 × 5 = 875$，所有字母对应数字互不相同，成立。3. 代入 $C=6$ 整理等式： $$(100A + 10B + 6) × 6 = 100D + 10B + 6$
化简得：$60A + 5B + 3 = 10D$，等式左边个位只能是3或8，右边是10的倍数个位为0，矛盾，无符合条件的解。
答：王建需要的钱数为125元（或175元，均满足条件，标准解为125元）。
由竖式可得等式：
$(100A + 10B + C) × C = 100D + 10B + C$
1. 分析个位特征：$C × C$ 的个位数字等于 $C$，满足条件的数字仅为0、1、5、6。
若 $C=0$，乘积为0，不可能是三位数 $DBC$，排除；
若 $C=1$，则 $ABC × 1 = ABC = DBC$，可得 $A=D$，与“不同字母代表不同数字”矛盾，排除。
2. 代入 $C=5$ 整理等式：
$$(100A + 10B + 5) × 5 = 100D + 10B + 5$ 化简得：$25A + 2B + 1 = 5D$。 由于乘积是三位数，因此 $5A ＜ 10$，正整数 $A$ 只能取1。 将 $A=1$ 代入得：$2B + 26 = 5D$，可得两组符合条件的解：$D=6$，$B=2$，对应 $ABC=125$，验证：$125 × 5 = 625$，所有字母对应数字互不相同，成立；$D=8$，$B=7$，对应 $ABC=175$，验证：$175 × 5 = 875$，所有字母对应数字互不相同，成立。3. 代入 $C=6$ 整理等式： $$(100A + 10B + 6) × 6 = 100D + 10B + 6$
化简得：$60A + 5B + 3 = 10D$，等式左边个位只能是3或8，右边是10的倍数个位为0，矛盾，无符合条件的解。
答：王建需要的钱数为125元（或175元，均满足条件，标准解为125元）。
解析
【分析】
这是一道乘法竖式数字谜题，解题时先将竖式转化为代数等式，优先从个位的特殊运算规律入手，先确定乘数C的可能取值，再结合“乘积是三位数、不同字母代表不同数字”的约束条件，对C的可能值逐一排除、分类讨论，最终验证得到符合要求的数字即可。
【解析】
首先根据竖式写出对应等式：$(100A + 10B + C) × C = 100D + 10B + C$，其中A、B、C、D均为0~9的整数，且$A≠0$、$D≠0$，不同字母代表不同数字。
1. 分析个位运算特征：$C× C$的个位数字仍为C，满足该条件的数字只有0、1、5、6：
若$C=0$，则乘积为0，不可能是三位数DBC，排除；
若$C=1$，则$ABC × 1 = ABC = DBC$，可得$A=D$，与不同字母代表不同数字矛盾，排除。
2. 代入$C=5$计算：
将$C=5$代入等式得：$(100A + 10B + 5) × 5 = 100D + 10B + 5$
化简整理得：$25A + 2B + 1 = 5D$。
因为乘积是三位数，所以$100A × 5 ＜ 1000$，即$A＜2$，A是正整数，因此A只能取1。
将$A=1$代入得：$2B +26 =5D$，结合数字范围验证：
当$B=2$时，$2×2+26=30=5D$，得$D=6$，对应$ABC=125$，验证$125×5=625$，所有字母数字互不相同，符合要求；
当$B=7$时，$2×7+26=40=5D$，得$D=8$，对应$ABC=175$，验证$175×5=875$，所有字母数字互不相同，也符合要求。
3. 代入$C=6$计算：
将$C=6$代入等式得：$(100A + 10B + 6) × 6 = 100D + 10B +6$
化简整理得：$60A +5B +3 =10D$。
等式右边是10的倍数，个位为0；等式左边$60A$个位为0，$5B$个位只能是0或5，因此左边个位只能是3或8，不可能等于0，矛盾，无符合条件的解。
综上，符合条件的钱数为125元或175元，标准解为125元。
【答案】
125元（或175元，标准解为125元）
【知识点】
数字谜推理、整数乘法性质、代数式化简
【点评】
本题属于趣味逻辑运算题，解题的关键是从个位的特殊运算规律切入，结合分类讨论、排除法逐步缩小取值范围，既考查了整数乘法的计算能力，也锻炼了严谨的逻辑推理能力，解题时需注意“不同字母代表不同数字”的隐含条件，避免错解。
【难度系数】
0.6
这是一道乘法竖式数字谜题，解题时先将竖式转化为代数等式，优先从个位的特殊运算规律入手，先确定乘数C的可能取值，再结合“乘积是三位数、不同字母代表不同数字”的约束条件，对C的可能值逐一排除、分类讨论，最终验证得到符合要求的数字即可。
【解析】
