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1. 已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=4$，$BC=5$，则$AC$边的长为（）.
A.3
B.$\sqrt{41}$
C.3或$\sqrt{41}$
D.$\sqrt{7}$
A.3
B.$\sqrt{41}$
C.3或$\sqrt{41}$
D.$\sqrt{7}$
答案
A
解析
【分析】
本题考查勾股定理在直角三角形中的应用，解题时首先要明确直角的位置，从而确定斜边长度：已知∠A=90°，因此∠A的对边BC是直角三角形的斜边，两条直角边为AB和AC。再根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，代入已知边长即可求出AC的长度，解题时要注意不要混淆斜边和直角边，避免计算错误。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠A=90°$，
∴ BC是$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边，根据勾股定理可得：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
将$AB=4$，$BC=5$代入上式：
$4^2 + AC^2 = 5^2$
$16 + AC^2 = 25$
$AC^2 = 25 - 16 = 9$
∵ 三角形边长为正数，
∴ $AC=\sqrt{9}=3$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题的核心是先根据直角的位置确定斜边，再代入勾股定理计算，掌握勾股定理的适用条件即可轻松解题。
【难度系数】
0.85
本题考查勾股定理在直角三角形中的应用，解题时首先要明确直角的位置，从而确定斜边长度：已知∠A=90°，因此∠A的对边BC是直角三角形的斜边，两条直角边为AB和AC。再根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，代入已知边长即可求出AC的长度，解题时要注意不要混淆斜边和直角边，避免计算错误。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠A=90°$，
∴ BC是$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边，根据勾股定理可得：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
将$AB=4$，$BC=5$代入上式：
$4^2 + AC^2 = 5^2$
$16 + AC^2 = 25$
$AC^2 = 25 - 16 = 9$
∵ 三角形边长为正数，
∴ $AC=\sqrt{9}=3$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题的核心是先根据直角的位置确定斜边，再代入勾股定理计算，掌握勾股定理的适用条件即可轻松解题。
【难度系数】
0.85
2. 以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的是（）。
A.2，3，4
B.4，5，6
C.8，15，17
D.11，12，15
A.2，3，4
B.4，5，6
C.8，15，17
D.11，12，15
答案
C
解析
【分析】
本题考查勾股定理逆定理的应用，解题思路如下：要判断三条线段能否构成直角三角形，可利用勾股定理的逆定理验证：①先从每组边长中找出长度最大的边，作为待验证的斜边；②计算两条较短边的平方和；③计算最长边的平方；④若两个结果相等，则这三条边能构成直角三角形，反之则不能，逐一验证选项即可得出答案。
【解析】
我们根据勾股定理的逆定理对各选项逐一验证：
A选项：边长为2，3，4，最长边为4
两条短边平方和：$2^2+3^2=4+9=13$
最长边平方：$4^2=16$
$13≠16$，不能构成直角三角形，不符合题意；
B选项：边长为4，5，6，最长边为6
两条短边平方和：$4^2+5^2=16+25=41$
最长边平方：$6^2=36$
$41≠36$，不能构成直角三角形，不符合题意；
C选项：边长为8，15，17，最长边为17
两条短边平方和：$8^2+15^2=64+225=289$
最长边平方：$17^2=289$
$289=289$，可以构成直角三角形，符合题意；
D选项：边长为11，12，15，最长边为15
两条短边平方和：$11^2+12^2=121+144=265$
最长边平方：$15^2=225$
$265≠225$，不能构成直角三角形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对勾股定理逆定理的理解与应用，解题的关键是熟练掌握逆定理的验证步骤，计算平方时注意运算准确性即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
本题考查勾股定理逆定理的应用，解题思路如下：要判断三条线段能否构成直角三角形，可利用勾股定理的逆定理验证：①先从每组边长中找出长度最大的边，作为待验证的斜边；②计算两条较短边的平方和；③计算最长边的平方；④若两个结果相等，则这三条边能构成直角三角形，反之则不能，逐一验证选项即可得出答案。
【解析】
我们根据勾股定理的逆定理对各选项逐一验证：
A选项：边长为2，3，4，最长边为4
两条短边平方和：$2^2+3^2=4+9=13$
最长边平方：$4^2=16$
$13≠16$，不能构成直角三角形，不符合题意；
B选项：边长为4，5，6，最长边为6
两条短边平方和：$4^2+5^2=16+25=41$
最长边平方：$6^2=36$
$41≠36$，不能构成直角三角形，不符合题意；
C选项：边长为8，15，17，最长边为17
两条短边平方和：$8^2+15^2=64+225=289$
最长边平方：$17^2=289$
$289=289$，可以构成直角三角形，符合题意；
D选项：边长为11，12，15，最长边为15
两条短边平方和：$11^2+12^2=121+144=265$
最长边平方：$15^2=225$
$265≠225$，不能构成直角三角形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对勾股定理逆定理的理解与应用，解题的关键是熟练掌握逆定理的验证步骤，计算平方时注意运算准确性即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在数轴上，点 B 表示的数为 1，点 D 表示的数为 -1，CD 的长度为 1. 连接 BC，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转，使点 C 落在数轴上的点 A 处，则点 A 表示的数为（）.
