13.如图,将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠,使顶点C,D分别落在点C',D'处,C'E交AF于点G。若∠CEF=70°,则∠GFD'等于 ()

A.20°
B.40°
C.70°
D.110°

13.B

【分析】
本题可结合长方形性质、平行线性质和折叠性质求解：首先利用长方形对边平行的特征，得到AD与BC平行，由此可通过平行线的角度关系求出∠EFG和∠DFE的度数；再根据折叠前后对应角相等，得到∠D'FE与∠DFE相等，最后用∠D'FE减去∠EFG即可得到所求角的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
根据平行线内错角相等，得∠EFG=∠CEF=70°，
根据平行线同旁内角互补，得∠CEF+∠DFE=180°，
∴∠DFE=180°-70°=110°，
由折叠的性质可知，∠D'FE=∠DFE=110°，
∴∠GFD'=∠D'FE-∠EFG=110°-70°=40°。
【答案】
B
【知识点】
长方形的性质，平行线的性质，折叠的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等，结合平行线的角度关系逐步推导，这类题型是平行线章节的常见考法，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

14.如图，AB//CD，点C在点D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在直线交于点E，∠ADC=80°。
(1)∠CDE=°；
(2)若∠ABC=x°，则∠BED=°(用含x的式子表示)。

14.(1)40 (2)$( \dfrac{1}{2}x+40)$

【分析】
(1) 已知DE平分∠ADC，根据角平分线的定义，角平分线会将原角分成两个大小相等的角，均为原角的一半，结合给出的∠ADC=80°，直接计算即可得到∠CDE的度数。
(2) 本题属于平行线间的拐角类问题，通用的解题思路是过拐点E作平行于已知平行线的辅助线。首先过E作EF//AB，结合AB//CD可推出EF同时平行于CD，再根据平行线内错角相等的性质，可将∠BED拆为∠BEF与∠DEF的和，其中∠BEF=∠ABE，∠DEF=∠CDE；再结合BE平分∠ABC的条件，求出∠ABE的大小，代入后即可得到∠BED的表达式。
【解析】
(1)
∵DE平分∠ADC，∠ADC=80°，
∴$∠ CDE=\frac{1}{2}∠ ADC=\frac{1}{2}×80°=40°$。
(2) 过点E作$EF// AB$，
∵$AB// CD$，
∴$EF// AB// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴$∠ BEF=∠ ABE$，$∠ DEF=∠ CDE$（两直线平行，内错角相等）。
∵BE平分$∠ ABC$，$∠ ABC=x°$，
∴$∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}x°$，
∴$∠ BED=∠ BEF+∠ DEF=∠ ABE+∠ CDE=(\frac{1}{2}x+40)°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$；(2) $\boldsymbol{( \dfrac{1}{2}x + 40 )}$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；平行公理的推论
【点评】
本题是平行线与角平分线的综合基础题，解题核心是掌握平行线拐角问题的辅助线作法，熟练运用角平分线定义和平行线性质完成角度的转化和计算。
【难度系数】
0.7

15.如图,在△ABC中,已知AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别为D,F,点G为AC上一点,且∠2+∠3=180°,试说明:∠GDC=∠B。请补充说明过程,并填上相应的理由。
解:因为AD⊥BC,EF⊥BC(已知),
所以∠ADB=∠EFB=90°(),
所以EF//AD(),
所以+∠2=180°()。
又因为∠2+∠3=180°(已知),
所以∠1=∠3(),
所以AB//(),
所以∠GDC=∠B()。

15.解:因为 $AD⊥ BC,EF⊥ BC$(已知),
所以$∠ ADB=∠ EFB=90°$(垂直的定义),
所以 $EF/\!/AD$(同位角相等,两直线平行),
所以$∠ 1+∠ 2=180°$(两直线平行,同旁内角互补)。
又因为$∠ 2+∠ 3=180°$(已知),
所以$∠ 1=∠ 3$(同角的补角相等),
所以 $AB/\!/DG$(内错角相等,两直线平行),
所以$∠ GDC=∠ B$(两直线平行,同位角相等)。

