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三、解答题
1. 如图，已知$□ ABCD$的对角线AC、BD交于点O，E、F分别是OA、OC的中点.
(1)求证：$OE = OF$；
(2)求证：$DE // BF$.
1. 如图，已知$□ ABCD$的对角线AC、BD交于点O，E、F分别是OA、OC的中点.
(1)求证：$OE = OF$；
(2)求证：$DE // BF$.
答案
证明：
(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴ OA = OC。
∵ E、F分别是OA、OC的中点，
∴ $OE = \frac{1}{2}OA$，$OF = \frac{1}{2}OC$，
∴ OE = OF。
(2) ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OD = OB。
又∵ 已证OE = OF，
∴ 四边形DEBF的对角线互相平分，
∴ 四边形DEBF是平行四边形，
∴ DE // BF。
(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴ OA = OC。
∵ E、F分别是OA、OC的中点，
∴ $OE = \frac{1}{2}OA$，$OF = \frac{1}{2}OC$，
∴ OE = OF。
(2) ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OD = OB。
又∵ 已证OE = OF，
∴ 四边形DEBF的对角线互相平分，
∴ 四边形DEBF是平行四边形，
∴ DE // BF。
解析
【分析】
(1) 要证明OE=OF，可结合平行四边形对角线的性质和中点定义推导：首先利用平行四边形对角线互相平分的性质得到OA=OC，再根据E、F是OA、OC的中点，可得OE、OF分别是OA、OC的一半，通过等量代换即可证得OE=OF。
(2) 要证明DE//BF，可先判定DE、BF所在的四边形DEBF是平行四边形：首先由平行四边形ABCD的性质得OD=OB，结合(1)中已证的OE=OF，可知四边形DEBF的对角线互相平分，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定DEBF是平行四边形，再利用平行四边形对边平行的性质即可得到DE//BF。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴ OA = OC。
∵ E、F分别是OA、OC的中点，
∴ $OE = \frac{1}{2}OA$，$OF = \frac{1}{2}OC$，
∴ OE = OF。
(2)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OD = OB。
又
∵ 已证OE = OF，
∴ 四边形DEBF的对角线互相平分，
∴ 四边形DEBF是平行四边形，
∴ DE // BF。
【答案】
(1) OE=OF，证明成立；
(2) DE//BF，证明成立。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；中点的定义
【点评】
本题属于平行四边形相关的基础证明题，解题的关键是熟练掌握平行四边形对角线相关的性质与判定定理，梳理清楚线段之间的数量关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明OE=OF，可结合平行四边形对角线的性质和中点定义推导：首先利用平行四边形对角线互相平分的性质得到OA=OC，再根据E、F是OA、OC的中点，可得OE、OF分别是OA、OC的一半，通过等量代换即可证得OE=OF。
(2) 要证明DE//BF，可先判定DE、BF所在的四边形DEBF是平行四边形：首先由平行四边形ABCD的性质得OD=OB，结合(1)中已证的OE=OF，可知四边形DEBF的对角线互相平分，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定DEBF是平行四边形，再利用平行四边形对边平行的性质即可得到DE//BF。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴ OA = OC。
∵ E、F分别是OA、OC的中点，
∴ $OE = \frac{1}{2}OA$，$OF = \frac{1}{2}OC$，
∴ OE = OF。
(2)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OD = OB。
又
∵ 已证OE = OF，
∴ 四边形DEBF的对角线互相平分，
∴ 四边形DEBF是平行四边形，
∴ DE // BF。
【答案】
(1) OE=OF，证明成立；
(2) DE//BF，证明成立。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；中点的定义
【点评】
本题属于平行四边形相关的基础证明题，解题的关键是熟练掌握平行四边形对角线相关的性质与判定定理，梳理清楚线段之间的数量关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
2. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，其周长为54，且$△ AOB$的周长比$△ BOC$的周长小7.
(1)求边$AB$和$BC$的长.
(2)若$BD=21$，过点$C$作$CE ⊥ BD$于点$E$，且$CE=8$，求$AB$和$CD$之间的距离.
(1)求边$AB$和$BC$的长.
(2)若$BD=21$，过点$C$作$CE ⊥ BD$于点$E$，且$CE=8$，求$AB$和$CD$之间的距离.
