10. 如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=4,BC=3,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.

10.解:连接AC(图略).
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC^2=4^2+3^2$,则$AC=5$.
在$△ ACD$中,$AC^2+CD^2=5^2+12^2=169=13^2$,
即$AC^2+CD^2=AD^2$,则$∠ ACD=90°$.
故四边形$ABCD$的面积为$\frac{1}{2}×4×3+\frac{1}{2}×5×12=36$.

【分析】
这是一道不规则四边形的面积求解问题，解题思路如下：首先四边形ABCD是不规则图形，无法直接套用面积公式计算，因此我们可以通过连接辅助线AC，将其分割为两个三角形分别计算面积。第一步先分析△ABC，已知∠B是直角，AB、BC的长度已知，可用勾股定理算出AC的长度；第二步得到AC的长度后，观察△ACD的三条边长，用勾股定理的逆定理判断该三角形是否为直角三角形；若为直角三角形，分别计算两个直角三角形的面积，求和即可得到四边形ABCD的总面积。
【解析】
解：连接AC
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=4$，$BC=3$，根据勾股定理：
$AC^2=AB^2+BC^2=4^2+3^2=25$，解得$AC=5$
在$△ ACD$中，$AC=5$，$CD=12$，$AD=13$
计算得$AC^2+CD^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AD^2=13^2=169$
即$AC^2+CD^2=AD^2$，根据勾股定理的逆定理可得$∠ ACD=90°$，$△ ACD$为直角三角形
因此四边形ABCD的面积为：
$S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AB×BC+\frac{1}{2}×AC×CD=\frac{1}{2}×4×3+\frac{1}{2}×5×12=6+30=36$
【答案】
36
【知识点】
勾股定理、勾股定理的逆定理、割补法求面积
【点评】
本题核心是通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形，分别计算面积后求和，重点考查勾股定理及其逆定理的灵活运用，以及不规则图形面积的求解思路。
【难度系数】
0.7

11.如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$BC = 5$，$D$为$AB$上一点，$CD = 4$，$BD = 3$。
(1)求证：$∠ BDC = 90°$；
(2)求$AC$的长。

11.(1)证明:$\because BC=5,CD=4,BD=3$,
$\therefore 4^2+3^2=5^2$,
即$CD^2+BD^2=BC^2$,
$\therefore ∠ BDC=90°$.
(2)解:在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$∠ ADC=180°-90°=90°$,
依题意,有$AC^2=(AB-BD)^2+CD^2$,
即$AC^2=(AC-3)^2+4^2$,
解得$AC=\frac{25}{6}$.

【分析】
(1) 要证明∠BDC=90°，已知△BDC的三边长，可运用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等即可判定该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。
(2) 求AC的长时，已知AB=AC，先推出∠ADC=90°，再设AC的长为x，用含x的式子表示AD的长，最后在Rt△ADC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：已知$BC=5,CD=4,BD=3$，
计算得$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，
即$CD^2+BD^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△BDC是直角三角形，且BC所对的角为直角，
∴$∠BDC=90°$。
(2) 解：由(1)知$∠BDC=90°$，因此$∠ADC=180°-∠BDC=90°$，即△ADC为直角三角形。
∵$AB=AC$，
∴$AD=AB-BD=AC-3$，
在Rt△ADC中，根据勾股定理得$AC^2=AD^2+CD^2$，
代入边长关系得：$AC^2=(AC-3)^2+4^2$，
展开右侧：$AC^2=AC^2-6AC+9+16$，
整理得$6AC=25$，
解得$AC=\frac{25}{6}$。
【答案】
(1) 已证$∠BDC=90°$；
(2) $AC=\frac{25}{6}$
【知识点】
勾股定理的逆定理、勾股定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理相关的典型基础题，第一问直接考查勾股定理逆定理的应用，第二问结合等腰三角形性质，通过设未知数列方程求解边长，体现了方程思想在几何计算中的应用，需要熟练掌握勾股定理及其逆定理的适用条件。
【难度系数】
0.7

12. 若$△ ABC$的三条边长分别为$a$，$b$，$c$，根据下列条件判断$△ ABC$的形状.
(1)$a^{2}+b^{2}+c^{2}+200=12a+16b+20c$；
(2)$a^{3}-a^{2}b+ab^{2}-ac^{2}+bc^{2}-b^{3}=0$.

