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一、选择题
1. 下列四组数值中，是方程组$\begin{cases}x+2y+z=0, \\2x-y-z=1, \\3x-y-z=2\end{cases}$的解的是（ ）
A.$\begin{cases}x=0, \\y=1, \\z=-2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=0, \\y=0, \\z=1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=0, \\y=-1, \\z=0\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=1, \\y=-2, \\z=3\end{cases}$
1. 下列四组数值中，是方程组$\begin{cases}x+2y+z=0, \\2x-y-z=1, \\3x-y-z=2\end{cases}$的解的是（ ）
A.$\begin{cases}x=0, \\y=1, \\z=-2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=0, \\y=0, \\z=1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=0, \\y=-1, \\z=0\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=1, \\y=-2, \\z=3\end{cases}$
答案
1. D
解析
【分析】
判断一组数值是否为方程组的解，核心标准是这组数值要同时满足方程组中的所有方程，代入后每个方程等号两边都相等。针对这道选择题有两种常用解题思路：①代入验证法：将每个选项的数值分别代入三个方程，全部满足的就是正确解，这种方法适合选择题快速排除错误选项；②加减消元法：观察方程中未知数的系数特点，先消去系数相同的部分求出某个未知数的值，再逐步求解剩余未知数，得到方程组的解后对应选项即可。
【解析】
方法一：代入验证法
将各选项分别代入三个方程验证：
A选项代入第三个方程：左边$=3×0-1-(-2)=1≠$右边2，排除；
B选项代入第一个方程：左边$=0+2×0+1=1≠$右边0，排除；
C选项代入第一个方程：左边$=0+2×(-1)+0=-2≠$右边0，排除；
D选项代入第一个方程：左边$=1+2×(-2)+3=0=$右边；代入第二个方程：左边$=2×1-(-2)-3=1=$右边；代入第三个方程：左边$=3×1-(-2)-3=2=$右边，三个方程均成立。
方法二：加减消元法
给原方程组标序号：
$\begin{cases}x+2y+z=0 ① \\2x-y-z=1 ② \\3x-y-z=2 ③\end{cases}$
用③-②消去$y、z$，得：$(3x-y-z)-(2x-y-z)=2-1$，化简得$x=1$。
把$x=1$代入①、②，整理得：
$\begin{cases}2y+z=-1 ④ \\ y+z=1 ⑤ \end{cases}$
用④-⑤得$y=-2$，把$y=-2$代入⑤得$z=3$，即方程组的解为$\begin{cases}x=1 \\ y=-2 \\ z=3 \end{cases}$。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组的解；加减消元法；代入验证法
【点评】
本题是三元一次方程组的基础考查题，解题时可根据题型灵活选择方法，选择题用代入验证法能更快排除错误选项，提高做题效率。
【难度系数】
0.9
判断一组数值是否为方程组的解，核心标准是这组数值要同时满足方程组中的所有方程，代入后每个方程等号两边都相等。针对这道选择题有两种常用解题思路：①代入验证法：将每个选项的数值分别代入三个方程，全部满足的就是正确解，这种方法适合选择题快速排除错误选项；②加减消元法：观察方程中未知数的系数特点，先消去系数相同的部分求出某个未知数的值，再逐步求解剩余未知数，得到方程组的解后对应选项即可。
【解析】
方法一：代入验证法
将各选项分别代入三个方程验证：
A选项代入第三个方程：左边$=3×0-1-(-2)=1≠$右边2，排除；
B选项代入第一个方程：左边$=0+2×0+1=1≠$右边0，排除；
C选项代入第一个方程：左边$=0+2×(-1)+0=-2≠$右边0，排除；
D选项代入第一个方程：左边$=1+2×(-2)+3=0=$右边；代入第二个方程：左边$=2×1-(-2)-3=1=$右边；代入第三个方程：左边$=3×1-(-2)-3=2=$右边，三个方程均成立。
方法二：加减消元法
给原方程组标序号：
$\begin{cases}x+2y+z=0 ① \\2x-y-z=1 ② \\3x-y-z=2 ③\end{cases}$
