8. （★★）（2025·陕西）如图，在 $ △ ABC $中， $ ∠ ACB=90°,∠ A=20°,CD $为AB边上的中线， $ DE\bot AC $，图中与 $ ∠ A $互余的角共有【 】

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

8. C

 9. （★★）如图，CD为 $ \mathrm{R t} △ A B C $斜边AB上的中线，E为AC的中点.若 $ AC=8, CD=5 $则 DE的长为 ______

9. 3

 10. （★★）如图，在 $ \mathrm{R t} △ A C B $中， $ ∠ A C B= 9 0° $ ，M为边AB的中点，点E在线段AM上， $ E F \bot A C $于点F，连接CM，CE.已知 $ ∠ A=5 0° $ $ ∠ A C E=3 0°. $
(1) 求证： $ C E=C M; $
(2) 若 AB=4，求线段 FC的长.

10.(1)$\because$ $∠ ACB=90°$,M为边AB的中点,
$\therefore$ $MC=MA=MB$.
$\therefore$ $∠ MCA=∠ A,∠ MCB=∠ B$.
$\because$ $∠ A=50°$,
$\therefore$ $∠ MCA=50°,∠ MCB=∠ B=40°$.
$\therefore$ $∠ EMC=∠ MCB+∠ B=80°$.
$\because$ $∠ ACE=30°$,
$\therefore$ $∠ MEC=∠ A+∠ ACE=80°$.
$\therefore$ $∠ MEC=∠ EMC$.
$\therefore$ $CE=CM$.
(2)$\because$ $AB=4$,
$\therefore$ $CE=CM=\frac{1}{2}AB=2$.
$\because$ $EF⊥ AC,∠ ACE=30°$,
$\therefore$ $FE=\frac{1}{2}CE=1$.
$\therefore$ $FC=\sqrt{CE^2-FE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.

 11. （★★）（2025·绥化）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为 $ 60° $ ，则这个矩形的面积是 【

A.25
B.$ 2 5 \sqrt{3} $
C.$ 2 5 \sqrt{5} $
D.$ 5 0 \sqrt{3} $

11. B

 12. （★★）如图，在矩形ABCD中，AB= $ \frac{1}{2} BC $ ，点F在BC边的延长线上，P是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AP，过点C作CG $ \bot $ AP，交AP的延长线于点E.
(1) 若 CG为 $ ∠ DCF $的平分线，请判断 BP与 CP的数量关系，并说明理由；
(2) 若 AB=3， $ △ A B P≌ △ C E P $ ，求 BP的长.

12.(1)$BP=CP$.理由如下:
$\because$ 四边形ABCD是矩形,
$\therefore$ $∠ DCB=∠ B=90°$.
$\therefore$ $∠ DCF=90°$.
$\because$ CG为$∠ DCF$的平分线,
$\therefore$ $∠ DCG=∠ FCG=45°$.
$\therefore$ $∠ PCE=45°$.
$\because$ $CG⊥ AP$,
$\therefore$ $∠ E=∠ B=90°$.
$\therefore$ $∠ CPE=45°=∠ APB$.
$\therefore$ $∠ BAP=90°-∠ APB=45°$.
$\therefore$ $∠ BAP=∠ APB=45°$.
$\therefore$ $AB=BP$.
$\because$ $AB=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore$ $BC=2AB$.
$\therefore$ $BP=CP$.
(2)$\because$ $△ ABP≌△ CEP$,
$\therefore$ $AP=CP$.
$\because$ $AB=3$,
$\therefore$ $BC=2AB=6$.
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABP$中,$AP^2=AB^2+BP^2$,
$\therefore$ $(6-BP)^2=9+BP^2$.
$\therefore$ $BP=\frac{9}{4}$.