A.$\sqrt{5}+1$
B.$-\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5}-1$
D.$1-\sqrt{5}$
A.$\sqrt{5}+1$
B.$-\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5}-1$
D.$1-\sqrt{5}$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先抓住旋转的性质：旋转前后对应线段长度相等，可得BA=BC，因此先计算BC的长度即可得到BA的长度。首先观察图形，△CDB是直角三角形，已知CD=1，先求出BD的长度，再用勾股定理计算BC的长度；最后结合点A在点B左侧，用点B表示的数减去BA的长度，即可得到点A表示的数。
【解析】
第一步：求BD的长度
∵ 点B表示的数为1，点D表示的数为-1，
∴ $BD = 1 - (-1) = 2$。
第二步：用勾股定理求BC的长度
∵ $CD⊥BD$，$CD=1$，
∴ 在$Rt△ CDB$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$。
第三步：结合旋转性质求点A表示的数
∵ 线段BC绕点B旋转得到BA，
∴ $BA = BC = \sqrt{5}$。
又
∵ 点A在点B的左侧，点B表示的数为1，
∴ 点A表示的数为 $1 - \sqrt{5}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，数轴与实数
【点评】
本题是几何与数轴结合的基础题，解题的核心是利用旋转的性质得到相等线段，再结合勾股定理求出线段长度，最后根据数轴上点的位置关系确定点对应的实数，解题时要注意点的位置，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住旋转的性质：旋转前后对应线段长度相等，可得BA=BC，因此先计算BC的长度即可得到BA的长度。首先观察图形，△CDB是直角三角形，已知CD=1，先求出BD的长度，再用勾股定理计算BC的长度；最后结合点A在点B左侧，用点B表示的数减去BA的长度，即可得到点A表示的数。
【解析】
第一步：求BD的长度
∵ 点B表示的数为1，点D表示的数为-1，
∴ $BD = 1 - (-1) = 2$。
第二步：用勾股定理求BC的长度
∵ $CD⊥BD$，$CD=1$，
∴ 在$Rt△ CDB$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$。
第三步：结合旋转性质求点A表示的数
∵ 线段BC绕点B旋转得到BA，
∴ $BA = BC = \sqrt{5}$。
又
∵ 点A在点B的左侧，点B表示的数为1，
∴ 点A表示的数为 $1 - \sqrt{5}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，数轴与实数
【点评】
本题是几何与数轴结合的基础题，解题的核心是利用旋转的性质得到相等线段，再结合勾股定理求出线段长度，最后根据数轴上点的位置关系确定点对应的实数，解题时要注意点的位置，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
4. 某校11名学生演讲比赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前5名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这11名学生成绩的（）。
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
答案
B
解析
【分析】
解题时首先明确核心需求：判断自身成绩是否进入前5名，需要找到能反映排名临界位置的统计量。首先11个不同的成绩按大小排序后，共11个数据，奇数个数据的中位数是排序后第6名的成绩：如果选手成绩高于中位数，说明排名在第6名之前，即可进入前5；如果低于中位数，则排名在第6名及之后，无法进入前5。再逐一排除不符合要求的统计量：平均数反映整体平均水平，无法确定个体排名；众数是出现次数最多的数，本题成绩均不同，众数无实际参考价值；方差反映数据波动程度，和排名无关，因此最终选中位数。
【解析】
1. 首先明确11个互不相同的成绩按从高到低排序后，奇数个数据的中位数为第$\frac{11+1}{2}=6$个数据，也就是第6名的成绩。
