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5.（传统文化）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红.”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴. 在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响. 某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则下列方程组正确的是（
A.$\begin{cases} x+y=120, \\ 200x=50y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=120, \\ 8×200x=50y \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=120, \\ 200x=8×50y \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=120, \\ 8×50x=200y \end{cases}$
C
）A.$\begin{cases} x+y=120, \\ 200x=50y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=120, \\ 8×200x=50y \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=120, \\ 200x=8×50y \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=120, \\ 8×50x=200y \end{cases}$
答案
5. C
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的配套应用题，解题时可分两步找等量关系：第一步先找人数的等量关系，总共有120个工人，因此生产茶杯的工人数加生产茶壶的工人数等于总人数，即可得到第一个方程；第二步找产品配套的等量关系，8个茶杯和1个茶壶为一套，说明生产出的茶杯总数量是茶壶总数量的8倍，结合每人的日产量分别表示出茶杯、茶壶的总数量，就能列出第二个方程，联立两个方程即可选出正确选项。
【解析】
首先根据总人数条件列方程：
已知共有120个工人，生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，因此可得：
$x + y = 120$
再根据配套关系列方程：
x个工人每天可生产茶杯总数为$200x$个，y个工人每天可生产茶壶总数为$50y$个；
由于8个茶杯和1个茶壶配套，即茶杯总数量 = 8×茶壶总数量，因此可得：
$200x = 8×50y$
联立两个方程，得到方程组$\begin{cases} x+y=120, \\ 200x=8×50y \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组应用，配套问题
【点评】
本题结合传统茶文化背景考查实际问题中的方程组列写，解题核心是找准人数、产品配套两个核心等量关系，尤其要注意配套关系中两类产品的数量倍数关系，避免列反倍数等式。
【难度系数】
0.8
这是一道二元一次方程组的配套应用题，解题时可分两步找等量关系：第一步先找人数的等量关系，总共有120个工人，因此生产茶杯的工人数加生产茶壶的工人数等于总人数，即可得到第一个方程；第二步找产品配套的等量关系，8个茶杯和1个茶壶为一套，说明生产出的茶杯总数量是茶壶总数量的8倍，结合每人的日产量分别表示出茶杯、茶壶的总数量，就能列出第二个方程，联立两个方程即可选出正确选项。
【解析】
首先根据总人数条件列方程：
已知共有120个工人，生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，因此可得：
$x + y = 120$
再根据配套关系列方程：
x个工人每天可生产茶杯总数为$200x$个，y个工人每天可生产茶壶总数为$50y$个；
由于8个茶杯和1个茶壶配套，即茶杯总数量 = 8×茶壶总数量，因此可得：
$200x = 8×50y$
联立两个方程，得到方程组$\begin{cases} x+y=120, \\ 200x=8×50y \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组应用，配套问题
【点评】
本题结合传统茶文化背景考查实际问题中的方程组列写，解题核心是找准人数、产品配套两个核心等量关系，尤其要注意配套关系中两类产品的数量倍数关系，避免列反倍数等式。
【难度系数】
0.8
6. 已知$y=ax^2+bx+c$。当$x=-1$时，$y=9$；当$x=1$时，$y=5$，则$a+c$的值为
7
。答案
6. 7
解析
【分析】
解题时先将已知的两组x、y的对应值分别代入函数表达式，得到两个关于a、b、c的等式。观察两个等式中b的系数互为相反数，将两个等式相加即可消去b，直接求出a+c的整体值，无需单独计算a和c的具体数值，简化计算步骤。
【解析】
把$x=-1$，$y=9$代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = 9$
化简得：$a - b + c = 9$ ①
把$x=1$，$y=5$代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$a×1^2 + b×1 + c = 5$
化简得：$a + b + c = 5$ ②
将①和②左右两边分别相加：
$(a - b + c) + (a + b + c) = 9 + 5$
