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1.(2025·武进区一模)已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$都在正比例函数$y=2x$的图象上,若$x_1＜x_2$,则$y_1$与$y_2$的大小关系是 (
A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.$y_1=y_2$
D.$y_1≥ y_2$
B
)A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.$y_1=y_2$
D.$y_1≥ y_2$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆正比例函数的增减性规律：对于正比例函数$y=kx$（$k\ne0$），当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。本题先确定函数$y=2x$的$k$值符号，再结合已知$x_1＜x_2$的条件，就能直接判断$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
解：已知正比例函数解析式为$y=2x$，其中比例系数$k=2＞0$，
∴该函数的图象中，$y$随$x$的增大而增大，
∵点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$在函数图象上，且$x_1＜x_2$，
∴$y_1＜y_2$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的性质；函数增减性的应用
【点评】
本题是基础题型，核心考查正比例函数增减性与比例系数的对应关系，熟练掌握$k$的正负对函数增减性的影响，即可快速判断函数值的大小关系。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆正比例函数的增减性规律：对于正比例函数$y=kx$（$k\ne0$），当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。本题先确定函数$y=2x$的$k$值符号，再结合已知$x_1＜x_2$的条件，就能直接判断$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
解：已知正比例函数解析式为$y=2x$，其中比例系数$k=2＞0$，
∴该函数的图象中，$y$随$x$的增大而增大，
∵点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$在函数图象上，且$x_1＜x_2$，
∴$y_1＜y_2$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的性质；函数增减性的应用
【点评】
本题是基础题型，核心考查正比例函数增减性与比例系数的对应关系，熟练掌握$k$的正负对函数增减性的影响，即可快速判断函数值的大小关系。
【难度系数】
0.9
2.(2025·梁溪区一模)将一次函数$y=-2x$的图象向下平移6个单位长度,得到新的图象的函数表达式为
(
A.$y=-8x$
B.$y=4x$
C.$y=-2x-6$
D.$y=-2x+6$
(
C
)A.$y=-8x$
B.$y=4x$
C.$y=-2x-6$
D.$y=-2x+6$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查一次函数的图象平移问题，解题时首先明确平移方向为向下、平移距离为6个单位，回忆一次函数上下平移的规律：上下平移时，一次项系数保持不变，对常数项遵循“上加下减”的规则，即向下平移n个单位，就在原函数表达式末尾减去n，代入数据计算即可得到新的函数表达式，再匹配对应选项。
【解析】
一次函数图象平移遵循“上加下减，左加右减”的规则，其中上下平移是对函数的常数项进行调整，一次项系数k保持不变：向上平移n个单位，常数项加n；向下平移n个单位，常数项减n。
已知原函数为$y=-2x$，将其图象向下平移6个单位长度，常数项需减去6，因此新的函数表达式为$y=-2x-6$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.一次函数图象平移
2.函数平移规律
【点评】
本题属于基础题，主要考查一次函数图象的平移变换，牢记平移规则即可快速准确得分。
【难度系数】
0.9
本题考查一次函数的图象平移问题，解题时首先明确平移方向为向下、平移距离为6个单位，回忆一次函数上下平移的规律：上下平移时，一次项系数保持不变，对常数项遵循“上加下减”的规则，即向下平移n个单位，就在原函数表达式末尾减去n，代入数据计算即可得到新的函数表达式，再匹配对应选项。