首先根据竖式写出对应等式：$(100A + 10B + C) × C = 100D + 10B + C$，其中A、B、C、D均为0~9的整数，且$A≠0$、$D≠0$，不同字母代表不同数字。
1. 分析个位运算特征：$C× C$的个位数字仍为C，满足该条件的数字只有0、1、5、6：
若$C=0$，则乘积为0，不可能是三位数DBC，排除；
若$C=1$，则$ABC × 1 = ABC = DBC$，可得$A=D$，与不同字母代表不同数字矛盾，排除。
2. 代入$C=5$计算：
将$C=5$代入等式得：$(100A + 10B + 5) × 5 = 100D + 10B + 5$
化简整理得：$25A + 2B + 1 = 5D$。
因为乘积是三位数，所以$100A × 5 ＜ 1000$，即$A＜2$，A是正整数，因此A只能取1。
将$A=1$代入得：$2B +26 =5D$，结合数字范围验证：
当$B=2$时，$2×2+26=30=5D$，得$D=6$，对应$ABC=125$，验证$125×5=625$，所有字母数字互不相同，符合要求；
当$B=7$时，$2×7+26=40=5D$，得$D=8$，对应$ABC=175$，验证$175×5=875$，所有字母数字互不相同，也符合要求。
3. 代入$C=6$计算：
将$C=6$代入等式得：$(100A + 10B + 6) × 6 = 100D + 10B +6$
化简整理得：$60A +5B +3 =10D$。
等式右边是10的倍数，个位为0；等式左边$60A$个位为0，$5B$个位只能是0或5，因此左边个位只能是3或8，不可能等于0，矛盾，无符合条件的解。
综上，符合条件的钱数为125元或175元，标准解为125元。
【答案】
125元（或175元，标准解为125元）
【知识点】
数字谜推理、整数乘法性质、代数式化简
【点评】
本题属于趣味逻辑运算题，解题的关键是从个位的特殊运算规律切入，结合分类讨论、排除法逐步缩小取值范围，既考查了整数乘法的计算能力，也锻炼了严谨的逻辑推理能力，解题时需注意“不同字母代表不同数字”的隐含条件，避免错解。
【难度系数】
0.6
分摊车费
星期天，丽丽和爸爸、妈妈到爷爷、奶奶家做客.吃完奶奶煮的美味佳肴，爷爷决定出道题考考丽丽.
题目是这样的：两名乘客想乘同一辆出租车.第一名乘客只走8里路就要下车，而第二名乘客要再走8里路才能下车.车费一共是24元钱.第一名乘客说他要给6元，其余的由第二名乘客来分担.而第二名乘客说他只给16元，其余的由第一名乘客支付.他们在那里争执不休.出租车司机觉得两名乘客说的都有道理.
你知道他们是怎么计算的吗？谁的计算正确呢？
星期天，丽丽和爸爸、妈妈到爷爷、奶奶家做客.吃完奶奶煮的美味佳肴，爷爷决定出道题考考丽丽.
题目是这样的：两名乘客想乘同一辆出租车.第一名乘客只走8里路就要下车，而第二名乘客要再走8里路才能下车.车费一共是24元钱.第一名乘客说他要给6元，其余的由第二名乘客来分担.而第二名乘客说他只给16元，其余的由第一名乘客支付.他们在那里争执不休.出租车司机觉得两名乘客说的都有道理.
你知道他们是怎么计算的吗？谁的计算正确呢？
答案
解：
第一名乘客的计算逻辑：
出租车全程共行驶 $8+8=16$ 里，平均每里车费为 $24÷16=1.5$ 元。
前8里路段两名乘客同乘，该段总车费为 $1.5×8=12$ 元，由两人平摊，每人支付 $12÷2=6$ 元；
后8里路段仅有第二名乘客乘坐，该段总车费为 $1.5×8=12$ 元，全部由第二名乘客支付。
最终第一名乘客付6元，第二名乘客付 $6+12=18$ 元，符合第一名的说法。
第二名乘客的计算逻辑：
两名乘客的乘车里程比为 $8:(8+8)=1:2$，总车费按该比例分摊：
第一名乘客应付车费：$24×\frac{1}{1+2}=8$ 元，
第二名乘客应付车费：$24×\frac{2}{1+2}=16$ 元，符合第二名的说法。
出租车车费按行驶里程计费，和载客人数无关，前8里的车费是车辆行驶该段路程的成本，应由同乘的两人共同承担，后8里的车费仅由单独乘车的第二名乘客承担，因此第一名乘客的计算是正确的。
答：第一名按路段分摊车费的算法符合出租车实际计费规则，是正确的，第二名按个人乘车里程数的比例直接分摊总车费的算法不合理。
第一名乘客的计算逻辑：
出租车全程共行驶 $8+8=16$ 里，平均每里车费为 $24÷16=1.5$ 元。
前8里路段两名乘客同乘，该段总车费为 $1.5×8=12$ 元，由两人平摊，每人支付 $12÷2=6$ 元；
后8里路段仅有第二名乘客乘坐，该段总车费为 $1.5×8=12$ 元，全部由第二名乘客支付。
最终第一名乘客付6元，第二名乘客付 $6+12=18$ 元，符合第一名的说法。
第二名乘客的计算逻辑：
两名乘客的乘车里程比为 $8:(8+8)=1:2$，总车费按该比例分摊：
