20. 为庆祝儿童节，某市中小学统一组织文艺会演，甲、乙两所学校共有 92 名学生参加演出，他们准备统一购买演出服装，已知甲校参加演出的人数比乙校多，且甲校参加演出的人数不足 90 人. 下面是某服装厂给出的演出服装价格表.

如果两所学校分别单独购买演出服装，一共应付 5 000 元.
(1)如果甲、乙两校联合起来购买，那么比各自购买共可以节省多少钱？
(2)甲、乙两校各有多少名学生准备参加演出？
(3)如果甲校有 10 名同学因被抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请为两校设计一种最省钱的购买方案.

20.(1)$5\ 000-92×40=1\ 320$(元).
答:两所学校联合起来购买比各自购买节省1 320元.
(2)设甲校有$x$名学生准备参加演出,乙校有$y$名学生准备参加演出.
由题意得$\begin{cases} x+y=92, \\ 50x+60y=5\ 000, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=52, \\ y=40. \end{cases}$
答:甲校有52名,乙校有40名学生准备参加演出.
(3)$\because$甲校有10人不能参加演出,
$\therefore$甲校参加演出的人数为$52-10=42$(人).
若两校联合购买,则需要$50×(42+40)=4\ 100$(元),
此时比各自购买可以节约$(42+40)×60-4\ 100=820$(元).
但如果两校联合购买91套,只需$40×91=3\ 640$(元),
此时又比联合购买可节省$4\ 100-3\ 640=460$(元),
因此,最省钱的购买方案是两校联合购买91套演出服装(即比实际人数多购9套).

【分析】
(1) 求解节省费用的思路：首先确定两校联合购买的总人数为92，对应价格表中“91及以上”的单价40元/套，先计算联合购买的总花费，再用单独购买的总花费5000元减去联合购买的花费，差值就是节省的金额。
(2) 求解两校人数的思路：首先根据“两校共92人、甲校人数比乙校多且不足90”，判断出甲校人数在46~90区间，对应单价50元/套，乙校人数在1~45区间，对应单价60元/套。设甲、乙两校人数分别为x、y，根据“总人数92”和“单独购买总费用5000元”两个等量关系列二元一次方程组，求解即可得到两校人数。
(3) 求解最省钱方案的思路：先算出甲校抽调10人后两校的总人数为82人，分别计算不同购买方案的总费用，对比后选择费用最低的方案即可，注意要考虑凑最低单价档位的情况。
【解析】
(1) 联合购买92套服装的总费用：$92×40=3680$（元）
节省费用：$5000-3680=1320$（元）
(2) 设甲校有$x$名学生准备参加演出，乙校有$y$名学生准备参加演出。
由题意得：
$\begin{cases} x+y=92 \\ 50x+60y=5000 \end{cases}$
将$y=92-x$代入第二个方程得：
$50x+60(92-x)=5000$
解得$x=52$，则$y=92-52=40$
(3) 甲校抽调10人后，甲校参加人数为$52-10=42$（人），两校总参加人数为$42+40=82$（人）
若两校联合购买82套，费用为$82×50=4100$（元）
若两校联合购买91套，费用为$91×40=3640$（元）
$3640＜4100$，因此购买91套更省钱。
【答案】
(1) 两所学校联合起来购买比各自购买节省1320元。
(2) 甲校有52名，乙校有40名学生准备参加演出。
(3) 最省钱的购买方案是两校联合购买91套演出服装。
【知识点】
二元一次方程组应用、最优方案选择、阶梯计费问题
【点评】
本题结合生活中阶梯定价的消费场景出题，既考查基础的计算和方程求解能力，也要求学生具备全面分析问题的意识，思考方案时要兼顾不同定价档位的优惠规则，不要忽略凑单到更低档位的特殊情况，能够锻炼学生结合实际解决问题的思维。
【难度系数】
0.6