答案
2.(1)$AB=10$ $BC=17$ (2)$\frac{84}{5}$
解析
【分析】
(1) 首先利用平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质：平行四边形周长为54，可推出相邻两边AB与BC的和为周长的一半即27；又因为△AOB和△BOC有公共边OB，且AO=OC，因此两个三角形的周长差实际就是BC与AB的差，即BC-AB=7，联立两个等量关系即可解出AB和BC的长度。
(2) 求AB和CD之间的距离，就是求平行四边形AB边上的高。先根据BD和CE的长度算出△BCD的面积，平行四边形面积是△BCD面积的2倍，再根据平行四边形面积=底×高，代入AB的长度即可求出对应的高，也就是AB与CD的距离。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=CD，BC=AD，AO=CO，平行四边形周长$=2(AB+BC)=54$
∴ $AB+BC=27$ ①
∵ $△ AOB$的周长$=AO+OB+AB$，$△ BOC$的周长$=BO+OC+BC$，且$AO=CO$，OB为公共边
∴ $△ BOC$的周长 $- △ AOB$的周长 $= BC - AB =7$ ②
联立①②，两式相加得：$2BC=34$，解得$BC=17$
代入①得$AB=27-17=10$
(2)
∵ $CE⊥BD$，$BD=21$，$CE=8$
∴ $S_{△ BCD} = \frac{1}{2} × BD × CE = \frac{1}{2} × 21 × 8 = 84$
∵ 平行四边形ABCD的面积是$△ BCD$面积的2倍
∴ $S_{□ ABCD} = 2×84=168$
设AB和CD之间的距离为$h$，平行四边形面积也可表示为$AB× h$，$AB=10$
∴ $10h=168$，解得$h=\frac{168}{10}=\frac{84}{5}$
【答案】
(1) $AB=10$，$BC=17$；(2) $\frac{84}{5}$
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形面积计算，二元一次方程组的应用
【点评】
本题结合平行四边形的性质考查周长和面积的计算，解题核心是利用平行四边形对角线互相平分的性质简化周长差的关系，同时灵活运用平行四边形面积的两种计算方法建立等量关系求解，是平行四边形相关知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
(1) 首先利用平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质：平行四边形周长为54，可推出相邻两边AB与BC的和为周长的一半即27；又因为△AOB和△BOC有公共边OB，且AO=OC，因此两个三角形的周长差实际就是BC与AB的差，即BC-AB=7，联立两个等量关系即可解出AB和BC的长度。
(2) 求AB和CD之间的距离，就是求平行四边形AB边上的高。先根据BD和CE的长度算出△BCD的面积，平行四边形面积是△BCD面积的2倍，再根据平行四边形面积=底×高，代入AB的长度即可求出对应的高，也就是AB与CD的距离。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=CD，BC=AD，AO=CO，平行四边形周长$=2(AB+BC)=54$
∴ $AB+BC=27$ ①
∵ $△ AOB$的周长$=AO+OB+AB$，$△ BOC$的周长$=BO+OC+BC$，且$AO=CO$，OB为公共边
∴ $△ BOC$的周长 $- △ AOB$的周长 $= BC - AB =7$ ②
联立①②，两式相加得：$2BC=34$，解得$BC=17$
代入①得$AB=27-17=10$
(2)
∵ $CE⊥BD$，$BD=21$，$CE=8$
∴ $S_{△ BCD} = \frac{1}{2} × BD × CE = \frac{1}{2} × 21 × 8 = 84$
∵ 平行四边形ABCD的面积是$△ BCD$面积的2倍
∴ $S_{□ ABCD} = 2×84=168$
设AB和CD之间的距离为$h$，平行四边形面积也可表示为$AB× h$，$AB=10$
∴ $10h=168$，解得$h=\frac{168}{10}=\frac{84}{5}$
【答案】
(1) $AB=10$，$BC=17$；(2) $\frac{84}{5}$
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形面积计算，二元一次方程组的应用
【点评】
本题结合平行四边形的性质考查周长和面积的计算，解题核心是利用平行四边形对角线互相平分的性质简化周长差的关系，同时灵活运用平行四边形面积的两种计算方法建立等量关系求解，是平行四边形相关知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
3.如图,平行四边形ABCD中,E、F为边AD、BC上的点,且AE = CF,连结AF、EC、BE、DF交于M、N,试说明:MFNE是平行四边形.
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC。
∵ AE=CF，
∴ AD - AE = BC - CF，即 ED = BF。
∵ AE//CF，AE=CF，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ AF//EC，即 MF//EN。
∵ ED//BF，ED=BF，
∴ 四边形BEDF是平行四边形，
∴ BE//DF，即 ME//FN。
在四边形MFNE中，MF//EN，ME//FN，
∴ 四边形MFNE是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC。
∵ AE=CF，
∴ AD - AE = BC - CF，即 ED = BF。
∵ AE//CF，AE=CF，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ AF//EC，即 MF//EN。
∵ ED//BF，ED=BF，
∴ 四边形BEDF是平行四边形，
∴ BE//DF，即 ME//FN。
在四边形MFNE中，MF//EN，ME//FN，
∴ 四边形MFNE是平行四边形。
解析
【分析】
要证明四边形MFNE是平行四边形，我们可以选择“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定方法来推导。首先结合已知平行四边形ABCD对边平行且相等的性质，再根据给出的AE=CF的条件，先推导得到ED=BF。接着分别证明四边形AECF、四边形BEDF都是平行四边形，从而得到AF//EC、BE//DF，也就是四边形MFNE的两组对边分别平行，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC。
∵ AE=CF，
∴ AD - AE = BC - CF，即 ED = BF。
∵ AE//CF，AE=CF，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ AF//EC，即 MF//EN。
∵ ED//BF，ED=BF，
∴ 四边形BEDF是平行四边形，
∴ BE//DF，即 ME//FN。
在四边形MFNE中，MF//EN，ME//FN，
∴ 四边形MFNE是平行四边形。
【答案】
四边形MFNE是平行四边形，证明过程如上。
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形的判定
【点评】
本题属于平行四边形相关的基础证明题，重点考查对平行四边形性质和判定定理的掌握与运用能力，解题时需理清条件和结论的关联，逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.7
要证明四边形MFNE是平行四边形，我们可以选择“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定方法来推导。首先结合已知平行四边形ABCD对边平行且相等的性质，再根据给出的AE=CF的条件，先推导得到ED=BF。接着分别证明四边形AECF、四边形BEDF都是平行四边形，从而得到AF//EC、BE//DF，也就是四边形MFNE的两组对边分别平行，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC。
∵ AE=CF，
∴ AD - AE = BC - CF，即 ED = BF。
∵ AE//CF，AE=CF，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ AF//EC，即 MF//EN。
∵ ED//BF，ED=BF，
∴ 四边形BEDF是平行四边形，
∴ BE//DF，即 ME//FN。
在四边形MFNE中，MF//EN，ME//FN，
∴ 四边形MFNE是平行四边形。
【答案】
四边形MFNE是平行四边形，证明过程如上。
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形的判定
【点评】
本题属于平行四边形相关的基础证明题，重点考查对平行四边形性质和判定定理的掌握与运用能力，解题时需理清条件和结论的关联，逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.7