【解析】
一次函数图象平移遵循“上加下减，左加右减”的规则，其中上下平移是对函数的常数项进行调整，一次项系数k保持不变：向上平移n个单位，常数项加n；向下平移n个单位，常数项减n。
已知原函数为$y=-2x$，将其图象向下平移6个单位长度，常数项需减去6，因此新的函数表达式为$y=-2x-6$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.一次函数图象平移
2.函数平移规律
【点评】
本题属于基础题，主要考查一次函数图象的平移变换，牢记平移规则即可快速准确得分。
【难度系数】
0.9
3.(2025·启东期末)对于一次函数$y=2x-1$，下列说法正确的是 （
A.$y$随$x$的增大而减小
B.图象与直线$y=2x$平行
C.点$(-1,0)$在函数图象上
D.图象与$x$轴的交点坐标为$(2,0)$
B
）A.$y$随$x$的增大而减小
B.图象与直线$y=2x$平行
C.点$(-1,0)$在函数图象上
D.图象与$x$轴的交点坐标为$(2,0)$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查一次函数的相关基础性质，解题时可结合一次函数的性质逐个分析选项：1. 根据k的正负判断函数增减性；2. 依据两一次函数直线平行的条件（k值相等，b值不等）判断平行关系；3. 将点的横坐标代入函数解析式，验证纵坐标是否匹配，判断点是否在图象上；4. 令y=0求解x，即可得到函数与x轴的交点坐标，通过逐一排查选项得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：一次函数$y=2x-1$中$k=2＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大，故A错误；
B选项：直线$y=2x$的斜率$k=2$，截距$b=0$，与$y=2x-1$的$k$值相等、$b$值不相等，满足两直线平行的条件，因此两图象平行，故B正确；
C选项：将$x=-1$代入$y=2x-1$，得$y=2×(-1)-1=-3≠0$，因此点$(-1,0)$不在函数图象上，故C错误；
D选项：令$y=0$，即$2x-1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，因此图象与$x$轴的交点坐标为$(\frac{1}{2},0)$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；两直线平行的判定
【点评】
本题为基础题型，全面覆盖了一次函数的核心基础考点，熟练掌握一次函数的增减性、平行判定规则、点与图象的对应关系、坐标轴交点的求解方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查一次函数的相关基础性质，解题时可结合一次函数的性质逐个分析选项：1. 根据k的正负判断函数增减性；2. 依据两一次函数直线平行的条件（k值相等，b值不等）判断平行关系；3. 将点的横坐标代入函数解析式，验证纵坐标是否匹配，判断点是否在图象上；4. 令y=0求解x，即可得到函数与x轴的交点坐标，通过逐一排查选项得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：一次函数$y=2x-1$中$k=2＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大，故A错误；
B选项：直线$y=2x$的斜率$k=2$，截距$b=0$，与$y=2x-1$的$k$值相等、$b$值不相等，满足两直线平行的条件，因此两图象平行，故B正确；
C选项：将$x=-1$代入$y=2x-1$，得$y=2×(-1)-1=-3≠0$，因此点$(-1,0)$不在函数图象上，故C错误；
D选项：令$y=0$，即$2x-1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，因此图象与$x$轴的交点坐标为$(\frac{1}{2},0)$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；两直线平行的判定
【点评】
本题为基础题型，全面覆盖了一次函数的核心基础考点，熟练掌握一次函数的增减性、平行判定规则、点与图象的对应关系、坐标轴交点的求解方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.(2025·南通期中)直线$y=x+n$与直线$y=mx+6n$($m$是常数,$m≠0$且$m≠1$)交于点$A$,当$n$的值发生变化时,点$A$到直线$y=\frac{3}{4}x-6$的距离总是一个定值,则$m$的值是 （
