登录
9. 已知$a^{m}=2$，$a^{n}=3$，求$-(a^{3})^{m}+(a^{2})^{n}$的值。
答案
9. 解：原式 $ = -a^{3m} + a^{2n} $
$ = - (a^{m})^{3} + (a^{n})^{2} $
$ = -2^{3} + 3^{2} $
$ = -8 + 9 $
$ = 1 $。
$ = - (a^{m})^{3} + (a^{n})^{2} $
$ = -2^{3} + 3^{2} $
$ = -8 + 9 $
$ = 1 $。
解析
【分析】要解决这道题，需先利用幂的乘方运算法则对原式化简，将式子转化为可直接代入已知条件的形式，再通过整体代入法代入a^m和a^n的值计算结果。
【解析】原式 = - (a³)^m + (a²)^n
根据幂的乘方法则：(a^k)^l = a^(kl)，可得：
= -a^(3m) + a^(2n)
再逆用幂的乘方公式a^(kl)=(a^k)^l，将式子变形为：
= - (a^m)³ + (a^n)²
已知a^m=2，a^n=3，代入得：
= -2³ + 3²
= -8 + 9
= 1
【答案】1
【知识点】幂的乘方运算、整体代入法
【点评】本题考查幂的乘方运算法则的应用，核心是逆用幂的乘方公式变形，结合整体代入思想简化计算，属于整式运算的基础题型，侧重考察学生对基本运算公式的掌握程度。
【难度系数】0.6
【解析】原式 = - (a³)^m + (a²)^n
根据幂的乘方法则：(a^k)^l = a^(kl)，可得：
= -a^(3m) + a^(2n)
再逆用幂的乘方公式a^(kl)=(a^k)^l，将式子变形为：
= - (a^m)³ + (a^n)²
已知a^m=2，a^n=3，代入得：
= -2³ + 3²
= -8 + 9
= 1
【答案】1
【知识点】幂的乘方运算、整体代入法
【点评】本题考查幂的乘方运算法则的应用，核心是逆用幂的乘方公式变形，结合整体代入思想简化计算，属于整式运算的基础题型，侧重考察学生对基本运算公式的掌握程度。
【难度系数】0.6
10. 比较$3^{555}$，$4^{444}$，$5^{333}$的大小。
答案
10. 解：根据题意，得
$ 3^{555} = (3^{5})^{111} = 243^{111} $，$ 4^{444} = (4^{4})^{111} = 256^{111} $，
$ 5^{333} = (5^{3})^{111} = 125^{111} $。
因为 $ 125 ＜ 243 ＜ 256 $，即 $ 5^{3} ＜ 3^{5} ＜ 4^{4} $，
所以 $ 5^{333} ＜ 3^{555} ＜ 4^{444} $。
$ 3^{555} = (3^{5})^{111} = 243^{111} $，$ 4^{444} = (4^{4})^{111} = 256^{111} $，
$ 5^{333} = (5^{3})^{111} = 125^{111} $。
因为 $ 125 ＜ 243 ＜ 256 $，即 $ 5^{3} ＜ 3^{5} ＜ 4^{4} $，
所以 $ 5^{333} ＜ 3^{555} ＜ 4^{444} $。
解析
【分析】要比较底数、指数均不同的三个幂的大小，可利用幂的乘方的逆运算，将它们转化为指数相同的幂，此时只需比较底数的大小（指数相同的正整数幂，底数越大，幂的值越大）。观察三个指数555、444、333均为111的倍数，据此对三个幂进行变形，再比较底数即可。
【解析】解：根据幂的乘方的逆运算：
$3^{555} = (3^5)^{111} = 243^{111}$，
$4^{444} = (4^4)^{111} = 256^{111}$，
$5^{333} = (5^3)^{111} = 125^{111}$。
因为$125 ＜ 243 ＜ 256$，所以$125^{111} ＜ 243^{111} ＜ 256^{111}$，即$5^{333} ＜ 3^{555} ＜ 4^{444}$。
【答案】$5^{333} ＜ 3^{555} ＜ 4^{444}$
【知识点】幂的乘方、有理数大小比较
【点评】本题核心是逆用幂的乘方法则，将异指数幂转化为同指数幂，是比较幂大小的常用技巧，解题关键在于发现指数的公因数，简化比较过程，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】解：根据幂的乘方的逆运算：
$3^{555} = (3^5)^{111} = 243^{111}$，
$4^{444} = (4^4)^{111} = 256^{111}$，
$5^{333} = (5^3)^{111} = 125^{111}$。
因为$125 ＜ 243 ＜ 256$，所以$125^{111} ＜ 243^{111} ＜ 256^{111}$，即$5^{333} ＜ 3^{555} ＜ 4^{444}$。
【答案】$5^{333} ＜ 3^{555} ＜ 4^{444}$
【知识点】幂的乘方、有理数大小比较
【点评】本题核心是逆用幂的乘方法则，将异指数幂转化为同指数幂，是比较幂大小的常用技巧，解题关键在于发现指数的公因数，简化比较过程，属于基础题型。
【难度系数】0.6
积的乘方是指
底数
是乘积形式的乘方
