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5. 某学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元，购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元.
（1）求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；
（2）该学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且购买费用不超过2610元，那么该学校最多可以购买多少副乒乓球拍？
（1）求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；
（2）该学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且购买费用不超过2610元，那么该学校最多可以购买多少副乒乓球拍？
答案
解:(1) 设乒乓球拍单价为$x$元/副,羽毛球拍单价为$y$元/副,根据题意可列二元一次方程: $\begin{cases}3x+2y=270\\5x+4y=480\end{cases}$,解得$\begin{cases}x=60\\y=45\end{cases}$,答:每副乒乓球拍60元,每副羽毛球拍45元.
(2) 设购买乒乓球拍$m$副,则羽毛球拍为$(50-m)$副,根据题意列一元一次不等式得:$60m+45(50-m)≤2610$,解得$m≤24$. $\because m$为正整数,$\therefore$ 最多可购买24副乒乓球拍.答:学校最多可以购买24副乒乓球拍.
(2) 设购买乒乓球拍$m$副,则羽毛球拍为$(50-m)$副,根据题意列一元一次不等式得:$60m+45(50-m)≤2610$,解得$m≤24$. $\because m$为正整数,$\therefore$ 最多可购买24副乒乓球拍.答:学校最多可以购买24副乒乓球拍.
1. 在平面直角坐标系中，已知$A(a,0),B(b,0),C(0,4),D(6,0)$. 点$P(m,n)$为线段$CD$上一点(不与点$C$和点$D$重合).
（1）利用三角形$COP$、三角形$DOP$及三角形$COD$之间的面积关系，求$m$与$n$之间的数量关系；
（2）如图1，若$a=-2$，点$B$为线段$AD$的中点，且三角形$ABC$的面积等于四边形$AOPC$面积，求$m$的值；
（3）如图2，设$a,b,m$满足$\begin{cases}2a+3b+m=0 \\3a+2b+m=-5\end{cases}$，若三角形$ABP$的面积小于$5$，求$m$的取值范围.
（1）利用三角形$COP$、三角形$DOP$及三角形$COD$之间的面积关系，求$m$与$n$之间的数量关系；
（2）如图1，若$a=-2$，点$B$为线段$AD$的中点，且三角形$ABC$的面积等于四边形$AOPC$面积，求$m$的值；
（3）如图2，设$a,b,m$满足$\begin{cases}2a+3b+m=0 \\3a+2b+m=-5\end{cases}$，若三角形$ABP$的面积小于$5$，求$m$的取值范围.
答案
解:(1) 根据题意,得$S_{△ COP}+S_{△ DOP}=S_{△ COD}$,$\therefore \dfrac{1}{2}×4m+\dfrac{1}{2}×6n=\dfrac{1}{2}×4×6$,解得$m=-\dfrac{3}{2}n+6$;
(2) $\because a=-2$,$\therefore A(-2,0)$. $\because$ 点$B$为线段$AD$的中点,$\therefore AB=BD$. $\therefore B(2,0)$. $\because$ 三角形$ABC$的面积等于四边形$AOPC$的面积,$\therefore \dfrac{1}{2}×4×4=\dfrac{1}{2}×4×2+\dfrac{1}{2}×4m$,解得$m=2$;
(3) $a$,$b$,$m$满足$\begin{cases}2a+3b+m=0\\3a+2b+m=-5\end{cases}$,解得$a-b=-5$. 由(1)得$n=-\dfrac{2}{3}m+4$,$0＜n＜4$,$0＜m＜6$. $\because S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}×(-a+b)·n=\dfrac{1}{2}×5·(-\dfrac{2}{3}m+4)=-\dfrac{5}{3}m+10$,$\therefore -\dfrac{5}{3}m+10＜5$,解得$m＞3$. $\therefore m$的取值范围是$3＜m＜6$.
(2) $\because a=-2$,$\therefore A(-2,0)$. $\because$ 点$B$为线段$AD$的中点,$\therefore AB=BD$. $\therefore B(2,0)$. $\because$ 三角形$ABC$的面积等于四边形$AOPC$的面积,$\therefore \dfrac{1}{2}×4×4=\dfrac{1}{2}×4×2+\dfrac{1}{2}×4m$,解得$m=2$;
(3) $a$,$b$,$m$满足$\begin{cases}2a+3b+m=0\\3a+2b+m=-5\end{cases}$,解得$a-b=-5$. 由(1)得$n=-\dfrac{2}{3}m+4$,$0＜n＜4$,$0＜m＜6$. $\because S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}×(-a+b)·n=\dfrac{1}{2}×5·(-\dfrac{2}{3}m+4)=-\dfrac{5}{3}m+10$,$\therefore -\dfrac{5}{3}m+10＜5$,解得$m＞3$. $\therefore m$的取值范围是$3＜m＜6$.
2. 定义:如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解,则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”,例如:方程 $2x - 6 = 0$ 的解为 $x = 3$,不等式组 $\begin{cases} x - 2 ＞ 0 \\ x ＜ 5 \end{cases}$ 的解为 $2 ＜ x ＜ 5$,因为 $2 ＜ 3 ＜ 5$,所以称方程 $2x - 6 = 0$ 为不等式组 $\begin{cases} x - 2 ＞ 0 \\ x ＜ 5 \end{cases}$ 的“相伴方程”.