A.$-\frac{9}{4}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$\frac{9}{4}$
D.$\frac{3}{2}$
C
）A.$-\frac{9}{4}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$\frac{9}{4}$
D.$\frac{3}{2}$
答案
4.C
解析
【分析】
首先我们需要先求出两条直线的交点A的坐标，通过联立两个一次函数解析式，即可用m和n表示出点A的横、纵坐标。题目说明无论n如何变化，点A到定直线$y=\frac{3}{4}x-6$的距离都是定值，说明点A的轨迹是和定直线平行的直线（平行直线间距离处处相等），我们可以通过消去n得到点A所在直线的斜率，令其和定直线斜率相等，即可求出m的值。
【解析】
1. 联立两条直线解析式求点A坐标
联立$\begin{cases}y=x+n \\ y=mx+6n\end{cases}$，令两式相等得：
$x+n=mx+6n$
移项整理得：$x(1-m)=5n$，解得$x=\frac{5n}{1-m}$
将$x=\frac{5n}{1-m}$代入$y=x+n$，计算得：
$y=\frac{5n}{1-m}+n=\frac{n(6-m)}{1-m}$
即点A坐标为$(\frac{5n}{1-m},\frac{n(6-m)}{1-m})$
2. 推导点A所在直线的斜率，利用平行关系列方程
消去点A坐标中的参数n：由$x=\frac{5n}{1-m}$得$n=\frac{x(1-m)}{5}$，代入y的表达式得：
$y=\frac{6-m}{5}x$，即点A始终在直线$y=\frac{6-m}{5}x$上
要让这条直线上所有点到$y=\frac{3}{4}x-6$的距离为定值，两直线需平行，斜率相等，因此：
$\frac{6-m}{5}=\frac{3}{4}$
交叉相乘得：$4(6-m)=15$
解得：$24-4m=15$，$4m=9$，$m=\frac{9}{4}$
【答案】
C
【知识点】
一次函数交点求法，一次函数的性质，平行直线的特征
【点评】
本题是一次函数的综合应用题型，核心是抓住“距离与n无关”的条件，推导出点A的轨迹与定直线平行，将动态定值问题转化为静态的平行直线斜率相等的问题，考查学生对一次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
首先我们需要先求出两条直线的交点A的坐标，通过联立两个一次函数解析式，即可用m和n表示出点A的横、纵坐标。题目说明无论n如何变化，点A到定直线$y=\frac{3}{4}x-6$的距离都是定值，说明点A的轨迹是和定直线平行的直线（平行直线间距离处处相等），我们可以通过消去n得到点A所在直线的斜率，令其和定直线斜率相等，即可求出m的值。
【解析】
1. 联立两条直线解析式求点A坐标
联立$\begin{cases}y=x+n \\ y=mx+6n\end{cases}$，令两式相等得：
$x+n=mx+6n$
移项整理得：$x(1-m)=5n$，解得$x=\frac{5n}{1-m}$
将$x=\frac{5n}{1-m}$代入$y=x+n$，计算得：
$y=\frac{5n}{1-m}+n=\frac{n(6-m)}{1-m}$
即点A坐标为$(\frac{5n}{1-m},\frac{n(6-m)}{1-m})$
2. 推导点A所在直线的斜率，利用平行关系列方程
消去点A坐标中的参数n：由$x=\frac{5n}{1-m}$得$n=\frac{x(1-m)}{5}$，代入y的表达式得：
$y=\frac{6-m}{5}x$，即点A始终在直线$y=\frac{6-m}{5}x$上
要让这条直线上所有点到$y=\frac{3}{4}x-6$的距离为定值，两直线需平行，斜率相等，因此：
$\frac{6-m}{5}=\frac{3}{4}$
交叉相乘得：$4(6-m)=15$
解得：$24-4m=15$，$4m=9$，$m=\frac{9}{4}$
【答案】
C
【知识点】
一次函数交点求法，一次函数的性质，平行直线的特征
【点评】
本题是一次函数的综合应用题型，核心是抓住“距离与n无关”的条件，推导出点A的轨迹与定直线平行，将动态定值问题转化为静态的平行直线斜率相等的问题，考查学生对一次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
二、填空题
5.已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(1,3)$和$(-1,2)$，则$k^2 - b^2=$______.
5.已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(1,3)$和$(-1,2)$，则$k^2 - b^2=$______.