【分析】
本题是几何说理填空题，解题时按照从已知条件逐步推导结论的逻辑梳理：首先由两条直线垂直于同一条直线，结合垂直定义得到相等的同位角，判定EF与AD平行；再利用平行线的同旁内角互补的性质，结合已知∠2与∠3互补，通过同角的补角相等推出∠1=∠3；接着由内错角相等判定AB与DG平行，最后根据平行线的性质得到∠GDC=∠B，每一步匹配对应的几何定理即可完成填空。
【解析】
我们逐步补充完整说理过程：
因为 $AD⊥ BC,EF⊥ BC$(已知),
所以$∠ ADB=∠ EFB=90°$(垂直的定义),
所以 $EF/\!/AD$(同位角相等,两直线平行),
所以$∠ 1+∠ 2=180°$(两直线平行,同旁内角互补)。
又因为$∠ 2+∠ 3=180°$(已知),
所以$∠ 1=∠ 3$(同角的补角相等),
所以 $AB/\!/DG$(内错角相等,两直线平行),
所以$∠ GDC=∠ B$(两直线平行,同位角相等)。
【答案】
因为 $AD⊥ BC,EF⊥ BC$(已知),
所以$∠ ADB=∠ EFB=90°$(垂直的定义),
所以 $EF/\!/AD$(同位角相等,两直线平行),
所以$∠ 1+∠ 2=180°$(两直线平行,同旁内角互补)。
又因为$∠ 2+∠ 3=180°$(已知),
所以$∠ 1=∠ 3$(同角的补角相等),
所以 $AB/\!/DG$(内错角相等,两直线平行),
所以$∠ GDC=∠ B$(两直线平行,同位角相等)。
【知识点】
1.垂直的定义
2.平行线的判定与性质
3.补角的性质
【点评】
本题是几何说理的基础题型，重点考察对平行线判定、性质以及补角性质的理解和应用，解题时要注意区分平行线的判定（由角的关系推平行）和性质（由平行推角的关系）的使用场景，理清角和直线的位置关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

16.如图，AB//EF，点C在EF上，且∠EAC=∠ECA，CB平分∠DCF，CA平分∠DCE。
(1)请判断AE与CD的位置关系，并说明理由；
(2)试说明：AC⊥BC；
(3)求∠1+∠B的度数。

16.解:(1)$AE/\!/CD$。理由如下：
因为 $CA$ 平分$∠ DCE$,所以$∠ 1=∠ ECA$。
因为$∠ EAC=∠ ECA$,所以$∠ 1=∠ EAC$,所以 $AE/\!/CD$。
(2)因为 $CB$ 平分$∠ DCF$,$CA$ 平分$∠ DCE$,
所以$∠ FCB=∠ DCB=\dfrac{1}{2}∠ FCD$,$∠ ECA=∠ 1=\dfrac{1}{2}∠ ECD$。
因为$∠ ECD+∠ FCD=180°$,
所以$∠ ACB=∠ 1+∠ DCB=\dfrac{1}{2}×180°=90°$,所以 $AC⊥ BC$。
(3)由(2),得$∠ 1+∠ DCB=90°$。
因为 $CB$ 平分$∠ DCF$,所以$∠ FCB=∠ DCB$,所以$∠ 1+∠ FCB=90°$。
因为 $AB/\!/EF$,所以$∠ B=∠ FCB$,所以$∠ 1+∠ B=90°$。

【分析】
(1)判断AE与CD的位置关系可结合平行线判定定理推导：已知CA平分∠DCE，可得∠1=∠ECA，结合已知∠EAC=∠ECA，可推出内错角∠EAC=∠1，即可得出两直线平行的结论。
(2)要证AC⊥BC，只需证∠ACB=90°：CA平分∠DCE、CB平分∠DCF，可知∠1是∠DCE的一半，∠DCB是∠DCF的一半，而∠DCE与∠DCF组成平角和为180°，因此两个半角相加为90°，即可得垂直。
(3)求∠1+∠B的度数可利用平行线性质转化角：由AB//EF得∠B=∠FCB，结合CB平分∠DCF可知∠FCB=∠DCB，再结合(2)的结论∠1+∠DCB=90°，等量代换即可求出结果。
【解析】
(1)$AE/\!/CD$，理由如下：
因为 $CA$ 平分$∠ DCE$，所以$∠ 1=∠ ECA$。
因为$∠ EAC=∠ ECA$，所以$∠ 1=∠ EAC$，所以 $AE/\!/CD$（内错角相等，两直线平行）。
(2)因为 $CB$ 平分$∠ DCF$，$CA$ 平分$∠ DCE$，
所以$∠ FCB=∠ DCB=\dfrac{1}{2}∠ FCD$，$∠ ECA=∠ 1=\dfrac{1}{2}∠ ECD$。
因为$∠ ECD+∠ FCD=180°$（平角的定义），
所以$∠ ACB=∠ 1+∠ DCB=\dfrac{1}{2}×180°=90°$，所以 $AC⊥ BC$（垂直的定义）。
(3)由(2)得$∠ 1+∠ DCB=90°$。
因为 $CB$ 平分$∠ DCF$，所以$∠ FCB=∠ DCB$，所以$∠ 1+∠ FCB=90°$。
因为 $AB/\!/EF$，所以$∠ B=∠ FCB$（两直线平行，内错角相等），所以$∠ 1+∠ B=90°$。
【答案】
(1)$AE// CD$；
(2)$AC⊥ BC$；
(3)$∠ 1+∠ B=90°$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考察平行线、角平分线、垂直的相关性质与判定，解题关键是理清角之间的数量关系，熟练运用定理完成角的等量代换，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7