（1）下列方程是不等式组 $\begin{cases} x + 1 ＞ 0 \\ x ＜ 2 \end{cases}$ 的“相伴方程”的是 ______;(填序号)
①$x - 1 = 0$;②$2x + 1 = 0$;③$-2x - 2 = 0$.
（2）若关于 $x$ 的方程 $2x - k = 2$ 是不等式组 $\begin{cases} 3x - 6 ＞ 4 - x \\ x - 1 ≥ 4x - 10 \end{cases}$ 的“相伴方程”,求 $k$ 的取值范围;
（3）若方程 $2x + 6 = 0, \frac{2x - 1}{3} = -1$ 都是关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases} (m - 1)x ＜ m - 1 \\ x + 5 ≥ m \end{cases}$ 的“相伴方程”,其中 $m ≠ 1$,求 $m$ 的取值范围.
（1）下列方程是不等式组 $\begin{cases} x + 1 ＞ 0 \\ x ＜ 2 \end{cases}$ 的“相伴方程”的是 ______;(填序号)
①$x - 1 = 0$;②$2x + 1 = 0$;③$-2x - 2 = 0$.
（2）若关于 $x$ 的方程 $2x - k = 2$ 是不等式组 $\begin{cases} 3x - 6 ＞ 4 - x \\ x - 1 ≥ 4x - 10 \end{cases}$ 的“相伴方程”,求 $k$ 的取值范围;
（3）若方程 $2x + 6 = 0, \frac{2x - 1}{3} = -1$ 都是关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases} (m - 1)x ＜ m - 1 \\ x + 5 ≥ m \end{cases}$ 的“相伴方程”,其中 $m ≠ 1$,求 $m$ 的取值范围.
答案
解:(1) 解不等式组$\begin{cases}x+1＞0\\x＜2\end{cases}$,得$-1＜x＜2$,解方程$x-1=0$得:$x=1$;解方程$2x+1=0$得:$x=-\dfrac{1}{2}$;解方程$-2x-2=0$得$x=-1$,$\because -1＜1＜2$,$-1＜-\dfrac{1}{2}＜2$,$-1=-1$,$\therefore$ ①②是不等式组$\begin{cases}x+1＞0\\x＜2\end{cases}$的“相伴方程”,故答案为:①②;
(2) 解不等式组$\begin{cases}3x-6＞4-x\\x-1≥4x-10\end{cases}$,得$\dfrac{5}{2}＜x≤3$,解方程$2x-k=2$,得$x=\dfrac{2+k}{2}$,$\because$ 关于$x$的方程$2x-k=2$是不等式组$\begin{cases}3x-6＞4-x\\x-1≥4x-10\end{cases}$的“相伴方程”,$\therefore \dfrac{5}{2}＜\dfrac{2+k}{2}≤3$,解得$3＜k≤4$,即$k$的取值范围是$3＜k≤4$;
(3) 解方程$2x+6=0$得$x=-3$,解方程$\dfrac{2x-1}{3}=-1$,得$x=-1$. $\because$ 方程$2x+6=0$,$\dfrac{2x-1}{3}=-1$都是关于$x$的不等式组$\begin{cases}(m-1)x＜m-1\\x+5≥m\end{cases}$的“相伴方程”,$m≠1$,所以分为两种情况:①当$m＜1$时,则$m-1＜0$,$\therefore$ 不等式组为$\begin{cases}x＞1\\x≥m-5\end{cases}$,此时不等式组的解集是$x＞1$,不符合题意,舍去;②当$m＞1$时,不等式组的解集是$m-5≤x＜1$,所以根据题意得:$\begin{cases}m＞1\\m-5≤-3\end{cases}$,解得$1＜m≤2$,所以$m$的取值范围是$1＜m≤2$.
(2) 解不等式组$\begin{cases}3x-6＞4-x\\x-1≥4x-10\end{cases}$,得$\dfrac{5}{2}＜x≤3$,解方程$2x-k=2$,得$x=\dfrac{2+k}{2}$,$\because$ 关于$x$的方程$2x-k=2$是不等式组$\begin{cases}3x-6＞4-x\\x-1≥4x-10\end{cases}$的“相伴方程”,$\therefore \dfrac{5}{2}＜\dfrac{2+k}{2}≤3$,解得$3＜k≤4$,即$k$的取值范围是$3＜k≤4$;
(3) 解方程$2x+6=0$得$x=-3$,解方程$\dfrac{2x-1}{3}=-1$,得$x=-1$. $\because$ 方程$2x+6=0$,$\dfrac{2x-1}{3}=-1$都是关于$x$的不等式组$\begin{cases}(m-1)x＜m-1\\x+5≥m\end{cases}$的“相伴方程”,$m≠1$,所以分为两种情况:①当$m＜1$时,则$m-1＜0$,$\therefore$ 不等式组为$\begin{cases}x＞1\\x≥m-5\end{cases}$,此时不等式组的解集是$x＞1$,不符合题意,舍去;②当$m＞1$时,不等式组的解集是$m-5≤x＜1$,所以根据题意得:$\begin{cases}m＞1\\m-5≤-3\end{cases}$,解得$1＜m≤2$,所以$m$的取值范围是$1＜m≤2$.
