19. 如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,$ A(5,3),B(3,1),C(1,2) $. 将三角形 $ ABC $ 向左平移5个单位长度,再向上平移3个单位长度,可以得到三角形 $ A_1B_1C_1 $,其中点 $ A_1,B_1,C_1 $ 分别与点 $ A,B,C $ 对应.
(1)画出平移后的三角形 $ A_1B_1C_1 $;
(2)求三角形 $ A_1B_1C_1 $ 的面积;
(3)若点 $ P $ 在 $ y $ 轴上,以 $ A_1,B_1,P $ 为顶点的三角形面积为 2,求点 $ P $ 的坐标.

19.解:(1)如图,三角形 $ A_1B_1C_1 $ 即为所求.
(2)三角形 $ A_1B_1C_1 $ 的面积为 $ 2×4-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×1×4=3 $.
(3)设点 $ P(0,m) $,则有 $\frac{1}{2}×|m-6|×2=2$. 解得 $ m=8 $ 或 $ m=4 $.
$\therefore P(0,8)$或$(0,4)$.

【分析】
(1) 解决平移画图问题，首先根据平移坐标变化规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，先计算出△ABC三个顶点平移后的对应点坐标，再依次描点、连线即可得到平移后的三角形；
(2) 平移不改变图形的面积，因此△A₁B₁C₁的面积和原△ABC面积相等，采用割补法，将三角形放入合适的矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，就能求出三角形的面积；
(3) 先确定A₁、B₁的坐标，点P在y轴上，横坐标为0，设P(0,m)，观察可知△A₁B₁P中，边A₁P在y轴上，长度为|m-6|，B₁到y轴的水平距离为三角形的高，长度是2，根据三角形面积公式列方程，解绝对值方程即可得到m的值，注意不要漏解。
【解析】
(1) 先计算平移后各点坐标：
点A(5,3)向左平移5个单位，横坐标变为$5-5=0$，向上平移3个单位，纵坐标变为$3+3=6$，得$A_1(0,6)$；
点B(3,1)向左平移5个单位，横坐标变为$3-5=-2$，向上平移3个单位，纵坐标变为$1+3=4$，得$B_1(-2,4)$；
点C(1,2)向左平移5个单位，横坐标变为$1-5=-4$，向上平移3个单位，纵坐标变为$2+3=5$，得$C_1(-4,5)$；
在坐标系中描出$A_1、B_1、C_1$三点，顺次连接，即得到△$A_1B_1C_1$。
(2) 用割补法计算面积：将△$A_1B_1C_1$放入长为4、宽为2的矩形中，
矩形面积$=2×4=8$，
周围三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×2×2=2$，$\frac{1}{2}×2×1=1$，$\frac{1}{2}×1×4=2$，
因此△$A_1B_1C_1$的面积$=8-2-1-2=3$。
(3) 设点P的坐标为$(0,m)$，$A_1$坐标为$(0,6)$，则$A_1P$的长度为$|m-6|$，
$B_1$坐标为$(-2,4)$，$B_1$到y轴的距离为2，即△$A_1B_1P$中$A_1P$边上的高为2，
根据三角形面积公式得：$\frac{1}{2}×|m-6|×2=2$，
化简得$|m-6|=2$，
解得$m=6+2=8$或$m=6-2=4$，
因此点P的坐标为$(0,8)$或$(0,4)$。
【答案】
(1) 如图,三角形 $ A_1B_1C_1 $ 即为所求.
(2) $\boxed{3}$
(3) $\boxed{(0,8)}$或$\boxed{(0,4)}$
【知识点】
1. 坐标平移规律
2. 割补法求面积
3. 三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系下的图形平移、面积求解和动点问题，解题的核心是熟练掌握平移的坐标变化规则，计算面积时灵活选用割补法简化运算，求解点坐标时要注意绝对值带来的多解情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

20.治理污水,保护环境.某市治污公司决定购买 A,B 两种型号污水处理设备共 12 台,已知A,B两种型号的设备每台的价格和月处理污水量如表：

(1)经调查:购买一台 A 型设备比购买一台 B 型设备多 3 万元,购买 1 台 A 型设备比购买 3 台 B 型设备少 3 万元,求 $a,b$ 的值.
(2)经预算:该市治污公司购买污水处理设备的资金不超过 50 万元,若两种设备都要购买,你认为该公司有哪几种购买方案?
(3)在(2)的条件下,若每月要求处理的污水量不低于 2 260 t,为了节约资金,请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案.

