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13. 在$□ ABCD$中，$AB=5$，$AD=2$，以点A为原点，直线AB为x轴，建立如图2-4-7所示的平面直角坐标系，点D的横坐标为-1，请求出C，D两点的坐标。
图2-4-7
图2-4-7
答案
点C的坐标为$(4, \sqrt{3})$，点D的坐标为$(-1, \sqrt{3})$
解析
【分析】
首先确定已知点坐标：A是原点坐标为(0,0)，AB在x轴上且AB=5，可先得到B点坐标为(5,0)。接下来求D点坐标：已知D的横坐标为-1，AD长度为2，可借助勾股定理，以AD为斜边、D点横坐标的绝对值为水平直角边，求出D点的纵坐标。再利用平行四边形对边平行且相等的性质，AB是水平线段，因此CD也为水平线段，C点纵坐标与D点相同，横坐标为D点横坐标加AB的长度，即可得到C点坐标。
【解析】
解：
∵点A为原点，AB在x轴上，且AB=5
∴点B的坐标为$(5,0)$
设点D的坐标为$(-1,y)$（$y＞0$，由图可知D在第二象限）
∵AD=2，结合勾股定理可得：
$\sqrt{(-1-0)^2+(y-0)^2}=2$
两边平方得$1+y^2=4$，解得$y^2=3$
∵$y＞0$，
∴$y=\sqrt{3}$，即点D的坐标为$(-1,\sqrt{3})$
∵四边形ABCD是平行四边形
∴$CD// AB$，$CD=AB=5$
∵AB是水平线段，
∴CD也是水平线段，C点纵坐标与D点相等为$\sqrt{3}$
C点横坐标为$-1+5=4$，即点C的坐标为$(4,\sqrt{3})$
【答案】
点C的坐标为$(4, \sqrt{3})$，点D的坐标为$(-1, \sqrt{3})$
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系与平行四边形性质结合的基础题型，解题核心是先通过勾股定理求出未知点的纵坐标，再利用平行四边形对边的位置和数量关系推导另一个点的坐标，解题时注意结合图形判断点所在的象限确定坐标符号即可。
【难度系数】
0.7
首先确定已知点坐标：A是原点坐标为(0,0)，AB在x轴上且AB=5，可先得到B点坐标为(5,0)。接下来求D点坐标：已知D的横坐标为-1，AD长度为2，可借助勾股定理，以AD为斜边、D点横坐标的绝对值为水平直角边，求出D点的纵坐标。再利用平行四边形对边平行且相等的性质，AB是水平线段，因此CD也为水平线段，C点纵坐标与D点相同，横坐标为D点横坐标加AB的长度，即可得到C点坐标。
【解析】
解：
∵点A为原点，AB在x轴上，且AB=5
∴点B的坐标为$(5,0)$
设点D的坐标为$(-1,y)$（$y＞0$，由图可知D在第二象限）
∵AD=2，结合勾股定理可得：
$\sqrt{(-1-0)^2+(y-0)^2}=2$
两边平方得$1+y^2=4$，解得$y^2=3$
∵$y＞0$，
∴$y=\sqrt{3}$，即点D的坐标为$(-1,\sqrt{3})$
∵四边形ABCD是平行四边形
∴$CD// AB$，$CD=AB=5$
∵AB是水平线段，
∴CD也是水平线段，C点纵坐标与D点相等为$\sqrt{3}$
C点横坐标为$-1+5=4$，即点C的坐标为$(4,\sqrt{3})$
【答案】
点C的坐标为$(4, \sqrt{3})$，点D的坐标为$(-1, \sqrt{3})$
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系与平行四边形性质结合的基础题型，解题核心是先通过勾股定理求出未知点的纵坐标，再利用平行四边形对边的位置和数量关系推导另一个点的坐标，解题时注意结合图形判断点所在的象限确定坐标符号即可。
【难度系数】
0.7
14. 如图2-4-8，在五边形ABCDE中，若∠A+∠B+∠E=300°，DP，CP分别平分∠CDE，∠BCD，求∠P的度数. 