用③-②消去$y、z$，得：$(3x-y-z)-(2x-y-z)=2-1$，化简得$x=1$。
把$x=1$代入①、②，整理得：
$\begin{cases}2y+z=-1 ④ \\ y+z=1 ⑤ \end{cases}$
用④-⑤得$y=-2$，把$y=-2$代入⑤得$z=3$，即方程组的解为$\begin{cases}x=1 \\ y=-2 \\ z=3 \end{cases}$。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组的解；加减消元法；代入验证法
【点评】
本题是三元一次方程组的基础考查题，解题时可根据题型灵活选择方法，选择题用代入验证法能更快排除错误选项，提高做题效率。
【难度系数】
0.9
2. 用加减消元法解二元一次方程组$\begin{cases}4x+3y=2, \quad ① \\2x-5y=7 \quad ②\end{cases}$时，下列方法中消元正确的是（ ）
A.①×5+②
B.①+②×3
C.①-②×2
D.①+②×2
A.①×5+②
B.①+②×3
C.①-②×2
D.①+②×2
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查加减消元法解二元一次方程组的应用，解题思路如下：首先回忆加减消元法的核心：将两个方程中同一个未知数的系数变为相等或互为相反数，再通过相加或相减消去这个未知数。观察方程组中x的系数：方程①中x的系数是4，方程②中x的系数是2，若将②×2，x的系数就变为4，和①中x的系数相等，此时用①减去②×2就可以消去x，接下来逐一验证各选项是否符合消元要求即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. ①×5得$20x+15y=10$，再加②得$22x+10y=17$，未消去任何未知数，消元错误；
B. ②×3得$6x-15y=21$，再加①得$10x-12y=23$，未消去任何未知数，消元错误；
C. ②×2得$4x-10y=14$，用①减去②×2可得：$(4x+3y)-(4x-10y)=2-14$，化简得$13y=-12$，成功消去未知数x，消元正确；
D. ②×2得$4x-10y=14$，再加①得$8x-7y=16$，未消去任何未知数，消元错误。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是加减消元法的基础应用类题目，解题关键是观察未知数的系数特征，通过给方程乘合适的常数，让目标未知数的系数相等或互为相反数，再进行加减运算实现消元，熟练掌握消元规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查加减消元法解二元一次方程组的应用，解题思路如下：首先回忆加减消元法的核心：将两个方程中同一个未知数的系数变为相等或互为相反数，再通过相加或相减消去这个未知数。观察方程组中x的系数：方程①中x的系数是4，方程②中x的系数是2，若将②×2，x的系数就变为4，和①中x的系数相等，此时用①减去②×2就可以消去x，接下来逐一验证各选项是否符合消元要求即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. ①×5得$20x+15y=10$，再加②得$22x+10y=17$，未消去任何未知数，消元错误；
B. ②×3得$6x-15y=21$，再加①得$10x-12y=23$，未消去任何未知数，消元错误；
C. ②×2得$4x-10y=14$，用①减去②×2可得：$(4x+3y)-(4x-10y)=2-14$，化简得$13y=-12$，成功消去未知数x，消元正确；
D. ②×2得$4x-10y=14$，再加①得$8x-7y=16$，未消去任何未知数，消元错误。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是加减消元法的基础应用类题目，解题关键是观察未知数的系数特征，通过给方程乘合适的常数，让目标未知数的系数相等或互为相反数，再进行加减运算实现消元，熟练掌握消元规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放△，要使之保持平衡，则应放△的数量为（
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
B
）A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
答案
3. B
解析
【分析】
这是典型的等量代换类题目，解题时可先将三种图形的质量分别用字母表示，根据天平平衡时左右总质量相等列出等式，先推导圆形、正方形与三角形的质量关系，再计算2个正方形对应的三角形数量即可得到答案。
【解析】
设○的质量为$x$，△的质量为$y$，□的质量为$z$。
根据第一个天平平衡可得：$3x + 2y = z + 5y$，整理得：$3x = z + 3y$ ①；