2. 若选手成绩高于中位数，说明他的排名在第6名之前，属于前5名；若成绩低于中位数，说明排名在第6名及之后，无法进入前5，因此知道中位数即可判断是否进入前5。
3. 排除其他选项：
A选项平均数反映的是所有成绩的平均水平，受极端值影响，无法体现个体的排名位置；
C选项众数是一组数据中出现次数最多的数，本题所有成绩各不相同，众数无参考意义，也不能反映排名；
D选项方差反映的是数据的波动大小，与成绩排名无关。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
中位数的意义；统计量的选择
【点评】
本题考查常见统计量的实际应用，需要结合不同统计量的含义匹配实际场景的需求，属于基础应用型题目，理解各统计量的核心作用即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确核心需求：判断自身成绩是否进入前5名，需要找到能反映排名临界位置的统计量。首先11个不同的成绩按大小排序后，共11个数据，奇数个数据的中位数是排序后第6名的成绩：如果选手成绩高于中位数，说明排名在第6名之前，即可进入前5；如果低于中位数，则排名在第6名及之后，无法进入前5。再逐一排除不符合要求的统计量：平均数反映整体平均水平，无法确定个体排名；众数是出现次数最多的数，本题成绩均不同，众数无实际参考价值；方差反映数据波动程度，和排名无关，因此最终选中位数。
【解析】
1. 首先明确11个互不相同的成绩按从高到低排序后，奇数个数据的中位数为第$\frac{11+1}{2}=6$个数据，也就是第6名的成绩。
2. 若选手成绩高于中位数，说明他的排名在第6名之前，属于前5名；若成绩低于中位数，说明排名在第6名及之后，无法进入前5，因此知道中位数即可判断是否进入前5。
3. 排除其他选项：
A选项平均数反映的是所有成绩的平均水平，受极端值影响，无法体现个体的排名位置；
C选项众数是一组数据中出现次数最多的数，本题所有成绩各不相同，众数无参考意义，也不能反映排名；
D选项方差反映的是数据的波动大小，与成绩排名无关。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
中位数的意义；统计量的选择
【点评】
本题考查常见统计量的实际应用，需要结合不同统计量的含义匹配实际场景的需求，属于基础应用型题目，理解各统计量的核心作用即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. “折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为（）.
A.3尺
B.5尺
C.4.2尺
D.4尺
A.3尺
B.5尺
C.4.2尺
D.4尺
答案
C
解析
【分析】
这是一道古代数学实际应用问题，可转化为直角三角形求解问题。首先明确等量关系：折断后直立的竹子高度、抵地处到竹子根部的距离、折断的斜段竹子三者构成直角三角形，且直立高度+斜段长度=竹子原高10尺。我们可以先设折断后的高度为未知数，用未知数表示出斜段的长度，再结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
首先换算单位：1丈=10尺。
设折断后的竹子高度为$x$尺，则折断的斜段竹子长度为$(10-x)$尺。
由题意可知，直立的竹子、地面的4尺距离、斜段竹子构成直角三角形，其中直立部分和4尺为两条直角边，斜段为斜边，根据勾股定理可得：
$x^2 + 4^2 = (10-x)^2$
展开计算：
$x^2 + 16 = 100 - 20x + x^2$
消去两边的$x^2$，移项得：
$20x = 100 - 16$
$20x = 84$
解得$x=4.2$，即折断后的竹子高度为4.2尺。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是经典的古代数学问题，核心考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，需要结合勾股定理找到等量关系建立方程求解，解题的关键是正确表示出直角三角形三条边的长度。
【难度系数】
0.7
这是一道古代数学实际应用问题，可转化为直角三角形求解问题。首先明确等量关系：折断后直立的竹子高度、抵地处到竹子根部的距离、折断的斜段竹子三者构成直角三角形，且直立高度+斜段长度=竹子原高10尺。我们可以先设折断后的高度为未知数，用未知数表示出斜段的长度，再结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
