1. $12x^3y^2$ 与 $2x^6y$ 的公因式是()

A.$xy$
B.$x^3y$
C.$2x^3y$
D.$12x^6y^2$

C

求两个单项式的公因式分两步：1. 取系数的最大公约数，12和2的最大公约数是2；2. 取相同字母的最低次幂，相同字母x的最低次数是3，相同字母y的最低次数是1，因此两个式子的公因式是$2x^3y$。

2.数学活动课上，甲、乙、丙、丁四名同学一起玩卡片游戏，游戏规则：从给出的三张卡片（如图所示）中任选两张进行加减运算，运算的结果在有理数范围内能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰。四名同学的选择如下：甲同学选择卡片$M,N$，进行$M-N$的运算；乙同学选择卡片$M,N$，进行$M+N$的运算；丙同学选择$N,P$，进行$N-P$的运算；丁同学选择卡片$N,P$，进行$N+P$的运算。在第一轮游戏中被淘汰的是（$\quad\quad$）


A.甲
B.乙
C.丙
D.丁

C

分别计算四名同学的运算结果，判断是否可在有理数范围内因式分解：
1. 甲：$M-N=(x^2+5x+12)-(5x+13)=x^2-1=(x+1)(x-1)$，可因式分解；
2. 乙：$M+N=(x^2+5x+12)+(5x+13)=x^2+10x+25=(x+5)^2$，可因式分解；
3. 丙：$N-P=(5x+13)-(x^2-13)=-x^2+5x+26$，该二次式的判别式$\Delta=5^2-4×(-1)×26=129$，129不是完全平方数，无法在有理数范围内因式分解；
4. 丁：$N+P=(5x+13)+(x^2-13)=x^2+5x=x(x+5)$，可因式分解。
因此被淘汰的是丙。

3. △ABC的三条边长分别为a,b,c,若a,b,c满足$ac+2ab-bc=a^2+b^2$,则△ABC一定是
()

A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形

A

将原式移项，把所有项移到等号左侧得：$a^2 + b^2 - 2ab - ac + bc = 0$，
利用完全平方公式变形得：$(a-b)^2 - c(a-b) = 0$，
提取公因式$(a-b)$得：$(a-b)(a-b-c)=0$。
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，即$b+c＞a$，因此$a-b-c＜0$，不可能等于0，
因此只能$a-b=0$，即$a=b$，说明三角形有两条边相等，因此△ABC是等腰三角形。

4.若$a+b=1,ab=-6$,则$a^2b+ab^2$的值为。

$-6$

先对所求代数式提取公因式$ab$进行因式分解，可得：
$a^2b+ab^2 = ab(a+b)$
已知$a+b=1$，$ab=-6$，将两个值整体代入上式：
原式$= -6 × 1 = -6$

5.把多项式$(a+b)^2 - 4(a+b) + 4$因式分解的结果是$\underline{\hspace{5cm}}$。

$(a+b-2)^2$

本题可利用整体代换的思路，结合完全平方差公式进行因式分解：
1. 把$a+b$视作一个整体，设$x=a+b$，则原式转化为$x^2 -4x +4$；
2. 根据完全平方差公式$x^2 - 2xy + y^2=(x-y)^2$，代入对应项可得$x^2 -4x +4=(x-2)^2$；
3. 将$x=a+b$回代，即可得到因式分解的最终结果。

6.有一块周长为20 m的长方形菜地ABCD，若AB=a m，BC=b m，且满足$a^2b+ab^2=180$，则AC的长为$\underline{\hspace{3em}}$ m。

8

1. 由长方形菜地周长为20m，可得2(a+b)=20，化简得a+b=10。
2. 对给定等式因式分解：$a^2b+ab^2=ab(a+b)=180$，将a+b=10代入，得10ab=180，解得ab=18。
3. 长方形的对角线AC可由勾股定理得：$AC^2=a^2+b^2$，结合完全平方公式变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入数值计算得$AC^2=10^2-2×18=64$，由于线段长度为正，因此AC=8 m。

7.如图(图中长度单位:cm),将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块,其中有2块是边长为$a$ cm 的大正方形,2块是边长为$b$ cm 的小正方形,5块是长为$a$ cm、宽为$b$ cm 的小长方形,且$a＞b$。
(1)观察图形,可以发现代数式$2a^2+5ab+2b^2$可以因式分解为$\underline{\hspace{5cm}}$。
(2)若图中阴影部分的面积为$162\ \mathrm{cm}^2$,大长方形纸板的周长为$60\ \mathrm{cm}$,则图中空白部分的面积为$\underline{\hspace{2cm}}$。

(1) $\boldsymbol{(2a+b)(a+2b)}$；(2) $\boldsymbol{47.5\ \mathrm{cm}^2}$（或$\frac{95}{2}\ \mathrm{cm}^2$）

(1) 由图可知大长方形的长为$(2a+b)\ \mathrm{cm}$，宽为$(a+2b)\ \mathrm{cm}$，大长方形的面积既等于$2a^2+5ab+2b^2$，也等于长乘宽$(2a+b)(a+2b)$，因此代数式$2a^2+5ab+2b^2$因式分解的结果为$(2a+b)(a+2b)$。
(2) 由题意得：
① 阴影部分面积为2个边长为$a$的大正方形和2个边长为$b$的小正方形的面积和，即$2a^2+2b^2=162$，化简得$a^2+b^2=81$；
② 大长方形的周长为$2[(2a+b)+(a+2b)]=6(a+b)=60$，解得$a+b=10$；
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a+b=10$、$a^2+b^2=81$代入得：$10^2=81+2ab$，解得$ab=\frac{19}{2}$；
空白部分是5个长为$a$、宽为$b$的小长方形，面积为$5ab=5×\frac{19}{2}=47.5\ \mathrm{cm}^2$。