整理得：$2a + 2c = 14$
两边同时除以2，得：$a + c = 7$
【答案】
7
【知识点】
代数式求值；等式的性质；整体思想
【点评】
本题是典型的整体求值类题目，核心是通过代入得到等式后，观察未知数的系数特征，利用加减消元法消去不需要的未知数b，直接计算目标式的值，避免多余计算。
【难度系数】
0.7
解题时先将已知的两组x、y的对应值分别代入函数表达式，得到两个关于a、b、c的等式。观察两个等式中b的系数互为相反数，将两个等式相加即可消去b，直接求出a+c的整体值，无需单独计算a和c的具体数值，简化计算步骤。
【解析】
把$x=-1$，$y=9$代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = 9$
化简得：$a - b + c = 9$ ①
把$x=1$，$y=5$代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$a×1^2 + b×1 + c = 5$
化简得：$a + b + c = 5$ ②
将①和②左右两边分别相加：
$(a - b + c) + (a + b + c) = 9 + 5$
整理得：$2a + 2c = 14$
两边同时除以2，得：$a + c = 7$
【答案】
7
【知识点】
代数式求值；等式的性质；整体思想
【点评】
本题是典型的整体求值类题目，核心是通过代入得到等式后，观察未知数的系数特征，利用加减消元法消去不需要的未知数b，直接计算目标式的值，避免多余计算。
【难度系数】
0.7
7. 对于有理数x、y，定义新运算：$x\otimes y=mx+ny$，其中m、n是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知$1\otimes 2=-2$，$7\otimes (-4) = -41$，则$5\otimes (-6)$的值是
-34
。答案
7. -34
解析
【分析】
这是一道结合新定义运算的计算题，解题思路分为三步：第一步，根据新定义的运算规则，将已知的两组运算结果代入运算式，得到关于常数m、n的二元一次方程组；第二步，用消元法解二元一次方程组，求出m、n的具体值；第三步，将要求的$5\otimes (-6)$按照新定义展开，代入m、n的值计算出最终结果。
【解析】
根据新运算定义$x\otimes y=mx+ny$，代入已知条件：
1. 当$x=1,y=2$时，$1\otimes 2 = m×1 + n×2 = -2$，即：
$m + 2n = -2$ ①
2. 当$x=7,y=-4$时，$7\otimes (-4) = m×7 + n×(-4) = -41$，即：
$7m - 4n = -41$ ②
解二元一次方程组：
将①式两边同时乘2，得：$2m + 4n = -4$ ③
用②式加③式消去n：
$(7m -4n) + (2m +4n) = -41 + (-4)$
化简得：$9m = -45$，解得$m=-5$
把$m=-5$代入①式：
$-5 + 2n = -2$，解得$2n=3$，即$n=\frac{3}{2}$
计算$5\otimes (-6)$，代入新运算公式：
$5\otimes (-6) = 5m + (-6)n$
把$m=-5$，$n=\frac{3}{2}$代入：
$=5×(-5) + (-6)×\frac{3}{2}$
$=-25 -9$
$=-34$
【答案】
-34
【知识点】
新定义运算、二元一次方程组的解法、代数式求值
【点评】
本题将新定义运算与二元一次方程组的应用结合，解题核心是准确理解新运算规则，列出方程组求出未知常数，计算时要注意符号运算，避免出错。
【难度系数】
0.7
这是一道结合新定义运算的计算题，解题思路分为三步：第一步，根据新定义的运算规则，将已知的两组运算结果代入运算式，得到关于常数m、n的二元一次方程组；第二步，用消元法解二元一次方程组，求出m、n的具体值；第三步，将要求的$5\otimes (-6)$按照新定义展开，代入m、n的值计算出最终结果。
【解析】
根据新运算定义$x\otimes y=mx+ny$，代入已知条件：
1. 当$x=1,y=2$时，$1\otimes 2 = m×1 + n×2 = -2$，即：
$m + 2n = -2$ ①
2. 当$x=7,y=-4$时，$7\otimes (-4) = m×7 + n×(-4) = -41$，即：
$7m - 4n = -41$ ②
解二元一次方程组：
将①式两边同时乘2，得：$2m + 4n = -4$ ③
用②式加③式消去n：
$(7m -4n) + (2m +4n) = -41 + (-4)$
化简得：$9m = -45$，解得$m=-5$
把$m=-5$代入①式：
$-5 + 2n = -2$，解得$2n=3$，即$n=\frac{3}{2}$
计算$5\otimes (-6)$，代入新运算公式：
$5\otimes (-6) = 5m + (-6)n$
把$m=-5$，$n=\frac{3}{2}$代入：
$=5×(-5) + (-6)×\frac{3}{2}$
$=-25 -9$
$=-34$
【答案】
-34
【知识点】
新定义运算、二元一次方程组的解法、代数式求值
【点评】
本题将新定义运算与二元一次方程组的应用结合，解题核心是准确理解新运算规则，列出方程组求出未知常数，计算时要注意符号运算，避免出错。
【难度系数】
0.7
8. (古典数学)《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十. 今将钱三十，得酒二斗. 问醇、行酒各得几何?”其译文是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱. 现有30钱，买得2斗酒. 问醇酒、行酒各能买得多少? 设能买醇酒x斗，行酒y斗，则可列二元一次方程组为.
