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【典例1】(教材P119活动1)如图是某月的月历.
(1)选择其中所示的方框部分,将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘,再相减,能得出什么结论?请再选择几个类似的部分试一试,看一看是否符合这个规律;
(2)请利用整式的运算对以上的规律加以证明.
(1)选择其中所示的方框部分,将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘,再相减,能得出什么结论?请再选择几个类似的部分试一试,看一看是否符合这个规律;
(2)请利用整式的运算对以上的规律加以证明.
答案
(1)差不变,为7;
(2)第一个数为x,
$(x+1)(x+7)-x(x+8)$
$=x^2+8x+7-x^2-8x=7.$
(2)第一个数为x,
$(x+1)(x+7)-x(x+8)$
$=x^2+8x+7-x^2-8x=7.$
解析
【分析】
解决第(1)问时，先分别计算题目给出的两个方框内4个数交叉相乘再相减的结果，对比结果总结规律，再另选几组同类型的2×2方框验证规律是否普遍成立。解决第(2)问时，结合月历的数字特征：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7，设方框中最小的数为x，用含x的代数式表示出其余3个数，再按照交叉相乘相减的要求列出整式，通过整式乘法运算化简即可完成证明。
【解析】
(1) 计算第一个方框的运算结果：
交叉相乘得$7×13=91$，$6×14=84$，相减得$91-84=7$；
计算第二个方框的运算结果：
交叉相乘得$17×23=391$，$16×24=384$，相减得$391-384=7$；
再任选一组2×2方框验证，例如含5、6、12、13的方框，运算得$6×12-5×13=72-65=7$，同样符合规律，最终得到结论。
(2) 证明：设2×2方框中最小的数为$x$，根据月历数字规律，其余三个数分别为$x+1$、$x+7$、$x+8$。
按要求列式计算：
$(x+1)(x+7)-x(x+8)$
$=x^2+8x+7-x^2-8x$
$=7$
规律得证。
【答案】
(1) 差不变，为7；
(2) 设第一个数为$x$，
$(x+1)(x+7)-x(x+8)$
$=x^2+8x+7-x^2-8x=7$
【知识点】
1. 月历数字规律
2. 整式乘法运算
3. 规律探究证明
【点评】
本题结合生活中常见的月历设计问题，引导学生先通过具体计算发现规律，再通过代数运算严谨证明规律，很好地锻炼了从特殊到一般的逻辑探究能力，也体现了代数运算在规律验证中的实际作用。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问时，先分别计算题目给出的两个方框内4个数交叉相乘再相减的结果，对比结果总结规律，再另选几组同类型的2×2方框验证规律是否普遍成立。解决第(2)问时，结合月历的数字特征：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7，设方框中最小的数为x，用含x的代数式表示出其余3个数，再按照交叉相乘相减的要求列出整式，通过整式乘法运算化简即可完成证明。
【解析】
(1) 计算第一个方框的运算结果：
交叉相乘得$7×13=91$，$6×14=84$，相减得$91-84=7$；
计算第二个方框的运算结果：
交叉相乘得$17×23=391$，$16×24=384$，相减得$391-384=7$；
再任选一组2×2方框验证，例如含5、6、12、13的方框，运算得$6×12-5×13=72-65=7$，同样符合规律，最终得到结论。
(2) 证明：设2×2方框中最小的数为$x$，根据月历数字规律，其余三个数分别为$x+1$、$x+7$、$x+8$。
按要求列式计算：
$(x+1)(x+7)-x(x+8)$
$=x^2+8x+7-x^2-8x$
$=7$
规律得证。
【答案】
(1) 差不变，为7；
(2) 设第一个数为$x$，
$(x+1)(x+7)-x(x+8)$
$=x^2+8x+7-x^2-8x=7$
【知识点】
1. 月历数字规律
2. 整式乘法运算
3. 规律探究证明
【点评】
本题结合生活中常见的月历设计问题，引导学生先通过具体计算发现规律，再通过代数运算严谨证明规律，很好地锻炼了从特殊到一般的逻辑探究能力，也体现了代数运算在规律验证中的实际作用。
【难度系数】
0.7
变式1.在月历中任意取$3× 3$方框，取“十字型”的5个数字如下探究$ab-xy$的值. 