20.解:(1)根据题意,得 $\begin{cases} a-b=3, \\ 3b-a=3. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=6, \\ b=3. \end{cases}$
(2)设购买 A 型设备 $x$ 台,则购买 B 型设备$(12-x)$台.
根据题意,得 $6x+3(12-x)≤50.\therefore x≤\frac{14}{3}$.
$\because x$ 取正整数,$\therefore x=1,2,3,4$.
$\therefore 12-x=11,10,9,8$.
$\therefore$ 有四种购买方案:
①A 型设备 1 台,B 型设备 11 台;
②A 型设备 2 台,B 型设备 10 台;
③A 型设备 3 台,B 型设备 9 台;
④A 型设备 4 台,B 型设备 8 台.
(3)由题意,得 $220x+180(12-x)≥2\ 260.\therefore x≥\frac{5}{2}$.
又 $x≤\frac{14}{3},\therefore \frac{5}{2}≤ x≤\frac{14}{3}$.
$\because x$ 取正整数,$\therefore x$ 为 3,4.
当 $x=3$ 时,购买资金为 $3×6+9×3=45$(万元);
当 $x=4$ 时,购买资金为 $4×6+8×3=48$(万元).
$\because 45＜48$,$\therefore$ 为了节约资金,应购买 A 型设备 3 台,B 型设备 9 台.

【分析】
(1) 第一问求a、b的值，题干给出两个关于设备价格的等量关系：①1台A型设备比1台B型设备贵3万元；②3台B型设备比1台A型设备贵3万元，将两个等量关系转化为二元一次方程组即可求解。
(2) 第二问求购买方案，设购买A型设备x台，则B型设备为(12-x)台，根据总购买资金不超过50万元列不等式，结合x为正整数、两种设备都购买的限制，筛选出符合条件的x值，对应得到所有购买方案。
(3) 第三问求最省钱方案，在第二问的基础上，新增月处理污水量不低于2260t的条件，再列不等式缩小x的取值范围，分别计算剩余符合条件的方案所需资金，选择资金最少的方案即可。
【解析】
(1) 根据题意列二元一次方程组：
$\begin{cases} a-b=3 \\ 3b-a=3 \end{cases}$
将两式相加消去a，得$2b=6$，解得$b=3$，将$b=3$代入$a-b=3$，得$a=6$，故方程组的解为$\begin{cases} a=6 \\ b=3 \end{cases}$。
(2) 设购买A型设备$x$台，则购买B型设备$(12-x)$台，根据总资金限制列不等式：
$6x+3(12-x)≤50$
化简得$3x≤14$，解得$x≤\frac{14}{3}$。
因为x为正整数，所以x可取1、2、3、4，对应$12-x$的值为11、10、9、8，共4种购买方案：
①A型设备1台，B型设备11台；
②A型设备2台，B型设备10台；
③A型设备3台，B型设备9台；
④A型设备4台，B型设备8台。
(3) 根据月处理污水量要求列不等式：
$220x+180(12-x)≥2260$
化简得$40x≥100$，解得$x≥\frac{5}{2}$。
结合第二问的$x≤\frac{14}{3}$，得$\frac{5}{2}≤x≤\frac{14}{3}$，x为正整数，故x可取3、4。
计算两种方案的总资金：
当$x=3$时，总资金$=3×6+9×3=45$（万元）；
当$x=4$时，总资金$=4×6+8×3=48$（万元）。
因为$45＜48$，所以购买A型设备3台、B型设备9台的方案最省钱。
【答案】
(1) $\begin{cases} a=6 \\ b=3 \end{cases}$
(2) 共4种购买方案：①A型1台，B型11台；②A型2台，B型10台；③A型3台，B型9台；④A型4台，B型8台。
(3) 最省钱的方案为购买A型设备3台，B型设备9台。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，方案优化设计
【点评】
本题是结合生活实际的综合应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系和不等关系，同时注意实际问题中未知数的取值要符合现实意义，既考察了方程与不等式的基础运算能力，也锻炼了分析问题、筛选最优方案的逻辑思维。
【难度系数】
0.7