答案
8. $\begin{cases} x+y=2, \\ 50x+10y=30 \end{cases}$
解析
【分析】
要列出符合题意的二元一次方程组，需先从题目中提取两个核心等量关系：一是两种酒的总容量为2斗，二是购买两种酒的总花费为30钱，再分别将两个等量关系转化为含x、y的方程，联立后即可得到所求方程组。
【解析】
首先，根据“买得2斗酒”的条件，已知醇酒买了x斗，行酒买了y斗，两种酒的容量之和等于总容量2斗，可列第一个方程：$x+y=2$；
其次，根据“总钱数为30钱”的条件，醇酒单价为50钱/斗，买x斗的花费为$50x$钱，行酒单价为10钱/斗，买y斗的花费为$10y$钱，两种酒的总花费等于30钱，可列第二个方程：$50x+10y=30$；
将两个方程联立，即可得到对应的二元一次方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+y=2 \\ 50x+10y=30 \end{cases}$
【知识点】
列二元一次方程组；实际问题等量关系提取
【点评】
本题以古典数学典籍中的问题为载体，考查梳理已知条件、建立方程模型的能力，是二元一次方程组实际应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
要列出符合题意的二元一次方程组，需先从题目中提取两个核心等量关系：一是两种酒的总容量为2斗，二是购买两种酒的总花费为30钱，再分别将两个等量关系转化为含x、y的方程，联立后即可得到所求方程组。
【解析】
首先，根据“买得2斗酒”的条件，已知醇酒买了x斗，行酒买了y斗，两种酒的容量之和等于总容量2斗，可列第一个方程：$x+y=2$；
其次，根据“总钱数为30钱”的条件，醇酒单价为50钱/斗，买x斗的花费为$50x$钱，行酒单价为10钱/斗，买y斗的花费为$10y$钱，两种酒的总花费等于30钱，可列第二个方程：$50x+10y=30$；
将两个方程联立，即可得到对应的二元一次方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+y=2 \\ 50x+10y=30 \end{cases}$
【知识点】
列二元一次方程组；实际问题等量关系提取
【点评】
本题以古典数学典籍中的问题为载体，考查梳理已知条件、建立方程模型的能力，是二元一次方程组实际应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
9. 解方程组$\begin{cases}ax+by=6, \\ cx-4y=-2\end{cases}$时，小强正确解得$\begin{cases}x=2, \\ y=2,\end{cases}$而小刚只看错了$c$，解得$\begin{cases}x=-2, \\ y=4,\end{cases}$则$a-b+c$的值为 ______ 。
答案
9. 2
解析
【分析】
解题的核心是理解二元一次方程组解的含义：①小强的解是正确的，因此同时满足两个原方程，可先代入第二个方程求出c的值，同时代入第一个方程得到关于a、b的一个等式；②小刚只看错了c，说明他的解满足不含c的第一个方程，代入第一个方程可得到关于a、b的另一个等式；③联立两个关于a、b的等式解出a、b的值，最后代入计算a-b+c即可。
【解析】
1. 求c的值：
把小强的正确解$\begin{cases}x=2, \\ y=2\end{cases}$代入方程$cx-4y=-2$，得：
$2c - 4×2 = -2$
$2c - 8 = -2$
解得$c=3$
2. 求a、b的值：
把$\begin{cases}x=2, \\ y=2\end{cases}$代入方程$ax+by=6$，得：
$2a + 2b = 6$，化简为$a + b = 3$ ①
小刚看错了c，因此他的解$\begin{cases}x=-2, \\ y=4\end{cases}$满足$ax+by=6$，代入得：
$-2a + 4b = 6$，化简为$-a + 2b = 3$ ②
联立①②，用加减消元法：①+②得$3b=6$，解得$b=2$
把$b=2$代入①，得$a + 2 = 3$，解得$a=1$
3. 计算$a-b+c$：
把$a=1$，$b=2$，$c=3$代入，得：
$a-b+c=1 - 2 + 3=2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程组的解；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题的关键是准确理解“仅看错系数c的解仍然满足不含c的方程”，结合正确解代入得到对应方程求解即可，侧重考察对二元一次方程组解的含义的应用。
【难度系数】
0.7
解题的核心是理解二元一次方程组解的含义：①小强的解是正确的，因此同时满足两个原方程，可先代入第二个方程求出c的值，同时代入第一个方程得到关于a、b的一个等式；②小刚只看错了c，说明他的解满足不含c的第一个方程，代入第一个方程可得到关于a、b的另一个等式；③联立两个关于a、b的等式解出a、b的值，最后代入计算a-b+c即可。
【解析】
1. 求c的值：
把小强的正确解$\begin{cases}x=2, \\ y=2\end{cases}$代入方程$cx-4y=-2$，得：
