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7. 一杆古秤在称物时的状态如图。已知∠1=102°,则∠2的度数为
$78°$
。答案
7.$78°$
解析
【分析】
解题时先从实际场景抽象出几何模型：古秤上悬挂秤盘和重物的两条线均为竖直方向，因此这两条直线互相平行，秤杆是截这两条平行线的截线，∠1和∠2是一组同旁内角。根据平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，结合已知∠1的度数，就可以计算出∠2的大小。
【解析】
解：由题意得，悬挂秤盘和悬挂重物的两条线都沿竖直方向，因此两条直线互相平行。
根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$
已知$∠ 1=102°$，代入得：
$∠ 2 = 180° - 102° = 78°$
【答案】
$78°$
【知识点】
平行线的性质；角度计算
【点评】
本题结合生活中的古秤场景考查几何知识的应用，解题关键是从实际物体中抽象出平行直线的几何模型，再利用平行线的性质计算角度，侧重考查基础知识点的实际应用能力。
【难度系数】
0.85
解题时先从实际场景抽象出几何模型：古秤上悬挂秤盘和重物的两条线均为竖直方向，因此这两条直线互相平行，秤杆是截这两条平行线的截线，∠1和∠2是一组同旁内角。根据平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，结合已知∠1的度数，就可以计算出∠2的大小。
【解析】
解：由题意得，悬挂秤盘和悬挂重物的两条线都沿竖直方向，因此两条直线互相平行。
根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$
已知$∠ 1=102°$，代入得：
$∠ 2 = 180° - 102° = 78°$
【答案】
$78°$
【知识点】
平行线的性质；角度计算
【点评】
本题结合生活中的古秤场景考查几何知识的应用，解题关键是从实际物体中抽象出平行直线的几何模型，再利用平行线的性质计算角度，侧重考查基础知识点的实际应用能力。
【难度系数】
0.85
8.如图，将一块含$45°$角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当$∠ 1=35°$时，$∠ 2$的度数是
$80°$
。答案
8.$80°$
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：直尺对边互相平行，含45°的直角三角板的直角为90°、锐角为45°，平角为180°。解题思路为：第一步利用平行线的内错角相等，得到与∠1相等的内错角；第二步用三角板的45°角减去这个内错角，得到平角中除直角和∠2外的第三个角；第三步根据平角和为180°，计算出∠2的度数。
【解析】
1. 因为直尺的上下两边互相平行，根据两直线平行，内错角相等，可得∠1的内错角 = ∠1 = 35°。
2. 已知三角板是含45°角的直角三角板，其锐角为45°，因此45°角减去上述内错角的差为：45° - 35° = 10°。
3. 观察图形可知，∠2、三角板的直角90°和上述10°的角共同组成一个平角，和为180°，因此：
∠2 = 180° - 90° - 10° = 80°
【答案】
80°
【知识点】
平行线的性质，平角的定义，三角板角度特征
【点评】
本题结合常见的直尺和三角板考查基础几何性质，解题的核心是找到平行线对应的相等角，结合特殊角的度数进行计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确已知条件：直尺对边互相平行，含45°的直角三角板的直角为90°、锐角为45°，平角为180°。解题思路为：第一步利用平行线的内错角相等，得到与∠1相等的内错角；第二步用三角板的45°角减去这个内错角，得到平角中除直角和∠2外的第三个角；第三步根据平角和为180°，计算出∠2的度数。
【解析】
1. 因为直尺的上下两边互相平行，根据两直线平行，内错角相等，可得∠1的内错角 = ∠1 = 35°。
2. 已知三角板是含45°角的直角三角板，其锐角为45°，因此45°角减去上述内错角的差为：45° - 35° = 10°。
3. 观察图形可知，∠2、三角板的直角90°和上述10°的角共同组成一个平角，和为180°，因此：
∠2 = 180° - 90° - 10° = 80°
【答案】
80°
【知识点】
平行线的性质，平角的定义，三角板角度特征
【点评】
本题结合常见的直尺和三角板考查基础几何性质，解题的核心是找到平行线对应的相等角，结合特殊角的度数进行计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
9.[跨学科融合]一束平行于主光轴$F_1F_2$的光线$AB$射向凹透镜，点$F_1,F_2$均为凹透镜的焦点。光线$AB$经过凹透镜后折射方向如图，若$∠ 1=138°$，则$∠ 2$的大小为
$42°$
。答案
9.$42°$
解析
【分析】
解题时先结合图形特征，利用平角为180°求出∠1的邻补角，再根据AB平行于主光轴的已知条件，运用平行线内错角相等的性质，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：因为平角的度数为180°，已知∠1=138°，所以AB与折射光线在点B处形成的较小夹角为：