答案
5.-6
解析
【分析】
首先，一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此可将已知的两个点代入y=kx+b，得到关于k、b的两个等式。观察所求代数式$k^2 - b^2$，可以利用平方差公式因式分解为$(k-b)(k+b)$，结合得到的两个等式可直接求出$(k+b)$和$(k-b)$的值，整体代入即可快速得到结果；也可以先解二元一次方程组求出k、b的具体值，再代入代数式计算。
【解析】
方法一（整体代入法）：
∵ 一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(1,3)$和$(-1,2)$
∴ 将$(1,3)$代入解析式得：$k + b = 3$ ①
将$(-1,2)$代入解析式得：$-k + b = 2$，变形可得$k - b = -2$ ②
根据平方差公式：$k^2 - b^2 = (k + b)(k - b)$
将①②代入得：原式$=3×(-2) = -6$
方法二（求解参数后代入）：
∵ 一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(1,3)$和$(-1,2)$
∴ 可列方程组：
$\begin{cases}k + b = 3 \\ -k + b = 2\end{cases}$
两式相加得$2b=5$，解得$b=\frac{5}{2}$
将$b=\frac{5}{2}$代入$k + b = 3$，得$k=\frac{1}{2}$
∴ $k^2 - b^2 = (\frac{1}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 = \frac{1}{4} - \frac{25}{4} = -6$
【答案】
-6
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；平方差公式；二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查一次函数性质与代数式求值的结合，两种解题方法都符合要求，灵活运用因式分解整体代入可简化运算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
首先，一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此可将已知的两个点代入y=kx+b，得到关于k、b的两个等式。观察所求代数式$k^2 - b^2$，可以利用平方差公式因式分解为$(k-b)(k+b)$，结合得到的两个等式可直接求出$(k+b)$和$(k-b)$的值，整体代入即可快速得到结果；也可以先解二元一次方程组求出k、b的具体值，再代入代数式计算。
【解析】
方法一（整体代入法）：
∵ 一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(1,3)$和$(-1,2)$
∴ 将$(1,3)$代入解析式得：$k + b = 3$ ①
将$(-1,2)$代入解析式得：$-k + b = 2$，变形可得$k - b = -2$ ②
根据平方差公式：$k^2 - b^2 = (k + b)(k - b)$
将①②代入得：原式$=3×(-2) = -6$
方法二（求解参数后代入）：
∵ 一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(1,3)$和$(-1,2)$
∴ 可列方程组：
$\begin{cases}k + b = 3 \\ -k + b = 2\end{cases}$
两式相加得$2b=5$，解得$b=\frac{5}{2}$
将$b=\frac{5}{2}$代入$k + b = 3$，得$k=\frac{1}{2}$
∴ $k^2 - b^2 = (\frac{1}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 = \frac{1}{4} - \frac{25}{4} = -6$
【答案】
-6
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；平方差公式；二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查一次函数性质与代数式求值的结合，两种解题方法都符合要求，灵活运用因式分解整体代入可简化运算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
6. 在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度$y(\mathrm{cm})$与所挂物体质量$x(\mathrm{kg})$满足一次函数$y=0.5x+$
12.若在该弹簧秤上挂上物体 A 后弹簧的长度比挂上物体 B 后弹簧的长度长 2.5 cm,则物体A 比 B 重__________kg.
12.若在该弹簧秤上挂上物体 A 后弹簧的长度比挂上物体 B 后弹簧的长度长 2.5 cm,则物体A 比 B 重__________kg.
答案
5
解析
【解析】
设物体A的质量为$x_A\ \mathrm{kg}$，物体B的质量为$x_B\ \mathrm{kg}$。
根据一次函数关系$y=0.5x+12$，可得挂物体A时弹簧长度$y_A=0.5x_A+12$，挂物体B时弹簧长度$y_B=0.5x_B+12$。
由题意知$y_A - y_B=2.5$，代入表达式得：
$(0.5x_A+12)-(0.5x_B+12)=2.5$
化简得：$0.5(x_A - x_B)=2.5$，解得$x_A - x_B=5$。
【答案】
5
【知识点】
一次函数应用
整式化简
【点评】
本题结合弹簧秤的实际情境考查一次函数的应用，无需分别求出两个物体的质量，通过作差消去常数项即可快速得到质量差，侧重考查对一次函数变化量的理解。
【难度系数】
0.8
设物体A的质量为$x_A\ \mathrm{kg}$，物体B的质量为$x_B\ \mathrm{kg}$。
根据一次函数关系$y=0.5x+12$，可得挂物体A时弹簧长度$y_A=0.5x_A+12$，挂物体B时弹簧长度$y_B=0.5x_B+12$。
由题意知$y_A - y_B=2.5$，代入表达式得：
$(0.5x_A+12)-(0.5x_B+12)=2.5$
化简得：$0.5(x_A - x_B)=2.5$，解得$x_A - x_B=5$。
【答案】
5
【知识点】
一次函数应用
整式化简
【点评】
本题结合弹簧秤的实际情境考查一次函数的应用，无需分别求出两个物体的质量，通过作差消去常数项即可快速得到质量差，侧重考查对一次函数变化量的理解。
【难度系数】
0.8
7.直线$y=k_1x+b_1(k_1＞0)$与$y=k_2x+b_2(k_2＜0)$相交于点$(-4,0)$，且两直线与$y$轴围成的三角形的面积为10，那么$b_2 - b_1$的值为________.