答案
解:设中间数为m,则
$ab-xy=(m-1)(m+1)-(m-7)(m+7)$
$=m^2-1-(m^2-49)=48.$
$ab-xy=(m-1)(m+1)-(m-7)(m+7)$
$=m^2-1-(m^2-49)=48.$
解析
【分析】
解题首先要明确月历的数字排列规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。本题为代数式求值问题，可选取十字中间的数作为中间量m，将a、b、x、y四个数都用含m的代数式表示，再代入ab-xy中，利用平方差公式展开化简，消去m后即可得到定值。
【解析】
解：设十字型中间的数为m，根据月历的数字规律可得：
$a=m-1$，$b=m+1$，$x=m-7$，$y=m+7$
将上述式子代入$ab-xy$得：
$\begin{aligned}ab-xy&=(m-1)(m+1)-(m-7)(m+7)\\&=(m^2-1)-(m^2-49)\\&=m^2-1-m^2+49\\&=48\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{48}$
【知识点】
平方差公式；整式化简；规律探究
【点评】
本题结合生活中月历的数字规律考查整式乘法的应用，解题核心是找准各数字与中间数的数量关系，通过设中间量的方法将所求代数式转化为整式乘法运算，利用平方差公式即可快速化简得到结果，能有效锻炼学生的规律探索能力和公式应用能力。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确月历的数字排列规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。本题为代数式求值问题，可选取十字中间的数作为中间量m，将a、b、x、y四个数都用含m的代数式表示，再代入ab-xy中，利用平方差公式展开化简，消去m后即可得到定值。
【解析】
解：设十字型中间的数为m，根据月历的数字规律可得：
$a=m-1$，$b=m+1$，$x=m-7$，$y=m+7$
将上述式子代入$ab-xy$得：
$\begin{aligned}ab-xy&=(m-1)(m+1)-(m-7)(m+7)\\&=(m^2-1)-(m^2-49)\\&=m^2-1-m^2+49\\&=48\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{48}$
【知识点】
平方差公式；整式化简；规律探究
【点评】
本题结合生活中月历的数字规律考查整式乘法的应用，解题核心是找准各数字与中间数的数量关系，通过设中间量的方法将所求代数式转化为整式乘法运算，利用平方差公式即可快速化简得到结果，能有效锻炼学生的规律探索能力和公式应用能力。
【难度系数】
0.7
变式2.如图所示的是2025年1月份的月历，“Z字型”“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字(两种阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右平移).将“Z字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作$m$，将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作$n$，若$m-n=30$，则$m+n$的值为
900
.答案
解:设“Z字型”最小数为x,最大数为$x+16$,
$\therefore m=x(x+16),$
“十字型”最小数为y,最大数为$y+14$,
$n=y(y+14),m-n=30,$
$x(x+16)-y(y+14)=30,$
$\therefore (x+y+15)(x-y+1)=45,$
$\because x,y$为正整数,
$\therefore \begin{cases} x-y+1=1 \\ x+y+15=45 \end{cases},$
$\therefore x=y=15,\therefore m+n=900.$
$\therefore m=x(x+16),$
“十字型”最小数为y,最大数为$y+14$,
$n=y(y+14),m-n=30,$
$x(x+16)-y(y+14)=30,$
$\therefore (x+y+15)(x-y+1)=45,$
$\because x,y$为正整数,
$\therefore \begin{cases} x-y+1=1 \\ x+y+15=45 \end{cases},$
$\therefore x=y=15,\therefore m+n=900.$
解析
【分析】
首先观察月历中阴影图形的数字规律：“Z字型”覆盖的5个数中，最大数比最小数大16，“十字型”覆盖的5个数中，最大数比最小数大14。接着分别设两种图形的最小数为x、y，即可表示出m和n，再根据m-n=30列方程，将方程整理后用平方差公式因式分解为两个整数乘积为45的形式，结合x、y是月历中的正整数筛选出合理的整数解，最后代入计算m+n的值即可。
【解析】
解：观察月历中阴影数字的规律：
“Z字型”覆盖的数中最大数比最小数大16，设其最小数为x，则最大数为$x+16$，因此$m=x(x+16)$；
“十字型”覆盖的数中最大数比最小数大14，设其最小数为y，则最大数为$y+14$，因此$n=y(y+14)$。
由题意$m-n=30$，代入得：
$x(x+16)-y(y+14)=30$
整理得：$x^2+16x-y^2-14y=30$
配方后用平方差公式因式分解：
$(x^2+16x+64)-(y^2+14y+49)=30+64-49$
即$(x+8)^2-(y+7)^2=45$
由平方差公式得：$[(x+8)+(y+7)][(x+8)-(y+7)]=45$
化简得：$(x+y+15)(x-y+1)=45$
因为x、y均为月历中的正整数，两个因式均为正整数，结合月历数的取值范围，仅因数对$\begin{cases} x-y+1=1 \\ x+y+15=45 \end{cases}$符合要求，
解得$x=y=15$。
代入计算：
$m=15×(15+16)=465$，$n=15×(15+14)=435$
因此$m+n=465+435=900$。
【答案】
900
【知识点】
月历数字规律，平方差公式，因式分解应用
【点评】
本题结合月历背景考查整式运算与因式分解的综合应用，解题核心是先总结两种图形覆盖数字的大小差，再通过配方、因式分解将方程转化为整数乘积的形式，结合整数性质筛选合理的解，能有效锻炼逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