$180° - 138° = 42°$
又因为光线AB平行于主光轴$F_1F_2$，上述$42°$的角与∠2是一组内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
$∠2=42°$
【答案】
$42°$
【知识点】
平角的定义，平行线的性质
【点评】
本题融合了物理透镜光路的情境，考查几何中平行线性质的应用，解题关键是准确识别图形中的平行关系和内错角，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先结合图形特征，利用平角为180°求出∠1的邻补角，再根据AB平行于主光轴的已知条件，运用平行线内错角相等的性质，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：因为平角的度数为180°，已知∠1=138°，所以AB与折射光线在点B处形成的较小夹角为：
$180° - 138° = 42°$
又因为光线AB平行于主光轴$F_1F_2$，上述$42°$的角与∠2是一组内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
$∠2=42°$
【答案】
$42°$
【知识点】
平角的定义，平行线的性质
【点评】
本题融合了物理透镜光路的情境，考查几何中平行线性质的应用，解题关键是准确识别图形中的平行关系和内错角，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
10.如图，直线$AE// BD$，直线$AB$与直线$AE$，$BD$分别交于点$A$，$B$，$AD⊥ AE$。若$∠ ABD=61°$，则$∠ CAD$的度数为
$151°$
。答案
10.$151°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①已知$AE// BD$，可联想到平行线的性质，能得到同位角、内错角相等或者同旁内角互补的结论；②已知$AD⊥ AE$，可得$∠ DAE=90°$。观察所求的$∠ CAD$，它由$∠ CAE$和$∠ DAE$两部分组成，首先利用平行线的同位角相等求出$∠ CAE$的度数，再和直角$∠ DAE$相加即可得到$∠ CAD$的度数。也可先证明$AD⊥ BD$，结合三角形内角和算出$∠ BAD$，再利用平角定义计算$∠ CAD$，两种思路都可求解。
【解析】
解：$\because$ 直线$AE// BD$，$∠ ABD=61°$，
$\therefore ∠ CAE=∠ ABD=61°$（两直线平行，同位角相等），
$\because AD⊥ AE$，
$\therefore ∠ DAE=90°$（垂直的定义），
$\therefore ∠ CAD=∠ CAE + ∠ DAE = 61° + 90° = 151°$。
【答案】
$151°$
【知识点】
平行线的性质；垂直的定义；角的和差运算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是对平行线性质和垂直定义的灵活运用，解题时需准确识别图形中的角的位置关系，结合已知条件逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：①已知$AE// BD$，可联想到平行线的性质，能得到同位角、内错角相等或者同旁内角互补的结论；②已知$AD⊥ AE$，可得$∠ DAE=90°$。观察所求的$∠ CAD$，它由$∠ CAE$和$∠ DAE$两部分组成，首先利用平行线的同位角相等求出$∠ CAE$的度数，再和直角$∠ DAE$相加即可得到$∠ CAD$的度数。也可先证明$AD⊥ BD$，结合三角形内角和算出$∠ BAD$，再利用平角定义计算$∠ CAD$，两种思路都可求解。
【解析】
解：$\because$ 直线$AE// BD$，$∠ ABD=61°$，
$\therefore ∠ CAE=∠ ABD=61°$（两直线平行，同位角相等），
$\because AD⊥ AE$，
$\therefore ∠ DAE=90°$（垂直的定义），
$\therefore ∠ CAD=∠ CAE + ∠ DAE = 61° + 90° = 151°$。
【答案】
$151°$
【知识点】
平行线的性质；垂直的定义；角的和差运算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是对平行线性质和垂直定义的灵活运用，解题时需准确识别图形中的角的位置关系，结合已知条件逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8
11.按要求画平行线:已知△ABC,过点A作AE//BC,过点C作CE//AB交AE于点E,过点B作BD//AC交EA的延长线于点D,交EC的延长线于点F。
答案
11.解:如图。
解析
【分析】
要完成这道作图题，我们可以按照题目给出的顺序，用七年级所学的平移法画平行线逐步操作：首先回忆平移法画平行线的步骤：一落（三角板边落在已知直线上）、二靠（直尺靠紧三角板另一条边）、三移（平移三角板到指定点）、四画（沿三角板边过指定点画直线）。首先过点A作平行于BC的直线AE；接着用同样方法过点C作平行于AB的直线CE，找到CE和AE的交点E；最后过点B作平行于AC的直线BD，注意需要延长EA、EC，分别找到BD和EA延长线的交点D、BD和EC延长线的交点F即可，作图时要保证线条为直线，交点位置准确。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作$AE// BC$：将三角板的一边与BC边重合，把直尺紧靠三角板的另一边，固定直尺后平移三角板，使原本与BC重合的边经过点A，沿该边画直线AE，即得到过A且平行于BC的直线。