12.解:(1)$\because a^2+b^2+c^2+200=12a+16b+20c$,
$\therefore (a^2-12a+36)+(b^2-16b+64)+(c^2-20c+100)=0$,
即$(a-6)^2+(b-8)^2+(c-10)^2=0$.
$\therefore a-6=0,b-8=0,c-10=0$,
即$a=6,b=8,c=10$.
而$6^2+8^2=100=10^2$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$.
$\therefore △ ABC$为直角三角形.
(2)$\because a^3-a^2b+ab^2-ac^2+bc^2-b^3=0$,
$\therefore (a^3-a^2b)+(ab^2-b^3)-(ac^2-bc^2)=0$,
即$a^2(a-b)+b^2(a-b)-c^2(a-b)=0$,
$\therefore (a-b)(a^2+b^2-c^2)=0$,
$\therefore a-b=0$或$a^2+b^2-c^2=0$,
$\therefore △ ABC$为等腰三角形或直角三角形.

【分析】
(1) 观察已知等式，包含a、b、c的平方项、一次项和常数项，解题时先将等式右侧项移到左侧，通过拆分常数项凑完全平方公式，利用“几个非负数的和为0时每个非负数都为0”的性质求出三边长度，再验证是否满足勾股定理逆定理即可判断三角形形状。
(2) 已知为三次多项式等于0，解题时对多项式分组因式分解，将含公因式的项划为一组，逐组提公因式后再提取整体公因式，转化为两个整式乘积为0的形式，根据“乘积为0则至少一个因式为0”得到边长关系，进而判断三角形形状。
【解析】
(1) $\because a^2+b^2+c^2+200=12a+16b+20c$,
$\therefore (a^2-12a+36)+(b^2-16b+64)+(c^2-20c+100)=0$,
即$(a-6)^2+(b-8)^2+(c-10)^2=0$。
根据平方的非负性可得$a-6=0,b-8=0,c-10=0$,
即$a=6,b=8,c=10$。
而$6^2+8^2=100=10^2$，即$a^2+b^2=c^2$。
$\therefore △ ABC$为直角三角形。
(2) $\because a^3-a^2b+ab^2-ac^2+bc^2-b^3=0$,
$\therefore (a^3-a^2b)+(ab^2-b^3)-(ac^2-bc^2)=0$,
即$a^2(a-b)+b^2(a-b)-c^2(a-b)=0$,
$\therefore (a-b)(a^2+b^2-c^2)=0$,
$\therefore a-b=0$或$a^2+b^2-c^2=0$,
即$a=b$或$a^2+b^2=c^2$。
$\therefore △ ABC$为等腰三角形或直角三角形。
【答案】
(1) $△ ABC$是直角三角形；
(2) $△ ABC$是等腰三角形或直角三角形。
【知识点】
完全平方公式，因式分解，勾股定理逆定理
【点评】
本题侧重考查整式变形能力，需要熟练掌握配方法、因式分解等常用变形技巧，解题时注意多个因式乘积为0的情况，需考虑所有因式为0的可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7

13. 甲、乙两艘客轮同时离开港口O，航行的速度都是40 m/min，甲客轮用15 min到达点A，乙客轮用20 min到达点B。若A，B两点的直线距离为1 000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，求乙客轮的航行方向。

13.解:甲的路程为$40×15=600(\mathrm{m})$,
乙的路程为$40×20=800(\mathrm{m})$.
$\because 600^2+800^2=1\ 000^2$,
$\therefore$甲和乙两艘客轮的行驶路线呈垂直关系.
$\because$甲客轮沿着北偏东$30°$,
$\therefore$乙客轮的航行方向是南偏东$60°$.

