13.将一副三角尺的直角顶点 C 按图1方式叠放在一起,其中∠A=60°,∠D=30°,∠B=45°.

(1)写出∠1与∠3之间的数量关系:.
(2)求∠2与∠ACB之间的数量关系.
(3)如图2,当∠ACE＜180°,且点 E 在直线 AC 的上方时,将三角尺 ACD 固定不动,改变三角尺 BCE 的位置,始终保持两把三角尺的顶点 C 重合,这两把三角尺是否存在一组边互相平行?若存在,求出∠ACE 所有可能的度数.

13.解:(1)$∠1=∠3$
(2)因为$∠ACD=∠BCE=90°$,所以$∠1+∠2+∠3+∠2=∠ACD+∠BCE=180°.$因为$∠ACB=∠1+∠2+∠3$,所以$∠ACB+∠2=180°.$
(3)存在,有5种情况.

①如图1,当$BC// AD$时,有$∠BCD=∠D=30°$,所以$∠ACE=∠BCD=30°.$
②如图2,当$BE// AC$时,有$∠ACE=∠E=45°.$
③如图3,当$AD// CE$时,有$∠DCE=∠D=30°$,所以$∠ACE=∠ACD+∠DCE=90°+30°=120°.$
④如图4,当$BE// CD$时,有$∠DCE=∠E=45°$,所以$∠ACE=∠ACD+∠DCE=90°+45°=135°.$
⑤如图5,当$BE// AD$时,过点C作$CF// AD$(点F在点C上方).因为$BE// AD,CF// AD$,所以$BE// AD// CF$,所以$∠ECF=∠E=45°,∠DCF=∠D=30°$,所以$∠DCE=∠DCF+∠ECF=30°+45°=75°$,所以$∠ACE=∠ACD+∠DCE=90°+75°=165°.$
综上所述,当$∠ACE=30°$或$45°$或$120°$或$135°$或$165°$时,这两把三角尺存在一组边互相平行.

【分析】
(1) 观察图形可得∠ACD和∠BCE均为90°，即∠1+∠2=90°、∠3+∠2=90°，根据同角的余角相等即可推出∠1和∠3的数量关系。
(2) 先将∠ACB拆分为∠1+∠2+∠3，再结合两个直角的和为180°，可得∠1+∠2+∠3+∠2=180°，代入后即可得到∠2和∠ACB的数量关系。
(3) 需分类讨论所有可能的边平行的情况：分别考虑BC//AD、BE//AC、AD//CE、BE//CD、BE//AD五种情形，结合平行线的性质和三角尺的已知角度，计算对应∠ACE的度数，同时满足∠ACE＜180°且点E在直线AC上方的条件即可。
【解析】
(1) 因为∠ACD=∠BCE=90°，所以∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，因此∠1=∠3。
(2) 因为∠ACD=∠BCE=90°，所以∠1+∠2+∠3+∠2=∠ACD+∠BCE=180°，又因为∠ACB=∠1+∠2+∠3，代入可得∠ACB+∠2=180°。
(3) 存在，共有5种情况：
① 如图1，当$BC// AD$时，根据两直线平行，内错角相等，得$∠BCD=∠D=30°$，所以$∠ACE=∠BCD=30°$。
② 如图2，当$BE// AC$时，根据两直线平行，内错角相等，得$∠ACE=∠E=45°$。
③ 如图3，当$AD// CE$时，根据两直线平行，内错角相等，得$∠DCE=∠D=30°$，所以$∠ACE=∠ACD+∠DCE=90°+30°=120°$。
④ 如图4，当$BE// CD$时，根据两直线平行，内错角相等，得$∠DCE=∠E=45°$，所以$∠ACE=∠ACD+∠DCE=90°+45°=135°$。
⑤ 如图5，当$BE// AD$时，过点C作$CF// AD$(点F在点C上方)。因为$BE// AD,CF// AD$，所以$BE// AD// CF$，根据两直线平行，内错角相等，得$∠ECF=∠E=45°,∠DCF=∠D=30°$，所以$∠DCE=∠DCF+∠ECF=30°+45°=75°$，因此$∠ACE=∠ACD+∠DCE=90°+75°=165°$。
综上，所有满足条件的∠ACE的度数为30°、45°、120°、135°、165°。
【答案】
(1)$∠1=∠3$
(2)$∠ACB+∠2=180°$
(3)存在，$∠ ACE$的度数为$30°$或$45°$或$120°$或$135°$或$165°$

【知识点】
同角的余角相等；平行线的性质；角的和差计算
【点评】
本题以三角尺叠放为载体，考查了角的数量关系推导和平行线性质的应用，解题时需要运用分类讨论思想，全面梳理所有可能的边平行的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.5