答案
7.-5
解析
【分析】
解题时首先需要求出两条直线与y轴的交点坐标，确定两直线和y轴围成三角形的三个顶点，再找到三角形的底（y轴上两个交点的距离）和高（两直线交点到y轴的水平距离），利用三角形面积公式列等式，最后结合k₁、k₂的正负判断b₁和b₂的符号，去掉绝对值后即可求出b₂ - b₁的值。
【解析】
1. 求两直线与y轴的交点：
对于直线$y=k_1x+b_1$，令$x=0$，得$y=b_1$，即与y轴交点为$(0,b_1)$；
对于直线$y=k_2x+b_2$，令$x=0$，得$y=b_2$，即与y轴交点为$(0,b_2)$。
两直线交点为$(-4,0)$，因此两直线与y轴围成的三角形的三个顶点为$(0,b_1)$、$(0,b_2)$、$(-4,0)$。
2. 确定三角形的底和高：
y轴上两个交点的距离为三角形的底，即$\vert b_1 - b_2\vert$；
点$(-4,0)$到y轴的距离为三角形的高，即$\vert -4\vert=4$。
3. 结合面积公式列等式：
已知三角形面积为10，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$\frac{1}{2}×\vert b_1 - b_2\vert×4=10$，化简得$\vert b_1 - b_2\vert=5$。
4. 判断b₁、b₂的符号：
将交点$(-4,0)$代入$y=k_1x+b_1$，得$0=-4k_1 + b_1$，即$b_1=4k_1$，因为$k_1＞0$，所以$b_1＞0$；
将交点$(-4,0)$代入$y=k_2x+b_2$，得$0=-4k_2 + b_2$，即$b_2=4k_2$，因为$k_2＜0$，所以$b_2＜0$。
因此$b_1 - b_2＞0$，即$b_1 - b_2=5$，所以$b_2 - b_1=-5$。
【答案】
-5
【知识点】
一次函数的图像性质，三角形面积计算，一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题将一次函数图像与三角形面积结合考查，解题核心是准确找到围成三角形的底和高，要注意结合一次项系数的正负判断截距的符号，避免绝对值化简时出现符号错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先需要求出两条直线与y轴的交点坐标，确定两直线和y轴围成三角形的三个顶点，再找到三角形的底（y轴上两个交点的距离）和高（两直线交点到y轴的水平距离），利用三角形面积公式列等式，最后结合k₁、k₂的正负判断b₁和b₂的符号，去掉绝对值后即可求出b₂ - b₁的值。
【解析】
1. 求两直线与y轴的交点：
对于直线$y=k_1x+b_1$，令$x=0$，得$y=b_1$，即与y轴交点为$(0,b_1)$；
对于直线$y=k_2x+b_2$，令$x=0$，得$y=b_2$，即与y轴交点为$(0,b_2)$。
两直线交点为$(-4,0)$，因此两直线与y轴围成的三角形的三个顶点为$(0,b_1)$、$(0,b_2)$、$(-4,0)$。
2. 确定三角形的底和高：
y轴上两个交点的距离为三角形的底，即$\vert b_1 - b_2\vert$；
点$(-4,0)$到y轴的距离为三角形的高，即$\vert -4\vert=4$。
3. 结合面积公式列等式：
已知三角形面积为10，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$\frac{1}{2}×\vert b_1 - b_2\vert×4=10$，化简得$\vert b_1 - b_2\vert=5$。
4. 判断b₁、b₂的符号：
将交点$(-4,0)$代入$y=k_1x+b_1$，得$0=-4k_1 + b_1$，即$b_1=4k_1$，因为$k_1＞0$，所以$b_1＞0$；
将交点$(-4,0)$代入$y=k_2x+b_2$，得$0=-4k_2 + b_2$，即$b_2=4k_2$，因为$k_2＜0$，所以$b_2＜0$。
因此$b_1 - b_2＞0$，即$b_1 - b_2=5$，所以$b_2 - b_1=-5$。
【答案】
-5
【知识点】
一次函数的图像性质，三角形面积计算，一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题将一次函数图像与三角形面积结合考查，解题核心是准确找到围成三角形的底和高，要注意结合一次项系数的正负判断截距的符号，避免绝对值化简时出现符号错误。
【难度系数】
0.6
8.在平面直角坐标系中,已知点$A(2,7),B(9,6)$,直线$y=kx(k≠0)$与线段AB有交点,则k的取值范围为________.