【分析】
解题时首先根据“路程=速度×时间”分别计算出OA、OB的长度，再结合已知的AB长度，利用勾股定理的逆定理判断△OAB的形状，得出∠AOB的度数，最后结合甲客轮的航行方向，通过角度运算求出乙客轮的航行方向。
【解析】
首先计算甲、乙两艘客轮行驶的路程：
甲的路程$OA = 40×15 = 600(\mathrm{m})$，
乙的路程$OB = 40×20 = 800(\mathrm{m})$。
已知$AB=1000\mathrm{m}$，验证三边的平方关系：
$\because 600^2 + 800^2 = 360000 + 640000 = 1000000 = 1000^2$，
$\therefore$根据勾股定理的逆定理可得，$△ OAB$是直角三角形，且$∠ AOB=90°$，即两艘客轮的行驶路线互相垂直。
$\because$甲客轮沿着北偏东$30°$的方向航行，
$\therefore$乙客轮的航行方向与正南方向的夹角为$90°-30°=60°$且偏向东侧，即南偏东$60°$。
【答案】
乙客轮的航行方向是南偏东$60°$
【知识点】
路程速度时间关系、勾股定理逆定理、方向角
【点评】
本题结合实际航行场景出题，将几何知识和生活实际结合，解题的核心是先通过勾股定理逆定理判断两条航行路线垂直，再结合已知方向角推导未知方向，难度适中，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

14. 拉杆箱是人们出行的常用品，使用拉杆箱可以让人们的出行更加轻松. 如图，已知某种拉杆箱箱体$AB=65\ \mathrm{cm}$，拉杆最大伸长距离$BC=35\ \mathrm{cm}$，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，点A到地面的距离$AD=3\ \mathrm{cm}$，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55 cm到$A'$处，求拉杆把手C离地面的距离(假设C点的位置保持不变).

14.解:如图,过点$C$作$CE⊥ DN$于点$E$,延长$AA'$交$CE$于点$F$,则$∠ AFC=90°$.

设$A'F=x\ \mathrm{cm}$,则$AF=(55+x)\mathrm{cm}$,
由题可得$AC=65+35=100(\mathrm{cm})$,$A'C=65\ \mathrm{cm}$.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ A'CF$中,$CF^2=65^2-x^2$,
在$\mathrm{Rt}△ ACF$中,$CF^2=100^2-(55+x)^2$,
$\therefore 65^2-x^2=100^2-(55+x)^2$,
解得$x=25$,
$\therefore A'F=25\ \mathrm{cm}$,
$\therefore CF=\sqrt{A'C^2-A'F^2}=60\ \mathrm{cm}$.
又$\because EF=AD=3\ \mathrm{cm}$,
$\therefore CE=60+3=63(\mathrm{cm})$,
$\therefore$拉杆把手$C$离地面的距离为$63\ \mathrm{cm}$.

【分析】
要求拉杆把手C离地面的距离，可通过构造直角三角形结合勾股定理求解：首先过点C作CE垂直地面DN，延长AA'交CE于F，可得两个有公共直角边CF的直角三角形Rt△A'CF和Rt△ACF。已知AC=AB+BC=100cm，A'C=AB=65cm，AA'=55cm，设A'F为x，可在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出CF²，根据CF长度相等列方程求解x，再计算CF的长度，最后加上与AD相等的EF的长度，即可得到C到地面的距离CE。
【解析】
如图，过点$C$作$CE⊥ DN$于点$E$，延长$AA'$交$CE$于点$F$，则$∠ AFC=90°$。

设$A'F=x\ \mathrm{cm}$，则$AF=(55+x)\mathrm{cm}$，
由题可得$AC=65+35=100(\mathrm{cm})$,$A'C=65\ \mathrm{cm}$。
$\because$在$\mathrm{Rt}△ A'CF$中，根据勾股定理得$CF^2=65^2-x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ACF$中，根据勾股定理得$CF^2=100^2-(55+x)^2$，
$\therefore 65^2-x^2=100^2-(55+x)^2$，
解得$x=25$，即$A'F=25\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CF=\sqrt{A'C^2-A'F^2}=\sqrt{65^2-25^2}=60\ \mathrm{cm}$。
又$\because$四边形ADEF是矩形，$\therefore EF=AD=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CE=60+3=63(\mathrm{cm})$。
【答案】
拉杆把手C离地面的距离为$\boldsymbol{63\ \mathrm{cm}}$。

【知识点】
勾股定理的应用，构造直角三角形，方程思想解几何题
【点评】
本题结合生活中的拉杆箱场景命题，将实际问题转化为几何模型求解，既考查了勾股定理的灵活运用能力，也考查了学生利用公共边建立方程解决问题的思维，贴近生活实际，综合性适中。
【难度系数】
0.6