3. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$□ ABCD$的边$AB$在一次函数$y=\frac{1}{2}x+b$的图象上,且点$B(3,1)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,$AD// x$轴,点$D$的坐标为$(8,2)$.
(1)求一次函数及反比例函数的解析式;
(2)若将$□ ABCD$向下平移$a$个单位长度,点$C$恰好落在$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,求$a$的值.

解：
(1) 把点$B(3,1)$代入一次函数$y=\frac{1}{2}x+b$，得：
$1 = \frac{1}{2} × 3 + b$，
解得$b = -\frac{1}{2}$，
∴一次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$。
把点$B(3,1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$1 = \frac{k}{3}$，
解得$k=3$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}(x＞0)$。
(2) ∵$AD// x$轴，点$D$的坐标为$(8,2)$，
∴点$A$的纵坐标为2，
把$y=2$代入$y=\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$，得：
$2 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$，
解得$x=5$，
∴点$A$的坐标为$(5,2)$。
∴$AD = 8 - 5 = 3$，
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$BC// AD$，且$BC=AD=3$，
又∵$AD// x$轴，
∴$BC// x$轴，
∴点$C$的纵坐标为1，横坐标为$3+3=6$，即$C(6,1)$。
将$□ ABCD$向下平移$a$个单位长度后，点$C$的对应点坐标为$(6,1-a)$，
代入$y=\frac{3}{x}$，得：
$1 - a = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$，
解得$a=\frac{1}{2}$。
综上，一次函数解析式为$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$，反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}(x＞0)$，$a$的值为$\frac{1}{2}$。