2. 作$CE// AB$，交AE于E：将三角板的一边与AB边重合，直尺紧靠三角板另一边，固定直尺平移三角板到点C，沿边画直线CE，CE与AE的交点标记为E。
3. 作$BD// AC$：将三角板的一边与AC边重合，直尺紧靠三角板另一边，固定直尺平移三角板到点B，沿边画直线BD；延长EA至与BD相交，交点标记为D；延长EC至与BD相交，交点标记为F。
最终作出的图形即为所求。
【答案】
【知识点】
1. 平行线的画法
2. 相交线的定义
3. 延长线作图
【点评】
本题属于基础几何作图题，核心考查平移法画平行线的操作技能，作图时需注意按要求画对延长线的位置，准确标记各个交点，是对几何作图基本功的巩固训练。
【难度系数】
0.85
要完成这道作图题，我们可以按照题目给出的顺序，用七年级所学的平移法画平行线逐步操作：首先回忆平移法画平行线的步骤：一落（三角板边落在已知直线上）、二靠（直尺靠紧三角板另一条边）、三移（平移三角板到指定点）、四画（沿三角板边过指定点画直线）。首先过点A作平行于BC的直线AE；接着用同样方法过点C作平行于AB的直线CE，找到CE和AE的交点E；最后过点B作平行于AC的直线BD，注意需要延长EA、EC，分别找到BD和EA延长线的交点D、BD和EC延长线的交点F即可，作图时要保证线条为直线，交点位置准确。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作$AE// BC$：将三角板的一边与BC边重合，把直尺紧靠三角板的另一边，固定直尺后平移三角板，使原本与BC重合的边经过点A，沿该边画直线AE，即得到过A且平行于BC的直线。
2. 作$CE// AB$，交AE于E：将三角板的一边与AB边重合，直尺紧靠三角板另一边，固定直尺平移三角板到点C，沿边画直线CE，CE与AE的交点标记为E。
3. 作$BD// AC$：将三角板的一边与AC边重合，直尺紧靠三角板另一边，固定直尺平移三角板到点B，沿边画直线BD；延长EA至与BD相交，交点标记为D；延长EC至与BD相交，交点标记为F。
最终作出的图形即为所求。
【答案】
【知识点】
1. 平行线的画法
2. 相交线的定义
3. 延长线作图
【点评】
本题属于基础几何作图题，核心考查平移法画平行线的操作技能，作图时需注意按要求画对延长线的位置，准确标记各个交点，是对几何作图基本功的巩固训练。
【难度系数】
0.85
12. 如图，AB//CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝37°，求∠D的度数。
第12题图
第12题图答案
12.解: 因为$AB/\!/CD$，$∠ A=37°$,所以$∠ ECD=∠ A=37°$。
因为$DE⊥ AE$,所以$∠ D=90°-∠ ECD=90°-37°=53°$。
因为$DE⊥ AE$,所以$∠ D=90°-∠ ECD=90°-37°=53°$。
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：①AB//CD，②DE⊥AE，③∠A=37°。第一步，根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，可得出∠ECD和∠A相等，得到∠ECD的度数；第二步，由DE⊥AE可知∠E是直角，△CDE为直角三角形，直角三角形的两个锐角之和为90°，因此用90°减去∠ECD的度数即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，∠A=37°，
∴∠ECD=∠A=37°（两直线平行，同位角相等）。
∵DE⊥AE，
∴∠E=90°，
∴∠D=90°-∠ECD=90°-37°=53°。
【答案】
53°
【知识点】
平行线的性质；垂直的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题关键是熟练运用平行线的性质找到相等的角，再结合直角三角形的角度关系进行计算，是对几何基础知识点的常规综合考察。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理已知条件：①AB//CD，②DE⊥AE，③∠A=37°。第一步，根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，可得出∠ECD和∠A相等，得到∠ECD的度数；第二步，由DE⊥AE可知∠E是直角，△CDE为直角三角形，直角三角形的两个锐角之和为90°，因此用90°减去∠ECD的度数即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，∠A=37°，
∴∠ECD=∠A=37°（两直线平行，同位角相等）。
∵DE⊥AE，
∴∠E=90°，
∴∠D=90°-∠ECD=90°-37°=53°。
【答案】
53°
【知识点】
平行线的性质；垂直的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题关键是熟练运用平行线的性质找到相等的角，再结合直角三角形的角度关系进行计算，是对几何基础知识点的常规综合考察。
【难度系数】
0.8