$2c - 4×2 = -2$
$2c - 8 = -2$
解得$c=3$
2. 求a、b的值：
把$\begin{cases}x=2, \\ y=2\end{cases}$代入方程$ax+by=6$，得：
$2a + 2b = 6$，化简为$a + b = 3$ ①
小刚看错了c，因此他的解$\begin{cases}x=-2, \\ y=4\end{cases}$满足$ax+by=6$，代入得：
$-2a + 4b = 6$，化简为$-a + 2b = 3$ ②
联立①②，用加减消元法：①+②得$3b=6$，解得$b=2$
把$b=2$代入①，得$a + 2 = 3$，解得$a=1$
3. 计算$a-b+c$：
把$a=1$，$b=2$，$c=3$代入，得：
$a-b+c=1 - 2 + 3=2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程组的解；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题的关键是准确理解“仅看错系数c的解仍然满足不含c的方程”，结合正确解代入得到对应方程求解即可，侧重考察对二元一次方程组解的含义的应用。
【难度系数】
0.7
10. 探究不定方程：小聪同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组$\begin{cases}3x+2y+z=9, &① \\2x+3y+4z=11, &② \end{cases}$虽然解不出$x$、$y$、$z$的具体数值，但可以解出$x+y+z$的值。
他的思路是：①+②得$5x+5y+5z=20$，所以$x+y+z=4$。根据以上探究，请解决下列问题：已知$\begin{cases}x+3y+2z=6, \\-3x+y-z=7,\end{cases}$则$x+y+z$的值为 ______ 。
他的思路是：①+②得$5x+5y+5z=20$，所以$x+y+z=4$。根据以上探究，请解决下列问题：已知$\begin{cases}x+3y+2z=6, \\-3x+y-z=7,\end{cases}$则$x+y+z$的值为 ______ 。
答案
10. 1
解析
【分析】
本题给出两个三元一次方程，无法单独求出x、y、z的具体值，可运用消元思想，先消去其中一个未知数，得到另外两个未知数的关系，再用一个未知数表示另外两个未知数，最后代入x+y+z计算，未知数会全部抵消得到固定值。首先我们选择消去z，对第二个方程乘2后和第一个方程相加，即可消去z得到x和y的关系，再代入方程得到z和x的关系，最后整体代入即可。
【解析】
解：记方程组为$\begin{cases}x+3y+2z=6 \quad ① \\-3x+y-z=7 \quad ② \end{cases}$
1. 消去z：将②两边同时乘2，得$-6x + 2y - 2z = 14$ ③
2. ①+③得：$(x-6x)+(3y+2y)+(2z-2z)=6+14$，化简得$-5x+5y=20$，两边同除以5得$-x+y=4$，即$y=x+4$ ④
3. 将④代入②，得$-3x + (x+4) - z =7$，整理得$-2x +4 -z=7$，解得$z=-2x-3$ ⑤
4. 将④、⑤代入$x+y+z$，得：
$x+y+z=x+(x+4)+(-2x-3)=x+x+4-2x-3=1$
【答案】
1
【知识点】
三元一次方程组的解法；消元思想；代数式求值
【点评】
本题重点考查消元思想在方程组求解中的灵活运用，不需要求出每个未知数的具体值，通过消元、代换、整体代入即可得到目标代数式的值，解题核心是熟练掌握加减消元法的应用，体会整体思想的便捷性。
【难度系数】
0.7
本题给出两个三元一次方程，无法单独求出x、y、z的具体值，可运用消元思想，先消去其中一个未知数，得到另外两个未知数的关系，再用一个未知数表示另外两个未知数，最后代入x+y+z计算，未知数会全部抵消得到固定值。首先我们选择消去z，对第二个方程乘2后和第一个方程相加，即可消去z得到x和y的关系，再代入方程得到z和x的关系，最后整体代入即可。
【解析】
解：记方程组为$\begin{cases}x+3y+2z=6 \quad ① \\-3x+y-z=7 \quad ② \end{cases}$
1. 消去z：将②两边同时乘2，得$-6x + 2y - 2z = 14$ ③
2. ①+③得：$(x-6x)+(3y+2y)+(2z-2z)=6+14$，化简得$-5x+5y=20$，两边同除以5得$-x+y=4$，即$y=x+4$ ④
3. 将④代入②，得$-3x + (x+4) - z =7$，整理得$-2x +4 -z=7$，解得$z=-2x-3$ ⑤
4. 将④、⑤代入$x+y+z$，得：
$x+y+z=x+(x+4)+(-2x-3)=x+x+4-2x-3=1$
【答案】
1
【知识点】
三元一次方程组的解法；消元思想；代数式求值
【点评】
本题重点考查消元思想在方程组求解中的灵活运用，不需要求出每个未知数的具体值，通过消元、代换、整体代入即可得到目标代数式的值，解题核心是熟练掌握加减消元法的应用，体会整体思想的便捷性。
【难度系数】
0.7