首先换算单位：1丈=10尺。
设折断后的竹子高度为$x$尺，则折断的斜段竹子长度为$(10-x)$尺。
由题意可知，直立的竹子、地面的4尺距离、斜段竹子构成直角三角形，其中直立部分和4尺为两条直角边，斜段为斜边，根据勾股定理可得：
$x^2 + 4^2 = (10-x)^2$
展开计算：
$x^2 + 16 = 100 - 20x + x^2$
消去两边的$x^2$，移项得：
$20x = 100 - 16$
$20x = 84$
解得$x=4.2$，即折断后的竹子高度为4.2尺。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是经典的古代数学问题，核心考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，需要结合勾股定理找到等量关系建立方程求解，解题的关键是正确表示出直角三角形三条边的长度。
【难度系数】
0.7
6. 在平面直角坐标系中，若点$ P $的坐标为$ (1, -3) $，则点$ P $到原点的距离为________.
答案
$ \sqrt{10} $
解析
【分析】
要求平面直角坐标系中点P到原点的距离，首先明确原点的坐标为(0,0)，回忆两点间距离公式：若两点坐标分别为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点间的距离为$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。我们只需要将点P的坐标和原点坐标代入公式，依次计算横坐标差的平方、纵坐标差的平方，求和后开算术平方根即可得到结果，计算时注意负数的平方为正数。
【解析】
解：平面直角坐标系中，原点的坐标为$(0,0)$，已知点P坐标为$(1,-3)$。
根据两点间距离公式，点P到原点的距离为：
$\begin{aligned}OP&=\sqrt{(1-0)^2 + (-3-0)^2}\\&=\sqrt{1^2 + (-3)^2}\\&=\sqrt{1 + 9}\\&=\sqrt{10}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
两点间距离公式，平方的运算性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考察两点间距离公式的直接应用，计算难度较低，只要熟练掌握公式，计算时注意符号处理即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
要求平面直角坐标系中点P到原点的距离，首先明确原点的坐标为(0,0)，回忆两点间距离公式：若两点坐标分别为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点间的距离为$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。我们只需要将点P的坐标和原点坐标代入公式，依次计算横坐标差的平方、纵坐标差的平方，求和后开算术平方根即可得到结果，计算时注意负数的平方为正数。
【解析】
解：平面直角坐标系中，原点的坐标为$(0,0)$，已知点P坐标为$(1,-3)$。
根据两点间距离公式，点P到原点的距离为：
$\begin{aligned}OP&=\sqrt{(1-0)^2 + (-3-0)^2}\\&=\sqrt{1^2 + (-3)^2}\\&=\sqrt{1 + 9}\\&=\sqrt{10}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
两点间距离公式，平方的运算性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考察两点间距离公式的直接应用，计算难度较低，只要熟练掌握公式，计算时注意符号处理即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
7. 如图，甲船从港口 $ O $ 出发，以 16 海里/小时的速度向北偏西 $ 50° $ 方向航行，乙船同时从港口 $ O $ 出发，沿 $ OA $ 方向以 12 海里/小时的速度航行，航行 1 小时后，两船相距 20 海里，则乙船航行的方向是.