答案
14.$60°$
解析
【分析】
首先根据多边形内角和公式求出五边形ABCDE的内角和，结合已知的∠A+∠B+∠E的度数，算出∠CDE与∠BCD的度数和；再根据角平分线的定义，得到△PDC中∠PDC与∠PCD的度数和；最后利用三角形内角和定理即可求出∠P的度数。
【解析】
解：
∵五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，且$∠ A+∠ B+∠ E=300°$，
∴$∠ CDE+∠ BCD=540°-300°=240°$。
∵DP平分$∠ CDE$，CP平分$∠ BCD$，
∴$∠ PDC=\frac{1}{2}∠ CDE$，$∠ PCD=\frac{1}{2}∠ BCD$，
∴$∠ PDC+∠ PCD=\frac{1}{2}(∠ CDE+∠ BCD)=\frac{1}{2}×240°=120°$。
在$△ PDC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ P=180°-(∠ PDC+∠ PCD)=180°-120°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
多边形内角和公式，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是多边形内角和与三角形内角和的综合基础题，解题的关键是通过五边形内角和求出待求角所在三角形的两个底角的和，再结合角平分线性质完成角度转化，是内角和相关知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
首先根据多边形内角和公式求出五边形ABCDE的内角和，结合已知的∠A+∠B+∠E的度数，算出∠CDE与∠BCD的度数和；再根据角平分线的定义，得到△PDC中∠PDC与∠PCD的度数和；最后利用三角形内角和定理即可求出∠P的度数。
【解析】
解：
∵五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，且$∠ A+∠ B+∠ E=300°$，
∴$∠ CDE+∠ BCD=540°-300°=240°$。
∵DP平分$∠ CDE$，CP平分$∠ BCD$，
∴$∠ PDC=\frac{1}{2}∠ CDE$，$∠ PCD=\frac{1}{2}∠ BCD$，
∴$∠ PDC+∠ PCD=\frac{1}{2}(∠ CDE+∠ BCD)=\frac{1}{2}×240°=120°$。
在$△ PDC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ P=180°-(∠ PDC+∠ PCD)=180°-120°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
多边形内角和公式，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是多边形内角和与三角形内角和的综合基础题，解题的关键是通过五边形内角和求出待求角所在三角形的两个底角的和，再结合角平分线性质完成角度转化，是内角和相关知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
15. 如图2-4-9，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 45°$，$AB=AC=8$，$P$为$AB$边上的一动点，以$PA$，$PC$为边作$□ PAQC$，求对角线$PQ$的长度的最小值.
图2-4-9
图2-4-9
答案
15.$4\sqrt{2}$
解析
【分析】
要求PQ的最小值，首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，可得PQ与AC的交点O是AC和PQ的中点，因此PQ=2OP，将求PQ的最小值转化为求OP的最小值。根据垂线段最短，OP的最小值是点O到AB的垂线段长度，再结合∠BAC=45°和勾股定理即可算出最小的OP长度，进而得到PQ的最小值。
【解析】
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴对角线AC、PQ互相平分，即O为AC中点，也为PQ中点，
∴$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$，$PQ=2OP$。
要使PQ长度最小，需OP长度最小，根据垂线段最短，当$OP⊥AB$时，OP取得最小值。
此时$∠ BAC=45°$，$∠ APO=90°$，
∴$△ AOP$是等腰直角三角形，即$AP=OP$。
设$OP=x$，由勾股定理得：
$AP^2+OP^2=AO^2$，即$x^2+x^2=4^2$，
解得$x=2\sqrt{2}$（长度为正，舍去负根），
∴OP的最小值为$2\sqrt{2}$，