答案
8.$\frac{2}{3}≤ k≤ \frac{7}{2}$
解析
【分析】
首先明确正比例函数$y=kx$的图象是恒过原点$(0,0)$的直线，要使该直线与线段AB有交点，临界情况为直线恰好经过线段的两个端点A、B。我们先分别求出直线过A、B两点时对应的k值，再结合正比例函数k的几何意义（k越大，直线倾斜程度越大，越靠近y轴）即可确定k的取值范围，注意端点处也满足交点要求，需要取等号。
【解析】
解：当直线$y=kx$经过点$A(2,7)$时，将$x=2$，$y=7$代入解析式得：
$7 = 2k$
解得$k = \frac{7}{2}$
当直线$y=kx$经过点$B(9,6)$时，将$x=9$，$y=6$代入解析式得：
$6 = 9k$
解得$k = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
结合正比例函数的图象特征：k越大，直线倾斜程度越大，要使直线与线段AB有交点，k的取值需在两个临界值之间，即$\frac{2}{3}≤ k≤ \frac{7}{2}$。
【答案】
$\frac{2}{3}≤ k≤ \frac{7}{2}$
【知识点】
1.正比例函数的图象与性质 2.函数图象上点的坐标特征 3.一次函数交点问题
【点评】
本题解题的核心是抓住正比例函数过原点的特性，通过计算临界状态下的k值确定范围，解题时要注意线段端点属于交点的合法情况，不要漏写等号，同时要避免将k的取值范围写反。
【难度系数】
0.6
首先明确正比例函数$y=kx$的图象是恒过原点$(0,0)$的直线，要使该直线与线段AB有交点，临界情况为直线恰好经过线段的两个端点A、B。我们先分别求出直线过A、B两点时对应的k值，再结合正比例函数k的几何意义（k越大，直线倾斜程度越大，越靠近y轴）即可确定k的取值范围，注意端点处也满足交点要求，需要取等号。
【解析】
解：当直线$y=kx$经过点$A(2,7)$时，将$x=2$，$y=7$代入解析式得：
$7 = 2k$
解得$k = \frac{7}{2}$
当直线$y=kx$经过点$B(9,6)$时，将$x=9$，$y=6$代入解析式得：
$6 = 9k$
解得$k = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
结合正比例函数的图象特征：k越大，直线倾斜程度越大，要使直线与线段AB有交点，k的取值需在两个临界值之间，即$\frac{2}{3}≤ k≤ \frac{7}{2}$。
【答案】
$\frac{2}{3}≤ k≤ \frac{7}{2}$
【知识点】
1.正比例函数的图象与性质 2.函数图象上点的坐标特征 3.一次函数交点问题
【点评】
本题解题的核心是抓住正比例函数过原点的特性，通过计算临界状态下的k值确定范围，解题时要注意线段端点属于交点的合法情况，不要漏写等号，同时要避免将k的取值范围写反。
【难度系数】
0.6
9. 正方形 $ A_1B_1C_1A_2 $，正方形 $ A_2B_2C_2A_3 $，正方形 $ A_3B_3C_3A_4 $，…按如图所示的方式放置，点 $ A_1,A_2,A_3,\dots $ 和点 $ B_1,B_2,B_3,\dots $ 分别在直线 $ y=kx+b(k＞0) $ 和 $ x $ 轴上. 已知点 $ A_1(0,1),B_1(1,0) $，则点 $ C_5 $ 的坐标是 ______.