根据第二个天平平衡可得：$2z = x + 4y$，变形得：$x = 2z - 4y$ ②；
将②代入①得：$3(2z - 4y) = z + 3y$，
展开计算：$6z - 12y = z + 3y$，
移项合并同类项：$5z = 15y$，即$z = 3y$，说明1个□的质量等于3个△的质量。
第三个天平左边是2个□，总质量为$2z = 2×3y = 6y$，因此右边需要放6个△才能平衡。
【答案】
B
【知识点】
等量代换，等式的性质
【点评】
本题依托天平平衡的场景，考察等量代换的思想和等式性质的应用，解题的关键是准确建立不同图形间的质量关系，推导过程难度不大，只要细心计算就能得出正确结果。
【难度系数】
0.7
这是典型的等量代换类题目，解题时可先将三种图形的质量分别用字母表示，根据天平平衡时左右总质量相等列出等式，先推导圆形、正方形与三角形的质量关系，再计算2个正方形对应的三角形数量即可得到答案。
【解析】
设○的质量为$x$，△的质量为$y$，□的质量为$z$。
根据第一个天平平衡可得：$3x + 2y = z + 5y$，整理得：$3x = z + 3y$ ①；
根据第二个天平平衡可得：$2z = x + 4y$，变形得：$x = 2z - 4y$ ②；
将②代入①得：$3(2z - 4y) = z + 3y$，
展开计算：$6z - 12y = z + 3y$，
移项合并同类项：$5z = 15y$，即$z = 3y$，说明1个□的质量等于3个△的质量。
第三个天平左边是2个□，总质量为$2z = 2×3y = 6y$，因此右边需要放6个△才能平衡。
【答案】
B
【知识点】
等量代换，等式的性质
【点评】
本题依托天平平衡的场景，考察等量代换的思想和等式性质的应用，解题的关键是准确建立不同图形间的质量关系，推导过程难度不大，只要细心计算就能得出正确结果。
【难度系数】
0.7
4. 如图，从标注2的圆圈开始，顺时针方向按$an+b$的规律($n$表示前一个圆圈中的数字，$a$、$b$是常数)转换后得到下一个圆圈中的数，则标注问号的圆圈中的数应是 (
A.122
B.66
C.178
D.以上答案都错误
A
)A.122
B.66
C.178
D.以上答案都错误
答案
4. A
解析
【分析】
题目明确给出转换规律为$an+b$（$n$是前一个圆圈中的数字），规律中包含两个未知常数$a$和$b$，我们可以先利用已知的两组相邻对应数值（2对应10，10对应26）列出二元一次方程组，解出$a$、$b$的取值，再用26对应58验证规律是否正确，最后把58代入规律即可计算出问号处的数值。
【解析】
解：根据转换规则，后一个数 = $a×$前一个数 + $b$，结合已知条件列方程组：
$\begin{cases}2a + b = 10&①\\10a + b = 26&②\end{cases}$
用②式减去①式消去$b$，得：$8a=16$，解得$a=2$
将$a=2$代入①式，得：$2×2 + b=10$，解得$b=6$
因此转换规律为$2n+6$，验证：当$n=26$时，$2×26+6=58$，和图中数值一致，规律成立。
则问号处的数为：$2×58 +6=122$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组应用，数字规律探究，代数式求值
【点评】
本题属于规律类基础题型，解题核心是利用已知对应值建立方程求出规律表达式，求出常数后可先验证规律是否匹配所有已知数值，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
题目明确给出转换规律为$an+b$（$n$是前一个圆圈中的数字），规律中包含两个未知常数$a$和$b$，我们可以先利用已知的两组相邻对应数值（2对应10，10对应26）列出二元一次方程组，解出$a$、$b$的取值，再用26对应58验证规律是否正确，最后把58代入规律即可计算出问号处的数值。
【解析】
解：根据转换规则，后一个数 = $a×$前一个数 + $b$，结合已知条件列方程组：
$\begin{cases}2a + b = 10&①\\10a + b = 26&②\end{cases}$
用②式减去①式消去$b$，得：$8a=16$，解得$a=2$
将$a=2$代入①式，得：$2×2 + b=10$，解得$b=6$
因此转换规律为$2n+6$，验证：当$n=26$时，$2×26+6=58$，和图中数值一致，规律成立。
则问号处的数为：$2×58 +6=122$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组应用，数字规律探究，代数式求值
【点评】
本题属于规律类基础题型，解题核心是利用已知对应值建立方程求出规律表达式，求出常数后可先验证规律是否匹配所有已知数值，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