∴PQ的最小值为$2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
平行四边形的性质；垂线段最短；勾股定理
【点评】
本题属于几何最值类问题，核心是利用平行四边形的性质将双动点线段PQ的最值问题转化为单动点线段OP的最值问题，结合垂线段最短和特殊三角形的性质求解，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.6
要求PQ的最小值，首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，可得PQ与AC的交点O是AC和PQ的中点，因此PQ=2OP，将求PQ的最小值转化为求OP的最小值。根据垂线段最短，OP的最小值是点O到AB的垂线段长度，再结合∠BAC=45°和勾股定理即可算出最小的OP长度，进而得到PQ的最小值。
【解析】
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴对角线AC、PQ互相平分，即O为AC中点，也为PQ中点，
∴$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$，$PQ=2OP$。
要使PQ长度最小，需OP长度最小，根据垂线段最短，当$OP⊥AB$时，OP取得最小值。
此时$∠ BAC=45°$，$∠ APO=90°$，
∴$△ AOP$是等腰直角三角形，即$AP=OP$。
设$OP=x$，由勾股定理得：
$AP^2+OP^2=AO^2$，即$x^2+x^2=4^2$，
解得$x=2\sqrt{2}$（长度为正，舍去负根），
∴OP的最小值为$2\sqrt{2}$，
∴PQ的最小值为$2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
平行四边形的性质；垂线段最短；勾股定理
【点评】
本题属于几何最值类问题，核心是利用平行四边形的性质将双动点线段PQ的最值问题转化为单动点线段OP的最值问题，结合垂线段最短和特殊三角形的性质求解，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.6
16.【材料阅读】在平面直角坐标系中，以任意点$P(x_1, y_1)$，$Q(x_2, y_2)$为端点的线段的中点坐标为$( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} )$。
(1)【知识运用】如图2-4-10，$□ OEFG$的对角线相交于点$H$，点$E$在$x$轴上，$O$为坐标原点，点$F$的坐标为$(4, 3)$，则点$H$的坐标为
(2)【能力拓展】在平面直角坐标系中，有$A(-1, 2)$，$B(3, 1)$，$C(1, 4)$三点，另有一点$D$与点$A, B, C$构成平行四边形，求点$D$的坐标。
图2-4-10
(1)【知识运用】如图2-4-10，$□ OEFG$的对角线相交于点$H$，点$E$在$x$轴上，$O$为坐标原点，点$F$的坐标为$(4, 3)$，则点$H$的坐标为
$(2, \frac{3}{2})$
；(2)【能力拓展】在平面直角坐标系中，有$A(-1, 2)$，$B(3, 1)$，$C(1, 4)$三点，另有一点$D$与点$A, B, C$构成平行四边形，求点$D$的坐标。
图2-4-10
答案
16.(1)$(2, \frac{3}{2})$ (2)$(5, 3)$或$(-3, 5)$或$(1, -1)$
解析
【分析】
(1) 依据平行四边形对角线互相平分的性质，可知交点H是对角线OF的中点。已知O为坐标原点，F的坐标为(4,3)，直接套用题目给出的中点坐标公式即可求出H的坐标。
(2) 已知三点求平行四边形第四个顶点，需分三种情况讨论：分别以AB、AC、BC为平行四边形的对角线。根据平行四边形对角线互相平分的性质，两条对角线的中点坐标相等，结合中点坐标公式列方程求解即可，注意分类讨论避免漏解。
【解析】
(1)
∵四边形$OEFG$是平行四边形，对角线$OF$、$EG$交于点$H$
∴$H$是$OF$的中点
∵$O$为坐标原点，坐标为$(0,0)$，$F(4,3)$
根据中点坐标公式，$H$的横坐标为$\frac{0+4}{2}=2$，纵坐标为$\frac{0+3}{2}=\frac{3}{2}$
∴$H$的坐标为$(2,\frac{3}{2})$
(2) 设点$D$的坐标为$(x,y)$，分三种情况讨论：
① 当$AB$为平行四边形的对角线时，$AB$的中点与$CD$的中点重合
$AB$的中点坐标为$(\frac{-1+3}{2},\frac{2+1}{2})=(1,\frac{3}{2})$
∴$\begin{cases}\frac{1+x}{2}=1\\\frac{4+y}{2}=\frac{3}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}$，即$D(1,-1)$