首先观察月历中阴影图形的数字规律：“Z字型”覆盖的5个数中，最大数比最小数大16，“十字型”覆盖的5个数中，最大数比最小数大14。接着分别设两种图形的最小数为x、y，即可表示出m和n，再根据m-n=30列方程，将方程整理后用平方差公式因式分解为两个整数乘积为45的形式，结合x、y是月历中的正整数筛选出合理的整数解，最后代入计算m+n的值即可。
【解析】
解：观察月历中阴影数字的规律：
“Z字型”覆盖的数中最大数比最小数大16，设其最小数为x，则最大数为$x+16$，因此$m=x(x+16)$；
“十字型”覆盖的数中最大数比最小数大14，设其最小数为y，则最大数为$y+14$，因此$n=y(y+14)$。
由题意$m-n=30$，代入得：
$x(x+16)-y(y+14)=30$
整理得：$x^2+16x-y^2-14y=30$
配方后用平方差公式因式分解：
$(x^2+16x+64)-(y^2+14y+49)=30+64-49$
即$(x+8)^2-(y+7)^2=45$
由平方差公式得：$[(x+8)+(y+7)][(x+8)-(y+7)]=45$
化简得：$(x+y+15)(x-y+1)=45$
因为x、y均为月历中的正整数，两个因式均为正整数，结合月历数的取值范围，仅因数对$\begin{cases} x-y+1=1 \\ x+y+15=45 \end{cases}$符合要求，
解得$x=y=15$。
代入计算：
$m=15×(15+16)=465$，$n=15×(15+14)=435$
因此$m+n=465+435=900$。
【答案】
900
【知识点】
月历数字规律，平方差公式，因式分解应用
【点评】
本题结合月历背景考查整式运算与因式分解的综合应用，解题核心是先总结两种图形覆盖数字的大小差，再通过配方、因式分解将方程转化为整数乘积的形式，结合整数性质筛选合理的解，能有效锻炼逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
【典例2】我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
$15×15=225=1×2×100+25$，
$25×25=625=2×3×100+25$，
$35×35=1225=3×4×100+25$，
……
你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？
$15×15=225=1×2×100+25$，
$25×25=625=2×3×100+25$，
$35×35=1225=3×4×100+25$，
……
你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？
答案
证明:$(10n+5)^2=n(n+1)×100+25.$
$(10n+5)^2=100n^2+100n+25=100n(n+1)+25.$
$(10n+5)^2=100n^2+100n+25=100n(n+1)+25.$
解析
【分析】
首先观察给出的等式，可发现共性：等式左侧均为个位是5的两个相同正整数相乘，等式右侧的固定结构是“原数去掉个位5后得到的数×(该数+1)×100+25”。我们可以设原数去掉个位5后得到的数为正整数$n$，则这个个位为5的数可表示为$10n+5$，接下来只需利用完全平方公式将$(10n+5)^2$展开整理，与猜想的右侧表达式比对，即可证明规律成立。
【解析】
1. 归纳一般规律：设$n$为正整数，则个位为5的正整数$10n+5$的平方满足$(10n+5)^2=n(n+1)×100+25$。
2. 证明规律：
根据完全平方公式展开左侧：
$\begin{aligned}(10n+5)^2&=(10n)^2+2×10n×5+5^2\\&=100n^2+100n+25\end{aligned}$
对展开结果提取公因式整理可得：
$100n^2+100n+25=100n(n+1)+25$
左侧整理后与右侧表达式完全相等，规律得证。
【答案】
一般规律为$\boldsymbol{(10n+5)^2=100n(n+1)+25}$（$n$为正整数），证明：$(10n+5)^2=100n^2+100n+25=100n(n+1)+25$，等式成立。
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整式乘法运算
3. 数字规律探究
【点评】
本题是规律探究与整式运算结合的典型题型，既要求学生具备从已知式子中归纳共性的观察能力，又考察学生对整式乘法公式的掌握程度，能很好地锻炼学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
首先观察给出的等式，可发现共性：等式左侧均为个位是5的两个相同正整数相乘，等式右侧的固定结构是“原数去掉个位5后得到的数×(该数+1)×100+25”。我们可以设原数去掉个位5后得到的数为正整数$n$，则这个个位为5的数可表示为$10n+5$，接下来只需利用完全平方公式将$(10n+5)^2$展开整理，与猜想的右侧表达式比对，即可证明规律成立。
【解析】
1. 归纳一般规律：设$n$为正整数，则个位为5的正整数$10n+5$的平方满足$(10n+5)^2=n(n+1)×100+25$。
2. 证明规律：
根据完全平方公式展开左侧：
$\begin{aligned}(10n+5)^2&=(10n)^2+2×10n×5+5^2\\&=100n^2+100n+25\end{aligned}$
对展开结果提取公因式整理可得：
$100n^2+100n+25=100n(n+1)+25$
左侧整理后与右侧表达式完全相等，规律得证。
【答案】
一般规律为$\boldsymbol{(10n+5)^2=100n(n+1)+25}$（$n$为正整数），证明：$(10n+5)^2=100n^2+100n+25=100n(n+1)+25$，等式成立。
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整式乘法运算
3. 数字规律探究
【点评】
本题是规律探究与整式运算结合的典型题型，既要求学生具备从已知式子中归纳共性的观察能力，又考察学生对整式乘法公式的掌握程度，能很好地锻炼学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
