二、解答题
11. 如图，四边形ABCD中，∠B=90°，∠A、∠C、∠D的外角分别为α、β、γ.
求α+β+γ的值.

解：
∵ ∠B=90°，
∴ ∠B的外角为180°−90°=90°.
∴ α+β+γ=360°−90°=270°.

【分析】
解题时首先回忆多边形外角和的性质：任意多边形的外角和均为360°，四边形属于多边形，因此它的4个外角的和是360°。本题中已经给出∠A、∠C、∠D的外角分别为α、β、γ，只需要先求出∠B对应的外角度数，再用四边形外角总和减去∠B的外角，就能得到α+β+γ的结果。
【解析】
解：
∵ ∠B=90°，
∴ ∠B的外角为180°−90°=90°，
∵ 任意四边形的外角和为360°，
∴ α+β+γ=360°−90°=270°。
【答案】
270°
【知识点】
多边形外角和，邻补角计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查多边形外角和定理的应用，解题的关键是熟记任意多边形外角和恒为360°，结合邻补角的性质求出未知外角的度数即可快速求解。
【难度系数】
0.8

12. 如图，在四边形ABCD中，$∠ A=∠ C=90°$，BE、DF分别是$∠ ABC$、$∠ ADC$的平分线.
(1)若$∠ 1=33°$，求$∠ 2$的度数；
(2)判断BE与DF的位置关系，并说明理由.

(1)$∠2=57°$
(2)$BE// DF$，理由略.

【分析】
(1) 先利用四边形内角和为360°，结合已知∠A、∠C都是90°，求出∠ABC与∠ADC的和为180°；再根据角平分线的定义，可得∠1是∠ABC的一半，∠2是∠ADC的一半，进而推出∠1+∠2=90°，代入∠1的度数即可求出∠2。
(2) 要判断BE和DF的位置关系，可通过找角的关系证明平行：在Rt△DFC中可得∠DFC+∠2=90°，结合(1)中得到的∠1+∠2=90°，可推出∠1=∠DFC，根据同位角相等即可证明两直线平行。
【解析】
(1) 解：
∵ 四边形内角和为360°，且∠A=∠C=90°
∴ ∠ABC + ∠ADC = 360° - ∠A - ∠C = 360° - 90° - 90° = 180°
∵ BE是∠ABC的平分线，DF是∠ADC的平分线
∴ ∠ABC = 2∠1，∠ADC = 2∠2
∴ 2∠1 + 2∠2 = 180°，化简得∠1 + ∠2 = 90°
∵ ∠1 = 33°
∴ ∠2 = 90° - 33° = 57°
(2) BE//DF，理由如下：
在△DFC中，∠C=90°
∴ ∠DFC + ∠2 = 180° - ∠C = 90°
由(1)可知∠1 + ∠2 = 90°
∴ ∠1 = ∠DFC（同角的余角相等）
∴ BE//DF（同位角相等，两直线平行）
【答案】
(1) ∠2=57°
(2) BE//DF
【知识点】
四边形内角和、角平分线的定义、平行线的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是先利用四边形内角和与角平分线性质推导得到∠1与∠2的互余关系，再结合余角的性质得到相等的同位角判定平行，解题思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.75

13. 我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点. 如图①，O就是拼接点. 我们发现，各正多边形围绕一个拼点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角(360°).
(1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是. (填序号)
①正三角形 ②正方形 ③正五边形 ④正六边形
(2)为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图②，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有3个正三角形和2个正方形.
ⅰ. 如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形；
ⅱ. 我们也可以用边长相同的正五边形和正边形进行镶嵌.

(1)③
(2)ⅰ. 在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形.
ⅱ. 十

【分析】
本题考查平面镶嵌的相关知识，核心规则是拼接点处所有正多边形的内角和为360°。解题思路如下：(1)判断单一正多边形能否镶嵌，只需计算正多边形的内角度数，看360°是否能被该内角度数整除即可；(2)ⅰ 两种正多边形镶嵌时，设两种正多边形的个数为未知数，根据内角和为360°列二元一次方程，求正整数解即可；ⅱ 先算出正五边形的内角，结合镶嵌规则求出另一种正多边形的内角度数，再反推其边数。
【解析】
(1) 正n边形内角公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，分别计算各正多边形内角：
①正三角形内角：$\frac{(3-2)×180°}{3}=60°$，$360°÷60°=6$，能整除，可以镶嵌；
②正方形内角：$\frac{(4-2)×180°}{4}=90°$，$360°÷90°=4$，能整除，可以镶嵌；
③正五边形内角：$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，$360°÷108°=\frac{10}{3}$，不是整数，不能镶嵌；
④正六边形内角：$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，$360°÷120°=3$，能整除，可以镶嵌。
故不能进行镶嵌的是③。
(2)ⅰ. 设一个拼接点周围有$x$个正三角形，$y$个正六边形（$x,y$均为正整数）。
正三角形内角为$60°$，正六边形内角为$120°$，根据镶嵌规则列方程：
$60x + 120y = 360$
化简得：$x + 2y = 6$
求正整数解：
当$y=1$时，$x=6-2×1=4$，符合要求；
当$y=2$时，$x=6-2×2=2$，符合要求；
当$y≥3$时，$x≤0$，不符合实际，舍去。
即一个拼接点周围有2个正三角形和2个正六边形，或4个正三角形和1个正六边形。
ⅱ. 正五边形内角为$108°$，若用2个正五边形拼接，这部分内角和为$108°×2=216°$，剩余角度为$360°-216°=144°$。
设另一种正多边形为$n$边形，其内角为$144°$，代入内角公式：
$\frac{(n-2)×180°}{n}=144°$
解得：$180(n-2)=144n$，$36n=360$，$n=10$，故为正十边形。
【答案】
(1)③
(2)ⅰ. 在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形。
ⅱ. 十
【知识点】
平面镶嵌；正多边形内角计算；二元一次方程的整数解
【点评】
本题以平面镶嵌为载体，既考查了正多边形内角的基础计算，也考查了方程思想在几何实际问题中的应用，解题时要注意所求的整数解需符合实际拼接的要求。
【难度系数】
0.7