，如$(ab)^3$，$(ab)^n$等。答案
知识点一 1. 底数 乘方
解析
【分析】
要解决这道题，需回忆积的乘方的数学定义：积的乘方是一类特殊的乘方形式，其底数是乘积形式，结合题目给出的例子$(ab)^3$、$(ab)^n$，对应定义的两个核心要素即可确定答案。
【解析】
根据积的乘方的定义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，题目中的例子$(ab)^3$、$(ab)^n$均符合该定义，因此两个空格依次填入“底数”和“乘方”。
【答案】
底数；乘方
【知识点】
积的乘方定义
【点评】
本题考查积的乘方的基础概念，属于概念识记类题目，只需牢记相关定义即可快速作答，难度较低。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，需回忆积的乘方的数学定义：积的乘方是一类特殊的乘方形式，其底数是乘积形式，结合题目给出的例子$(ab)^3$、$(ab)^n$，对应定义的两个核心要素即可确定答案。
【解析】
根据积的乘方的定义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，题目中的例子$(ab)^3$、$(ab)^n$均符合该定义，因此两个空格依次填入“底数”和“乘方”。
【答案】
底数；乘方
【知识点】
积的乘方定义
【点评】
本题考查积的乘方的基础概念，属于概念识记类题目，只需牢记相关定义即可快速作答，难度较低。
【难度系数】
0.9
$(ab)^n = $
积的乘方等于把积的
$a^{n}b^{n}$
（$n$是正整数
）。积的乘方等于把积的
每个因式
分别乘方，再把所得的幂相乘
。答案
2. $a^{n}b^{n}$ 正整数 每个因式 相乘
解析
$(ab)^n = a^{n}b^{n}$（$n$是正整数）。
积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
积的乘方法则可以逆用，即
$a^{n}b^{n}=(ab)^{n}$
($n$是正整数
)。答案
知识点二 $a^{n}b^{n}=(ab)^{n}$ 正整数
解析
【分析】本题考查积的乘方法则的逆用，需先回忆积的乘方的原法则：$(ab)^n = a^n b^n$（$n$为正整数），将等式左右两边互换即可得到逆用公式，同时明确$n$的取值范围与原法则一致，据此填写答案。
【解析】积的乘方法则为：$(ab)^n = a^n b^n$（$n$是正整数），逆用该法则可得：$a^n b^n=(ab)^n$，其中$n$的取值仍为正整数，这是幂运算中常用的逆用技巧。
【答案】$a^n b^n=(ab)^n$；正整数
【知识点】积的乘方法则、幂的运算逆用
【点评】本题属于基础概念题，考查积的乘方法则的逆用，只要牢记法则内容及指数的取值范围即可正确解答，难度较低，是幂运算的核心基础知识点之一。
【难度系数】0.8
【解析】积的乘方法则为：$(ab)^n = a^n b^n$（$n$是正整数），逆用该法则可得：$a^n b^n=(ab)^n$，其中$n$的取值仍为正整数，这是幂运算中常用的逆用技巧。
【答案】$a^n b^n=(ab)^n$；正整数
【知识点】积的乘方法则、幂的运算逆用
【点评】本题属于基础概念题，考查积的乘方法则的逆用，只要牢记法则内容及指数的取值范围即可正确解答，难度较低，是幂运算的核心基础知识点之一。
【难度系数】0.8
例 1 计算：$(3x^3)^2 + 8[(-x)^3]^2$。
答案
$(3x^3)^2 + 8[(-x)^3]^2$
$=3^2·(x^3)^2 + 8(-x)^{3×2}$
$=9x^6 + 8x^6$
$=17x^6$
$=3^2·(x^3)^2 + 8(-x)^{3×2}$
$=9x^6 + 8x^6$
$=17x^6$
解析
【分析】本题是整式的混合运算，需先利用幂的乘方与积的乘方运算法则化简各项，再合并同类项。具体思路：1. 对$(3x^3)^2$，根据积的乘方法则，将3和$x^3$分别平方，再结合幂的乘方法则计算$(x^3)^2$；2. 对$[(-x)^3]^2$，根据幂的乘方法则，底数不变、指数相乘，同时注意指数为偶数时负数的幂为正；3. 最后将化简后的两项合并同类项得到结果。
【解析】
$(3x^3)^2 + 8[(-x)^3]^2$
$=3^2·(x^3)^2 + 8(-x)^{3×2}$
$=9x^6 + 8x^6$
$=17x^6$
【答案】$17x^6$
【知识点】幂的乘方、积的乘方、合并同类项
【点评】本题属于整式运算的基础题型，主要考查幂的乘方、积的乘方的运算法则及同类项的合并，解题关键是正确运用相关运算法则化简各项，难度较低，适合巩固基础运算能力。
【难度系数】0.8
【解析】
$(3x^3)^2 + 8[(-x)^3]^2$
$=3^2·(x^3)^2 + 8(-x)^{3×2}$
$=9x^6 + 8x^6$
$=17x^6$
【答案】$17x^6$
【知识点】幂的乘方、积的乘方、合并同类项
【点评】本题属于整式运算的基础题型，主要考查幂的乘方、积的乘方的运算法则及同类项的合并，解题关键是正确运用相关运算法则化简各项，难度较低，适合巩固基础运算能力。
【难度系数】0.8