答案
南偏西$40°$
解析
【分析】
解题时首先根据“路程=速度×时间”计算两船航行1小时的路程，得到三角形的两条边长，结合两船的距离，用勾股定理的逆定理判断出两船航行路线的夹角为直角；再结合甲船的航行方向，根据平角的性质计算出乙船航行方向与正南方向的夹角，即可确定乙船的航行方向。
【解析】
解：航行1小时后：
甲船行驶的路程：$16 × 1 = 16$（海里）
乙船行驶的路程：$12 × 1 = 12$（海里）
已知两船相距20海里，计算三边关系：
$12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$
根据勾股定理的逆定理可得：两船的航行路线的夹角为$90°$。
已知甲船向北偏西$50°$方向航行，正北、正南方向在同一条直线上，因此乙船航行方向与正南方向的夹角为：
$180° - 50° - 90° = 40°$
且乙船航行方向在正南方向西侧，因此乙船航行方向为南偏西$40°$。
【答案】
南偏西$40°$
【知识点】
勾股定理的逆定理；方向角的判定；行程问题基本公式
【点评】
本题是行程与几何的综合题，解题关键是先通过三边长度关系判定直角，再结合已知方向角推算未知方向，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据“路程=速度×时间”计算两船航行1小时的路程，得到三角形的两条边长，结合两船的距离，用勾股定理的逆定理判断出两船航行路线的夹角为直角；再结合甲船的航行方向，根据平角的性质计算出乙船航行方向与正南方向的夹角，即可确定乙船的航行方向。
【解析】
解：航行1小时后：
甲船行驶的路程：$16 × 1 = 16$（海里）
乙船行驶的路程：$12 × 1 = 12$（海里）
已知两船相距20海里，计算三边关系：
$12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$
根据勾股定理的逆定理可得：两船的航行路线的夹角为$90°$。
已知甲船向北偏西$50°$方向航行，正北、正南方向在同一条直线上，因此乙船航行方向与正南方向的夹角为：
$180° - 50° - 90° = 40°$
且乙船航行方向在正南方向西侧，因此乙船航行方向为南偏西$40°$。
【答案】
南偏西$40°$
【知识点】
勾股定理的逆定理；方向角的判定；行程问题基本公式
【点评】
本题是行程与几何的综合题，解题关键是先通过三边长度关系判定直角，再结合已知方向角推算未知方向，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
8. 某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占
南
30%、演唱技巧占50%、精神面貌占20%的比例考评. 某参赛队歌曲内容获得90分，演唱
技巧获得94分，精神面貌获得95分，则该参赛队的最终成绩是分.
南
30%、演唱技巧占50%、精神面貌占20%的比例考评. 某参赛队歌曲内容获得90分，演唱
技巧获得94分，精神面貌获得95分，则该参赛队的最终成绩是分.
答案
93
解析
【分析】
本题是加权平均数的实际应用问题，解题时首先要明确各考评项目对应的权重（即题目给出的占比），最终成绩不是三个得分的算术平均数，而是各项目得分乘以对应权重后的总和，按这个逻辑代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
根据题意，最终成绩按加权平均计算：
1. 计算歌曲内容的加权得分：$90×30\%=90×0.3=27$分
2. 计算演唱技巧的加权得分：$94×50\%=94×0.5=47$分
3. 计算精神面貌的加权得分：$95×20\%=95×0.2=19$分
4. 求和得到最终成绩：$27+47+19=93$分
【答案】
93
【知识点】
加权平均数计算、百分数运算
【点评】
本题是统计知识在生活场景中的简单应用，解题的核心是正确理解权重的含义，按照加权平均数的计算规则运算即可，计算时注意百分数转小数的准确性，避免粗心出错。
【难度系数】
0.9
本题是加权平均数的实际应用问题，解题时首先要明确各考评项目对应的权重（即题目给出的占比），最终成绩不是三个得分的算术平均数，而是各项目得分乘以对应权重后的总和，按这个逻辑代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
根据题意，最终成绩按加权平均计算：
1. 计算歌曲内容的加权得分：$90×30\%=90×0.3=27$分
2. 计算演唱技巧的加权得分：$94×50\%=94×0.5=47$分
3. 计算精神面貌的加权得分：$95×20\%=95×0.2=19$分
4. 求和得到最终成绩：$27+47+19=93$分
【答案】
93
【知识点】
加权平均数计算、百分数运算
【点评】
本题是统计知识在生活场景中的简单应用，解题的核心是正确理解权重的含义，按照加权平均数的计算规则运算即可，计算时注意百分数转小数的准确性，避免粗心出错。
【难度系数】
0.9