第一名乘客应付车费：$24×\frac{1}{1+2}=8$ 元，
第二名乘客应付车费：$24×\frac{2}{1+2}=16$ 元，符合第二名的说法。
出租车车费按行驶里程计费，和载客人数无关，前8里的车费是车辆行驶该段路程的成本，应由同乘的两人共同承担，后8里的车费仅由单独乘车的第二名乘客承担，因此第一名乘客的计算是正确的。
答：第一名按路段分摊车费的算法符合出租车实际计费规则，是正确的，第二名按个人乘车里程数的比例直接分摊总车费的算法不合理。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需分别梳理两名乘客的计算逻辑，再结合出租车实际计费规则判断合理性。第一步先拆解第一名乘客的思路：他将路程分为两段，前8里两人共同乘坐，共同承担该段车费，后8里仅第二名乘坐，由其独自承担，再分别计算两人应付费用；第二步拆解第二名乘客的思路：他按两人各自乘车总里程的比例分摊总车费；第三步结合出租车按行驶里程计费、与载客人数无关的规则，判断同乘路段车费应由两人共担，单独乘坐路段车费由个人承担，即可得出正确结论。
【解析】
1. 第一名乘客的计算逻辑：
出租车全程共行驶 $8+8=16$ 里，平均每里车费为 $24÷16=1.5$ 元。
前8里路段两名乘客同乘，该段总车费为 $1.5×8=12$ 元，由两人平摊，每人支付 $12÷2=6$ 元；
后8里路段仅有第二名乘客乘坐，该段总车费为 $1.5×8=12$ 元，全部由第二名乘客支付。
最终第一名乘客付6元，第二名乘客付 $6+12=18$ 元，符合第一名的说法。
2. 第二名乘客的计算逻辑：
两名乘客的乘车里程比为 $8:(8+8)=1:2$，总车费按该比例分摊：
总份数为 $1+2=3$，第一名乘客应付车费：$24×\frac{1}{1+2}=8$ 元，
第二名乘客应付车费：$24×\frac{2}{1+2}=16$ 元，符合第二名的说法。
3. 合理性判断：出租车车费按行驶里程计费，和载客人数无关，前8里的车费是车辆行驶该段路程的成本，应由同乘的两人共同承担，后8里的车费仅由单独乘车的第二名乘客承担，因此第一名乘客的计算是正确的。
【答案】
第一名按路段分摊车费的算法符合出租车实际计费规则，是正确的，第二名按个人乘车里程数的比例直接分摊总车费的算法不合理。第一名乘客应付6元，第二名乘客应付18元。
【知识点】
分段计费，按比例分配，费用分摊
【点评】
这道题是生活场景中的数学应用，需要结合实际规则选择合理的计算方式，打破纯理论计算的固定思维，能够有效提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需分别梳理两名乘客的计算逻辑，再结合出租车实际计费规则判断合理性。第一步先拆解第一名乘客的思路：他将路程分为两段，前8里两人共同乘坐，共同承担该段车费，后8里仅第二名乘坐，由其独自承担，再分别计算两人应付费用；第二步拆解第二名乘客的思路：他按两人各自乘车总里程的比例分摊总车费；第三步结合出租车按行驶里程计费、与载客人数无关的规则，判断同乘路段车费应由两人共担，单独乘坐路段车费由个人承担，即可得出正确结论。
【解析】
1. 第一名乘客的计算逻辑：
出租车全程共行驶 $8+8=16$ 里，平均每里车费为 $24÷16=1.5$ 元。
前8里路段两名乘客同乘，该段总车费为 $1.5×8=12$ 元，由两人平摊，每人支付 $12÷2=6$ 元；
后8里路段仅有第二名乘客乘坐，该段总车费为 $1.5×8=12$ 元，全部由第二名乘客支付。
最终第一名乘客付6元，第二名乘客付 $6+12=18$ 元，符合第一名的说法。
2. 第二名乘客的计算逻辑：
两名乘客的乘车里程比为 $8:(8+8)=1:2$，总车费按该比例分摊：
总份数为 $1+2=3$，第一名乘客应付车费：$24×\frac{1}{1+2}=8$ 元，
第二名乘客应付车费：$24×\frac{2}{1+2}=16$ 元，符合第二名的说法。
3. 合理性判断：出租车车费按行驶里程计费，和载客人数无关，前8里的车费是车辆行驶该段路程的成本，应由同乘的两人共同承担，后8里的车费仅由单独乘车的第二名乘客承担，因此第一名乘客的计算是正确的。
【答案】
第一名按路段分摊车费的算法符合出租车实际计费规则，是正确的，第二名按个人乘车里程数的比例直接分摊总车费的算法不合理。第一名乘客应付6元，第二名乘客应付18元。
【知识点】
分段计费，按比例分配，费用分摊
【点评】
这道题是生活场景中的数学应用，需要结合实际规则选择合理的计算方式，打破纯理论计算的固定思维，能够有效提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