② 当$AC$为平行四边形的对角线时，$AC$的中点与$BD$的中点重合
$AC$的中点坐标为$(\frac{-1+1}{2},\frac{2+4}{2})=(0,3)$
∴$\begin{cases}\frac{3+x}{2}=0\\\frac{1+y}{2}=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-3\\y=5\end{cases}$，即$D(-3,5)$
③ 当$BC$为平行四边形的对角线时，$BC$的中点与$AD$的中点重合
$BC$的中点坐标为$(\frac{3+1}{2},\frac{1+4}{2})=(2,\frac{5}{2})$
∴$\begin{cases}\frac{-1+x}{2}=2\\\frac{2+y}{2}=\frac{5}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=5\\y=3\end{cases}$，即$D(5,3)$
综上，点$D$的坐标为$(5,3)$或$(-3,5)$或$(1,-1)$
【答案】
(1) $(2,\frac{3}{2})$；(2) $(5,3)$或$(-3,5)$或$(1,-1)$
【知识点】
平行四边形的性质，中点坐标公式，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义的中点坐标公式考查平行四边形性质的应用，第一问较为基础，直接套用公式即可求解；第二问的易错点是遗漏分类讨论的三种情况，解题时要全面考虑所有可能的对角线情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
(1) 依据平行四边形对角线互相平分的性质，可知交点H是对角线OF的中点。已知O为坐标原点，F的坐标为(4,3)，直接套用题目给出的中点坐标公式即可求出H的坐标。
(2) 已知三点求平行四边形第四个顶点，需分三种情况讨论：分别以AB、AC、BC为平行四边形的对角线。根据平行四边形对角线互相平分的性质，两条对角线的中点坐标相等，结合中点坐标公式列方程求解即可，注意分类讨论避免漏解。
【解析】
(1)
∵四边形$OEFG$是平行四边形，对角线$OF$、$EG$交于点$H$
∴$H$是$OF$的中点
∵$O$为坐标原点，坐标为$(0,0)$，$F(4,3)$
根据中点坐标公式，$H$的横坐标为$\frac{0+4}{2}=2$，纵坐标为$\frac{0+3}{2}=\frac{3}{2}$
∴$H$的坐标为$(2,\frac{3}{2})$
(2) 设点$D$的坐标为$(x,y)$，分三种情况讨论：
① 当$AB$为平行四边形的对角线时，$AB$的中点与$CD$的中点重合
$AB$的中点坐标为$(\frac{-1+3}{2},\frac{2+1}{2})=(1,\frac{3}{2})$
∴$\begin{cases}\frac{1+x}{2}=1\\\frac{4+y}{2}=\frac{3}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}$，即$D(1,-1)$
② 当$AC$为平行四边形的对角线时，$AC$的中点与$BD$的中点重合
$AC$的中点坐标为$(\frac{-1+1}{2},\frac{2+4}{2})=(0,3)$
∴$\begin{cases}\frac{3+x}{2}=0\\\frac{1+y}{2}=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-3\\y=5\end{cases}$，即$D(-3,5)$
③ 当$BC$为平行四边形的对角线时，$BC$的中点与$AD$的中点重合
$BC$的中点坐标为$(\frac{3+1}{2},\frac{1+4}{2})=(2,\frac{5}{2})$
∴$\begin{cases}\frac{-1+x}{2}=2\\\frac{2+y}{2}=\frac{5}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=5\\y=3\end{cases}$，即$D(5,3)$
综上，点$D$的坐标为$(5,3)$或$(-3,5)$或$(1,-1)$
【答案】
(1) $(2,\frac{3}{2})$；(2) $(5,3)$或$(-3,5)$或$(1,-1)$
【知识点】
平行四边形的性质，中点坐标公式，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义的中点坐标公式考查平行四边形性质的应用，第一问较为基础，直接套用公式即可求解；第二问的易错点是遗漏分类讨论的三种情况，解题时要全面考虑所有可能的对角线情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