答案
9.$(47,16)$
解析
【分析】
首先我们需要先确定直线的解析式：已知点$A_1(0,1)$在直线上，可先求出截距$b$，再结合第一个正方形的性质求出点$A_2$的坐标，代入直线方程求出斜率$k$，得到直线解析式。接着依次计算前几个$C$点的坐标，观察横、纵坐标的变化规律，推导出$C_n$的坐标通式，最后代入$n=5$即可得到$C_5$的坐标。
【解析】
1. 求直线解析式：
把$A_1(0,1)$代入$y=kx+b$，得$b=1$，即直线方程为$y=kx+1$。
因为四边形$A_1B_1C_1A_2$是正方形，$A_1(0,1)$，$B_1(1,0)$，可知$A_2$的坐标为$(1,2)$。
将$A_2(1,2)$代入$y=kx+1$，得$2=k×1+1$，解得$k=1$，因此直线解析式为$y=x+1$。
2. 寻找$C$点坐标规律：
计算前几个$C$点坐标：
$C_1$为正方形$A_1B_1C_1A_2$的顶点，坐标为$(2,1)$；
$C_2$为正方形$A_2B_2C_2A_3$的顶点，坐标为$(5,2)$；
$C_3$为正方形$A_3B_3C_3A_4$的顶点，坐标为$(11,4)$；
观察规律可得：$C_n$的纵坐标为$2^{n-1}$，横坐标为$3×2^{n-1}-1$。
3. 求$C_5$的坐标：
当$n=5$时，纵坐标为$2^{5-1}=16$，横坐标为$3×2^{5-1}-1=3×16-1=47$。
【答案】
$(47,16)$
【知识点】
一次函数的性质；正方形的性质；图形规律探究
【点评】
本题属于一次函数与几何图形结合的规律探究题，解题核心是先确定直线解析式，再通过前几个点的坐标归纳出通用规律，考查了学生的逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.4
首先我们需要先确定直线的解析式：已知点$A_1(0,1)$在直线上，可先求出截距$b$，再结合第一个正方形的性质求出点$A_2$的坐标，代入直线方程求出斜率$k$，得到直线解析式。接着依次计算前几个$C$点的坐标，观察横、纵坐标的变化规律，推导出$C_n$的坐标通式，最后代入$n=5$即可得到$C_5$的坐标。
【解析】
1. 求直线解析式：
把$A_1(0,1)$代入$y=kx+b$，得$b=1$，即直线方程为$y=kx+1$。
因为四边形$A_1B_1C_1A_2$是正方形，$A_1(0,1)$，$B_1(1,0)$，可知$A_2$的坐标为$(1,2)$。
将$A_2(1,2)$代入$y=kx+1$，得$2=k×1+1$，解得$k=1$，因此直线解析式为$y=x+1$。
2. 寻找$C$点坐标规律：
计算前几个$C$点坐标：
$C_1$为正方形$A_1B_1C_1A_2$的顶点，坐标为$(2,1)$；
$C_2$为正方形$A_2B_2C_2A_3$的顶点，坐标为$(5,2)$；
$C_3$为正方形$A_3B_3C_3A_4$的顶点，坐标为$(11,4)$；
观察规律可得：$C_n$的纵坐标为$2^{n-1}$，横坐标为$3×2^{n-1}-1$。
3. 求$C_5$的坐标：
当$n=5$时，纵坐标为$2^{5-1}=16$，横坐标为$3×2^{5-1}-1=3×16-1=47$。
【答案】
$(47,16)$
【知识点】
一次函数的性质；正方形的性质；图形规律探究
【点评】
本题属于一次函数与几何图形结合的规律探究题，解题核心是先确定直线解析式，再通过前几个点的坐标归纳出通用规律，考查了学生的逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.4
