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1. (★)不等式组$\begin{cases}x - 3(x - 1) ≤ 7, \\2x + 4 ＞ 3x\end{cases}$的解集为 （ ）
A.$-2 ＜ x ＜ 4$
B.$x ＜ 4$或$x ≥ -2$
C.$-2 ≤ x ＜ 4$
D.$-2 ＜ x ≤ 4$
A.$-2 ＜ x ＜ 4$
B.$x ＜ 4$或$x ≥ -2$
C.$-2 ≤ x ＜ 4$
D.$-2 ＜ x ≤ 4$
答案
C
解析
解不等式$x - 3(x - 1) ≤ 7$，得$x ≥ -2$；解不等式$2x + 4 ＞ 3x$，得$x ＜ 4$；取两不等式解集的交集，得不等式组的解集为$-2 ≤ x ＜ 4$。
2. (★★)一元一次不等式组$\begin{cases}7x - 6 ＜ 5x + 3, \\4x + 3 ＜ 6x + 8\end{cases}$的解集中,整数的个数是 （ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
A.4
B.5
C.6
D.7
答案
D
解析
解不等式$7x - 6 ＜ 5x + 3$，移项得$2x＜9$，即$x＜4.5$；解不等式$4x + 3 ＜ 6x + 8$，移项得$-2x＜5$，即$x＞-2.5$。不等式组的解集为$-2.5＜x＜4.5$，其中整数解为$-2、-1、0、1、2、3、4$，共7个。
3. (★★)不等式组$\begin{cases}x-1＞0, \\ 4-2x≥0\end{cases}$的解集在数轴上表示为 （ ）
答案
解：
解不等式$x - 1 ＞ 0$，得$x ＞ 1$。
解不等式$4 - 2x ≥ 0$，得：
$-2x ≥ -4$，
$x ≤ 2$。
所以不等式组的解集为$1 ＜ x ≤ 2$。
观察各选项的数轴表示，选项C符合该解集。
答：C。
解不等式$x - 1 ＞ 0$，得$x ＞ 1$。
解不等式$4 - 2x ≥ 0$，得：
$-2x ≥ -4$，
$x ≤ 2$。
所以不等式组的解集为$1 ＜ x ≤ 2$。
观察各选项的数轴表示，选项C符合该解集。
答：C。
4.(★★)如果关于$x$的不等式组$\begin{cases}x＞1, \\ x≤ m\end{cases}$无解,那么$m$的取值范围是 （ ）
A.$m＞1$
B.$m≥1$
C.$m＜1$
D.$m≤1$
A.$m＞1$
B.$m≥1$
C.$m＜1$
D.$m≤1$
答案
D
解析
对于不等式组$\begin{cases}x＞1 \\ x≤m\end{cases}$，根据不等式组无解的判定原则“大大小小找不到”，当$m≤1$时，两个不等式无公共解，因此$m$的取值范围是$m≤1$。
5. (★★)不等式$\begin{cases} x-1≥ 0, \\ 4-2x＜0 \end{cases}$的最小整数解是________.
答案
解：解不等式$x - 1 ≥ 0$，得$x ≥ 1$；
解不等式$4 - 2x ＜ 0$，移项得$-2x ＜ -4$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ＞ 2$；
所以不等式组的解集为$x ＞ 2$，满足该解集的最小整数是$3$。
故答案为$3$。
解不等式$4 - 2x ＜ 0$，移项得$-2x ＜ -4$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ＞ 2$；
所以不等式组的解集为$x ＞ 2$，满足该解集的最小整数是$3$。
故答案为$3$。
6.(★★)已知关于$x$的不等式组$\begin{cases} x - a ≥ 0, \\ 3 - 2x ≥ -1 \end{cases}$的整数解共有5个，则$a$的取值范围是________.
答案
解：
解不等式$x - a ≥ 0$，得$x ≥ a$；
解不等式$3 - 2x ≥ -1$，移项得$-2x ≥ -4$，两边同除以$-2$，不等号方向改变，得$x ≤ 2$；
所以不等式组的解集为$a ≤ x ≤ 2$。
因为不等式组的整数解共有5个，分别为$2,1,0,-1,-2$，
所以$a$的取值范围是$-3 ＜ a ≤ -2$。
解不等式$x - a ≥ 0$，得$x ≥ a$；
解不等式$3 - 2x ≥ -1$，移项得$-2x ≥ -4$，两边同除以$-2$，不等号方向改变，得$x ≤ 2$；
所以不等式组的解集为$a ≤ x ≤ 2$。
因为不等式组的整数解共有5个，分别为$2,1,0,-1,-2$，
所以$a$的取值范围是$-3 ＜ a ≤ -2$。
7. (★★★)已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x+3y=4m+y,\\x-y=3m-4\end{cases}$的解是一对正数.
(1)试用含$m$的式子表示方程组的解；
(2)求实数$m$的取值范围.
(1)试用含$m$的式子表示方程组的解；
(2)求实数$m$的取值范围.
答案
解：
(1) 先化简原方程组：
原方程组整理为：
$\begin{cases}2x + 2y = 4m \\ x - y = 3m - 4\end{cases}$
即$\begin{cases}x + y = 2m ① \\ x - y = 3m - 4 ②\end{cases}$
①+②得：$2x = 5m - 4$，解得$x = \frac{5m - 4}{2}$
把$x = \frac{5m - 4}{2}$代入①得：$\frac{5m - 4}{2} + y = 2m$
解得$y = 2m - \frac{5m - 4}{2} = \frac{4 - m}{2}$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{5m - 4}{2} \\ y = \frac{4 - m}{2}\end{cases}$
(2) 因为方程组的解是一对正数，所以：
$\begin{cases}\frac{5m - 4}{2} ＞ 0 \\ \frac{4 - m}{2} ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式：$5m - 4 ＞ 0$，得$m ＞ \frac{4}{5}$
解第二个不等式：$4 - m ＞ 0$，得$m ＜ 4$
所以$m$的取值范围是$\frac{4}{5} ＜ m ＜ 4$
(1) 先化简原方程组：
原方程组整理为：
$\begin{cases}2x + 2y = 4m \\ x - y = 3m - 4\end{cases}$
即$\begin{cases}x + y = 2m ① \\ x - y = 3m - 4 ②\end{cases}$
①+②得：$2x = 5m - 4$，解得$x = \frac{5m - 4}{2}$
把$x = \frac{5m - 4}{2}$代入①得：$\frac{5m - 4}{2} + y = 2m$
解得$y = 2m - \frac{5m - 4}{2} = \frac{4 - m}{2}$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{5m - 4}{2} \\ y = \frac{4 - m}{2}\end{cases}$
(2) 因为方程组的解是一对正数，所以：
$\begin{cases}\frac{5m - 4}{2} ＞ 0 \\ \frac{4 - m}{2} ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式：$5m - 4 ＞ 0$，得$m ＞ \frac{4}{5}$
解第二个不等式：$4 - m ＞ 0$，得$m ＜ 4$
所以$m$的取值范围是$\frac{4}{5} ＜ m ＜ 4$
